Mathématiques · Écoles d'ingénieurs — FST — MIP / MIPC / BCG

Intégration

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Définition : Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b]$ . L'intégrale de $f$ de $a$ à $b$ est $\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$ , où $F$ est une primitive de $f$ .
Linéarité : $\int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \alpha \int_a^b f(x) dx + \beta \int_a^b g(x) dx$ .
Chasles : $\int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx = \int_a^c f(x) dx$ .
Intégration par parties : $\int_a^b u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x) dx$ .

Méthodes à maîtriser

Recherche de primitives : Maîtriser les formes usuelles ( $u^n u'$ , $u'/u$ , $u'e^u$ , etc.).
Choix du changement de variable : Poser $t = \phi(x)$ , donc $dt = \phi'(x) dx$ , et changer les bornes.
Choix pour IPP : Utiliser la règle "LIATE" (Logarithme, Inverse trigonométrique, Algébrique, Trigonométrique, Exponentielle) pour choisir $u(x)$ .

Exemples corrigés

Calculer $I = \int_0^1 x e^x dx$ : On pose $u=x, v'=e^x \implies u'=1, v=e^x$ . $I = [x e^x]_0^1 - \int_0^1 e^x dx = (e - 0) - [e^x]_0^1 = e - (e - 1) = 1$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de changer les bornes lors d'un changement de variable.
Confondre la dérivée et la primitive (ex: primitive de $e^{2x}$ est $\frac{1}{2}e^{2x}$ et non $2e^{2x}$ ).
Ne pas vérifier la continuité de la fonction sur l'intervalle donné.

L'essentiel du cours

Définition : Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b]$. L'intégrale de $f$ de $a$ à $b$ est $\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$, où $F$ est une primitive de $f$.
Linéarité : $\int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \alpha \int_a^b f(x) dx + \beta \int_a^b g(x) dx$.
Chasles : $\int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx = \int_a^c f(x) dx$.
Intégration par parties : $\int_a^b u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x) dx$.

Méthodes à maîtriser

Recherche de primitives : Maîtriser les formes usuelles ($u^n u'$, $u'/u$, $u'e^u$, etc.).
Choix du changement de variable : Poser $t = \phi(x)$, donc $dt = \phi'(x) dx$, et changer les bornes.
Choix pour IPP : Utiliser la règle "LIATE" (Logarithme, Inverse trigonométrique, Algébrique, Trigonométrique, Exponentielle) pour choisir $u(x)$.

Exemples corrigés

Calculer $I = \int_0^1 x e^x dx$ : On pose $u=x, v'=e^x \implies u'=1, v=e^x$. $I = [x e^x]_0^1 - \int_0^1 e^x dx = (e - 0) - [e^x]_0^1 = e - (e - 1) = 1$.

Erreurs fréquentes

Oublier de changer les bornes lors d'un changement de variable.
Confondre la dérivée et la primitive (ex: primitive de $e^{2x}$ est $\frac{1}{2}e^{2x}$ et non $2e^{2x}$).
Ne pas vérifier la continuité de la fonction sur l'intervalle donné.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Intégration

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La valeur de $\int_0^1 x^2 dx$ est :

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach nst3mel l-moukamala b-l-ajza2 wla tghyir l-motaghayir?

Si tu as un produit de deux fonctions de natures différentes (ex: $x \cdot \ln x$ ), pense à l'IPP.
Si tu as une fonction composée (ex: $e^{x^2} \cdot 2x$ ), le changement de variable est souvent plus efficace.

💡 À retenir : L'IPP réduit la complexité, le changement de variable simplifie la forme.

Si tu as un produit de deux fonctions de natures différentes (ex: $x \cdot \ln x$), pense à l'IPP.
Si tu as une fonction composée (ex: $e^{x^2} \cdot 2x$), le changement de variable est souvent plus efficace.

💡 À retenir : L'IPP réduit la complexité, le changement de variable simplifie la forme.

Kifach n7seb primitive dyal 1/x ila kan l-majale fih l-adad salib?

Si l'intervalle est inclus dans $]0, +\infty[$ , la primitive est $\ln(x)$ .
Si l'intervalle est inclus dans $]-\infty, 0[$ , la primitive est $\ln(-x)$ .
En général, sur tout intervalle ne contenant pas 0, la primitive est $\ln(|x|)$ .

💡 À retenir : La valeur absolue est indispensable pour définir la primitive sur $]-\infty, 0[$ .

Si l'intervalle est inclus dans $]0, +\infty[$, la primitive est $\ln(x)$.
Si l'intervalle est inclus dans $]-\infty, 0[$, la primitive est $\ln(-x)$.
En général, sur tout intervalle ne contenant pas 0, la primitive est $\ln(|x|)$.

💡 À retenir : La valeur absolue est indispensable pour définir la primitive sur $]-\infty, 0[$.

Est-ce que l'ordre des bornes est important ?

Oui, absolument. Si vous inversez les bornes, le signe de l'intégrale change : $\int_b^a f(x) dx = - \int_a^b f(x) dx$ .

💡 À retenir : $\int_a^a f(x) dx = 0$ .

Oui, absolument. Si vous inversez les bornes, le signe de l'intégrale change : $\int_b^a f(x) dx = - \int_a^b f(x) dx$.

💡 À retenir : $\int_a^a f(x) dx = 0$.

Chno hiya l-far9 bin t-takamol l-mo7add w l-ghayr mo7add?

L'intégrale indéfinie représente l'ensemble des primitives $F(x) + C$ .
L'intégrale définie est un nombre réel calculé sur un intervalle $[a, b]$ .

💡 À retenir : L'intégrale définie donne une valeur numérique, l'indéfinie donne une fonction.

L'intégrale indéfinie représente l'ensemble des primitives $F(x) + C$.
L'intégrale définie est un nombre réel calculé sur un intervalle $[a, b]$.

💡 À retenir : L'intégrale définie donne une valeur numérique, l'indéfinie donne une fonction.

Comment choisir u(x) et v'(x) dans une intégration par parties ?

Utilisez l'ordre de priorité LIATE :

Logarithme ( $\ln x$ )
Inverse trigonométrique ( $\arctan x$ )
Algébrique ( $x^n$ )
Trigonométrique ( $\sin x, \cos x$ )
Exponentielle ( $e^x$ )

💡 À retenir : $u(x)$ est la fonction qui devient plus simple après dérivation.

Utilisez l'ordre de priorité LIATE :

Logarithme ($\ln x$)
Inverse trigonométrique ($\arctan x$)
Algébrique ($x^n$)
Trigonométrique ($\sin x, \cos x$)
Exponentielle ($e^x$)

💡 À retenir : $u(x)$ est la fonction qui devient plus simple après dérivation.

Est-ce que je peux utiliser Chasles si la fonction n'est pas continue en b ?

Non. La relation de Chasles $\int_a^c = \int_a^b + \int_b^c$ n'est valide que si la fonction $f$ est continue sur l'intervalle $[a, c]$ .

💡 À retenir : La continuité est la condition sine qua non pour l'intégrabilité.

Non. La relation de Chasles $\int_a^c = \int_a^b + \int_b^c$ n'est valide que si la fonction $f$ est continue sur l'intervalle $[a, c]$.

💡 À retenir : La continuité est la condition sine qua non pour l'intégrabilité.

Pourquoi le résultat d'une intégrale peut être négatif ?

L'intégrale représente la somme algébrique des aires. Si la courbe est en dessous de l'axe des abscisses, l'aire est comptée négativement.

💡 À retenir : L'aire géométrique est toujours positive, l'intégrale peut être négative.

Est-ce que inta^b f(x)g(x) dx = inta^b f(x) dx cdot inta^b g(x) dx ?

Non, c'est une erreur classique. L'intégrale d'un produit n'est pas le produit des intégrales.

💡 À retenir : La linéarité ne s'applique qu'à la somme et à la multiplication par un scalaire.

Comment calculer la valeur moyenne d'une fonction ?

La valeur moyenne $V_m$ d'une fonction $f$ sur $[a, b]$ est donnée par la formule : $V_m = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$ .

💡 À retenir : C'est la moyenne arithmétique continue des valeurs de la fonction.

La valeur moyenne $V_m$ d'une fonction $f$ sur $[a, b]$ est donnée par la formule : $V_m = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$.

💡 À retenir : C'est la moyenne arithmétique continue des valeurs de la fonction.

Peut-on intégrer une fonction qui n'est pas continue ?

Au programme du Bac, on travaille principalement avec des fonctions continues. Une fonction avec un nombre fini de points de discontinuité peut être intégrée, mais cela dépasse le cadre strict du cours.

💡 À retenir : Restez sur les fonctions continues pour garantir l'existence de la primitive.

Est-ce que la primitive est unique ?

Non. Si $F$ est une primitive de $f$ , alors $F + C$ (où $C$ est une constante réelle) est aussi une primitive de $f$ .

💡 À retenir : Il existe une infinité de primitives, différant d'une constante.

Non. Si $F$ est une primitive de $f$, alors $F + C$ (où $C$ est une constante réelle) est aussi une primitive de $f$.

💡 À retenir : Il existe une infinité de primitives, différant d'une constante.

Chno hiya l-khasiya dyal l-moqabala (positivité) ?

Si $f(x) \geq 0$ sur $[a, b]$ avec $a < b$ , alors $\int_a^b f(x) dx \geq 0$ .

💡 À retenir : L'ordre des bornes est crucial pour conserver le signe de l'inégalité.

Si $f(x) \geq 0$ sur $[a, b]$ avec $a < b$, alors $\int_a^b f(x) dx \geq 0$.

💡 À retenir : L'ordre des bornes est crucial pour conserver le signe de l'inégalité.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Calculer l'intégrale suivante : $I = \int_0^1 (2x + 1) e^x dx$ .

Exercice 1

Calculer l'intégrale suivante : $I = \int_0^1 (2x + 1) e^x dx$.

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Exercice 2

Calculer $J = \int_1^e \frac{\ln x}{x} dx$ en utilisant un changement de variable.

Exercice 2

Calculer $J = \int_1^e \frac{\ln x}{x} dx$ en utilisant un changement de variable.

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Exercice 3

Soit $f(x) = \frac{1}{x^2+x}$ . Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $f(x) = \frac{a}{x} + \frac{b}{x+1}$ , puis calculer $\int_1^2 f(x) dx$ .

Exercice 3

Soit $f(x) = \frac{1}{x^2+x}$. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $f(x) = \frac{a}{x} + \frac{b}{x+1}$, puis calculer $\int_1^2 f(x) dx$.

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