Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences et Technologies Mécaniques

Dérivation et étude des fonctions

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Nombre dérivé : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant $a$ . $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a) \in \mathbb{R}$ .
Équation de la tangente : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .
Dérivées usuelles : $(x^n)' = nx^{n-1}$ , $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ , $(\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$ .
Opérations : $(u+v)' = u'+v'$ , $(uv)' = u'v + uv'$ , $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ , $(f \circ g)' = g' \cdot (f' \circ g)$ .
Monotonie : Si $f'(x) > 0$ sur $I$ , alors $f$ est strictement croissante sur $I$ . Si $f'(x) < 0$ , elle est strictement décroissante.
Extremums : Si $f'$ s'annule en changeant de signe en $c$ , alors $f(c)$ est un extremum local.

Méthodes à maîtriser

Étude des variations : Calculer $f'(x)$ , dresser le tableau de signe de $f'(x)$ , puis déduire le tableau de variations.
Recherche d'asymptotes : Calculer les limites aux bornes du domaine. Si $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = a$ et $\lim_{x \to \infty} (f(x)-ax) = b$ , alors $y=ax+b$ est une asymptote oblique.
Point d'inflexion : Étudier le signe de la dérivée seconde $f''(x)$ . Si $f''(x)$ s'annule en changeant de signe, le point est un point d'inflexion.

Exemples corrigés

Exemple 1 : $f(x) = x^3 - 3x + 2$ . $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$ . $f$ croît sur $]-\infty, -1]$ et $[1, +\infty[$ , décroît sur $[-1, 1]$ .
Exemple 2 : Tangente à $f(x) = x^2$ en $a=1$ . $f(1)=1$ , $f'(x)=2x \implies f'(1)=2$ . Équation : $y = 2(x-1)+1 \implies y = 2x-1$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser que la fonction est dérivable avant de calculer la dérivée.
Confondre le signe de $f'(x)$ avec le signe de $f(x)$ .
Ne pas fermer les intervalles dans le tableau de variations aux points où la dérivée s'annule.

L'essentiel du cours

Nombre dérivé : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant $a$. $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a) \in \mathbb{R}$.
Équation de la tangente : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.
Dérivées usuelles : $(x^n)' = nx^{n-1}$, $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, $(\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$.
Opérations : $(u+v)' = u'+v'$, $(uv)' = u'v + uv'$, $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, $(f \circ g)' = g' \cdot (f' \circ g)$.
Monotonie : Si $f'(x) > 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$. Si $f'(x) < 0$, elle est strictement décroissante.
Extremums : Si $f'$ s'annule en changeant de signe en $c$, alors $f(c)$ est un extremum local.

Méthodes à maîtriser

Étude des variations : Calculer $f'(x)$, dresser le tableau de signe de $f'(x)$, puis déduire le tableau de variations.
Recherche d'asymptotes : Calculer les limites aux bornes du domaine. Si $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = a$ et $\lim_{x \to \infty} (f(x)-ax) = b$, alors $y=ax+b$ est une asymptote oblique.
Point d'inflexion : Étudier le signe de la dérivée seconde $f''(x)$. Si $f''(x)$ s'annule en changeant de signe, le point est un point d'inflexion.

Exemples corrigés

Exemple 1 : $f(x) = x^3 - 3x + 2$. $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$. $f$ croît sur $]-\infty, -1]$ et $[1, +\infty[$, décroît sur $[-1, 1]$.
Exemple 2 : Tangente à $f(x) = x^2$ en $a=1$. $f(1)=1$, $f'(x)=2x \implies f'(1)=2$. Équation : $y = 2(x-1)+1 \implies y = 2x-1$.

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser que la fonction est dérivable avant de calculer la dérivée.
Confondre le signe de $f'(x)$ avec le signe de $f(x)$.
Ne pas fermer les intervalles dans le tableau de variations aux points où la dérivée s'annule.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Dérivation et étude des fonctions

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La dérivée de $f(x) = \cos(2x)$ est :

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si une fonction est dérivable en un point ?

Calcule la limite du taux d'accroissement : $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ .
Si cette limite est un nombre réel fini $L$ , alors $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a) = L$ .
Si la limite est $\pm \infty$ , la fonction n'est pas dérivable en $a$ (interprétation graphique : tangente verticale).

💡 À retenir : La dérivabilité est une limite finie.

Calcule la limite du taux d'accroissement : $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$.
Si cette limite est un nombre réel fini $L$, alors $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a) = L$.
Si la limite est $\pm \infty$, la fonction n'est pas dérivable en $a$ (interprétation graphique : tangente verticale).

💡 À retenir : La dérivabilité est une limite finie.

Kifach n7seb l'equation de la tangente f wahed l'point a ?

Calcule l'image du point : $f(a)$ .
Calcule la dérivée $f'(x)$ puis remplace par $a$ pour trouver $f'(a)$ .
Applique la formule : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .
Développe pour obtenir la forme $y = mx + p$ .

💡 À retenir : $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente.

Calcule l'image du point : $f(a)$.
Calcule la dérivée $f'(x)$ puis remplace par $a$ pour trouver $f'(a)$.
Applique la formule : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.
Développe pour obtenir la forme $y = mx + p$.

💡 À retenir : $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente.

Est-ce que si f'(x) geq 0, la fonction est toujours strictement croissante ?

Non, si $f'(x) \geq 0$ et ne s'annule qu'en des points isolés, la fonction est strictement croissante. Si $f'(x) = 0$ sur tout un intervalle, la fonction est constante sur cet intervalle.

💡 À retenir : La croissance stricte demande que $f'$ ne soit pas nulle sur un intervalle.

Non, si $f'(x) \geq 0$ et ne s'annule qu'en des points isolés, la fonction est strictement croissante. Si $f'(x) = 0$ sur tout un intervalle, la fonction est constante sur cet intervalle.

💡 À retenir : La croissance stricte demande que $f'$ ne soit pas nulle sur un intervalle.

Chno hiya l'relation bin dérivée o l'monotonie ?

Si $f'(x) > 0$ sur un intervalle, $f$ est strictement croissante.
Si $f'(x) < 0$ sur un intervalle, $f$ est strictement décroissante.
Si $f'(x) = 0$ en des points isolés, cela n'empêche pas la croissance stricte.

💡 À retenir : Le signe de la dérivée donne le sens de variation.

Si $f'(x) > 0$ sur un intervalle, $f$ est strictement croissante.
Si $f'(x) < 0$ sur un intervalle, $f$ est strictement décroissante.
Si $f'(x) = 0$ en des points isolés, cela n'empêche pas la croissance stricte.

💡 À retenir : Le signe de la dérivée donne le sens de variation.

Comment trouver les points d'inflexion ?

Calcule la dérivée seconde $f''(x)$ .
Résous l'équation $f''(x) = 0$ .
Étudie le signe de $f''(x)$ . S'il change de signe en $x_0$ , alors le point $(x_0, f(x_0))$ est un point d'inflexion.

💡 À retenir : Le point d'inflexion est là où la courbe change de concavité.

Calcule la dérivée seconde $f''(x)$.
Résous l'équation $f''(x) = 0$.
Étudie le signe de $f''(x)$. S'il change de signe en $x_0$, alors le point $(x_0, f(x_0))$ est un point d'inflexion.

💡 À retenir : Le point d'inflexion est là où la courbe change de concavité.

Wach n9der nkhdem b f'(x) bach n3ref les extremums ?

Oui, absolument.

Cherche les points où $f'(x) = 0$ .
Regarde si $f'(x)$ change de signe en ces points.
Si $f'$ passe de $+$ à $-$ , c'est un maximum local. Si elle passe de $-$ à $+$ , c'est un minimum local.

💡 À retenir : Un extremum local impose un changement de signe de $f'$ .

Oui, absolument.

Cherche les points où $f'(x) = 0$.
Regarde si $f'(x)$ change de signe en ces points.
Si $f'$ passe de $+$ à $-$, c'est un maximum local. Si elle passe de $-$ à $+$, c'est un minimum local.

💡 À retenir : Un extremum local impose un changement de signe de $f'$.

Quelle est la dérivée de f(x) = (u(x))^n ?

La formule est : $f'(x) = n \cdot u'(x) \cdot (u(x))^{n-1}$ . Exemple : pour $f(x) = (x^2+1)^3$ , on a $u(x) = x^2+1$ et $u'(x) = 2x$ . Donc $f'(x) = 3 \cdot (2x) \cdot (x^2+1)^2 = 6x(x^2+1)^2$ .

💡 À retenir : C'est une application directe de la dérivée d'une fonction composée.

La formule est : $f'(x) = n \cdot u'(x) \cdot (u(x))^{n-1}$. Exemple : pour $f(x) = (x^2+1)^3$, on a $u(x) = x^2+1$ et $u'(x) = 2x$. Donc $f'(x) = 3 \cdot (2x) \cdot (x^2+1)^2 = 6x(x^2+1)^2$.

💡 À retenir : C'est une application directe de la dérivée d'une fonction composée.

Comment justifier qu'une fonction est dérivable sur un intervalle ?

Vérifie si $f$ est une fonction polynomiale (dérivable sur $\mathbb{R}$ ).
Vérifie si $f$ est une fonction rationnelle (dérivable sur son domaine de définition).
Utilise les théorèmes : la somme, le produit et le quotient de fonctions dérivables sont dérivables (attention au dénominateur non nul).

💡 À retenir : Cite toujours l'opération utilisée (ex: "f est dérivable comme somme de fonctions dérivables").

Vérifie si $f$ est une fonction polynomiale (dérivable sur $\mathbb{R}$).
Vérifie si $f$ est une fonction rationnelle (dérivable sur son domaine de définition).
Utilise les théorèmes : la somme, le produit et le quotient de fonctions dérivables sont dérivables (attention au dénominateur non nul).

💡 À retenir : Cite toujours l'opération utilisée (ex: "f est dérivable comme somme de fonctions dérivables").

Comment étudier la branche infinie si lim{x to +infty} f(x) = +infty ?

Calcule $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$ .
Si le résultat est $0$ , c'est une branche parabolique de direction l'axe des abscisses.
Si le résultat est $\infty$ , c'est une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.
Si le résultat est $a \neq 0$ , calcule $\lim_{x \to +\infty} (f(x)-ax)$ . Si c'est $b$ , alors $y=ax+b$ est une asymptote oblique.

💡 À retenir : La limite du rapport donne la direction.

Calcule $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$.
Si le résultat est $0$, c'est une branche parabolique de direction l'axe des abscisses.
Si le résultat est $\infty$, c'est une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.
Si le résultat est $a \neq 0$, calcule $\lim_{x \to +\infty} (f(x)-ax)$. Si c'est $b$, alors $y=ax+b$ est une asymptote oblique.

💡 À retenir : La limite du rapport donne la direction.

Est-ce que f'(x) peut être nulle sur un intervalle ?

Oui, si $f(x) = c$ (une constante), alors $f'(x) = 0$ pour tout $x$ . Dans ce cas, la courbe est une droite horizontale.

💡 À retenir : Une dérivée nulle partout signifie une fonction constante.

Oui, si $f(x) = c$ (une constante), alors $f'(x) = 0$ pour tout $x$. Dans ce cas, la courbe est une droite horizontale.

💡 À retenir : Une dérivée nulle partout signifie une fonction constante.

Kifach n3ref wach l'courbe 3ndha asymptote oblique ?

Il faut que $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \pm \infty$ .
Il faut que $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = a$ (avec $a \neq 0$ ).
Il faut que $\lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - ax) = b$ .
Si ces trois conditions sont remplies, la droite $y = ax + b$ est asymptote oblique.

💡 À retenir : L'asymptote oblique est une droite "limite" à l'infini.

Il faut que $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \pm \infty$.
Il faut que $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = a$ (avec $a \neq 0$).
Il faut que $\lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - ax) = b$.
Si ces trois conditions sont remplies, la droite $y = ax + b$ est asymptote oblique.

💡 À retenir : L'asymptote oblique est une droite "limite" à l'infini.

Pourquoi on étudie le signe de f''(x) ?

On l'étudie pour connaître la concavité de la courbe :

Si $f''(x) > 0$ , la courbe est convexe (tournée vers le haut).
Si $f''(x) < 0$ , la courbe est concave (tournée vers le bas).
Cela permet aussi de trouver les points d'inflexion.

💡 À retenir : $f''$ contrôle la courbure.

On l'étudie pour connaître la concavité de la courbe :

Si $f''(x) > 0$, la courbe est convexe (tournée vers le haut).
Si $f''(x) < 0$, la courbe est concave (tournée vers le bas).
Cela permet aussi de trouver les points d'inflexion.

💡 À retenir : $f''$ contrôle la courbure.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ .

Calculer $f'(x)$ et étudier son signe.
Dresser le tableau de variations de $f$ .
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $x=0$ .

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$.

Calculer $f'(x)$ et étudier son signe.
Dresser le tableau de variations de $f$.
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $x=0$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $f(x) = \frac{x^2+3}{x-1}$ .

Déterminer $D_f$ .
Calculer les limites aux bornes de $D_f$ .
Montrer que la droite $(\Delta) : y = x+1$ est une asymptote oblique à la courbe en $+\infty$ .

Exercice 2

Soit $f(x) = \frac{x^2+3}{x-1}$.

Déterminer $D_f$.
Calculer les limites aux bornes de $D_f$.
Montrer que la droite $(\Delta) : y = x+1$ est une asymptote oblique à la courbe en $+\infty$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $f(x) = x\sqrt{x}$ .

Étudier la dérivabilité de $f$ en $0$ .
Calculer $f'(x)$ pour $x > 0$ .
Étudier les variations de $f$ .

Exercice 3

Soit $f(x) = x\sqrt{x}$.

Étudier la dérivabilité de $f$ en $0$.
Calculer $f'(x)$ pour $x > 0$.
Étudier les variations de $f$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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