Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences et Technologies Mécaniques

Fonctions logarithmiques

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$ , est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Elle est définie sur $]0, +\infty[$ .

Propriétés algébriques : Pour tous $a, b \in ]0, +\infty[$ : $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ , $\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$ , $\ln(a^r) = r\ln(a)$ (avec $r \in \mathbb{Q}$ ), $\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2}\ln(a)$ .
Limites fondamentales : $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ , $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$ . $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$ ( $n>0$ ), $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0$ ( $n>0$ ), $\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x-1} = 1$ .
Dérivée : $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$ .

Méthodes à maîtriser

Résolution d'équations/inéquations : Toujours commencer par déterminer le domaine de définition ( $x > 0$ ).
Étude de fonction : Calculer la dérivée, étudier son signe, puis dresser le tableau de variations.
Calcul de limites : Utiliser les croissances comparées pour lever les indéterminations.

Exemples corrigés

Équation : Résoudre $\ln(x) + \ln(x-1) = \ln(2)$ . Domaine : $x>0$ et $x-1>0 \Rightarrow x \in ]1, +\infty[$ . $\ln(x(x-1)) = \ln(2) \Rightarrow x^2-x-2=0$ . Racines : $x=2$ ou $x=-1$ . Seul $x=2$ est dans le domaine.
Dérivée : $f(x) = \ln(x^2+1)$ . $f'(x) = \frac{(x^2+1)'}{x^2+1} = \frac{2x}{x^2+1}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le domaine de définition avant de résoudre une équation.
Confondre $\ln(a+b)$ avec $\ln(a)+\ln(b)$ (ce qui est faux !).
Oublier la valeur absolue dans la primitive de $\frac{u'}{u}$ (bien que ce soit au chapitre suivant, c'est un piège classique).

L'essentiel du cours

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Elle est définie sur $]0, +\infty[$.

Propriétés algébriques : Pour tous $a, b \in ]0, +\infty[$ : $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$, $\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$, $\ln(a^r) = r\ln(a)$ (avec $r \in \mathbb{Q}$), $\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2}\ln(a)$.
Limites fondamentales : $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$, $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$. $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$ ($n>0$), $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0$ ($n>0$), $\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x-1} = 1$.
Dérivée : $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$.

Méthodes à maîtriser

Résolution d'équations/inéquations : Toujours commencer par déterminer le domaine de définition ($x > 0$).
Étude de fonction : Calculer la dérivée, étudier son signe, puis dresser le tableau de variations.
Calcul de limites : Utiliser les croissances comparées pour lever les indéterminations.

Exemples corrigés

Équation : Résoudre $\ln(x) + \ln(x-1) = \ln(2)$. Domaine : $x>0$ et $x-1>0 \Rightarrow x \in ]1, +\infty[$. $\ln(x(x-1)) = \ln(2) \Rightarrow x^2-x-2=0$. Racines : $x=2$ ou $x=-1$. Seul $x=2$ est dans le domaine.
Dérivée : $f(x) = \ln(x^2+1)$. $f'(x) = \frac{(x^2+1)'}{x^2+1} = \frac{2x}{x^2+1}$.

Erreurs fréquentes

Oublier le domaine de définition avant de résoudre une équation.
Confondre $\ln(a+b)$ avec $\ln(a)+\ln(b)$ (ce qui est faux !).
Oublier la valeur absolue dans la primitive de $\frac{u'}{u}$ (bien que ce soit au chapitre suivant, c'est un piège classique).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Fonctions logarithmiques

1/4

Quel est le domaine de définition de $f(x) = \ln(3-x)$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que ln(x^2) est toujours égal à 2ln(x) ?

Non, ce n'est vrai que si $x > 0$ . Si $x < 0$ , $x^2$ est positif, donc $\ln(x^2)$ est défini, mais $2\ln(x)$ n'existe pas. La formule exacte est $\ln(x^2) = 2\ln(|x|)$ .

💡 À retenir : Vérifie toujours le domaine de définition avant d'appliquer une formule.

Non, ce n'est vrai que si $x > 0$. Si $x < 0$, $x^2$ est positif, donc $\ln(x^2)$ est défini, mais $2\ln(x)$ n'existe pas. La formule exacte est $\ln(x^2) = 2\ln(|x|)$.

💡 À retenir : Vérifie toujours le domaine de définition avant d'appliquer une formule.

Kifach n7seb domaine de définition dyal ln(f(x)) ?

Pour calculer le domaine de définition de $\ln(f(x))$ , tu dois résoudre l'inéquation $f(x) > 0$ .

Identifie l'expression à l'intérieur du $\ln$ .
Pose $f(x) > 0$ .
Résous cette inéquation pour trouver l'intervalle.

💡 À retenir : Le logarithme n'accepte que des nombres strictement positifs.

Pour calculer le domaine de définition de $\ln(f(x))$, tu dois résoudre l'inéquation $f(x) > 0$.

Identifie l'expression à l'intérieur du $\ln$.
Pose $f(x) > 0$.
Résous cette inéquation pour trouver l'intervalle.

💡 À retenir : Le logarithme n'accepte que des nombres strictement positifs.

Pourquoi lim{x to 0^+} ln(x) = -infty ?

C'est une propriété fondamentale. Comme $\ln$ est la réciproque de l'exponentielle ( $e^x$ ), et que $e^x$ se rapproche de 0 quand $x$ tend vers $-\infty$ , alors par symétrie, $\ln(x)$ plonge vers $-\infty$ quand $x$ se rapproche de 0.

💡 À retenir : La courbe de $\ln$ possède une asymptote verticale d'équation $x=0$ .

C'est une propriété fondamentale. Comme $\ln$ est la réciproque de l'exponentielle ($e^x$), et que $e^x$ se rapproche de 0 quand $x$ tend vers $-\infty$, alors par symétrie, $\ln(x)$ plonge vers $-\infty$ quand $x$ se rapproche de 0.

💡 À retenir : La courbe de $\ln$ possède une asymptote verticale d'équation $x=0$.

Wach n9der nkhdem b ln(a) + ln(b) = ln(a+b) ?

Non, c'est une erreur grave ! La règle est $\ln(a) + \ln(b) = \ln(a \times b)$ . La somme des logarithmes est le logarithme du produit.

💡 À retenir : $\ln(a+b)$ ne se simplifie pas.

Non, c'est une erreur grave ! La règle est $\ln(a) + \ln(b) = \ln(a \times b)$. La somme des logarithmes est le logarithme du produit.

💡 À retenir : $\ln(a+b)$ ne se simplifie pas.

Comment lever une indétermination du type infty - infty avec des ln ?

Il faut souvent factoriser par le terme dominant (souvent $x$ ou $x^n$ ).

Factorise par $x$ dans l'expression.
Utilise la limite $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$ .
Simplifie le reste.

💡 À retenir : La croissance de $x$ est toujours plus forte que celle de $\ln(x)$ .

Il faut souvent factoriser par le terme dominant (souvent $x$ ou $x^n$).

Factorise par $x$ dans l'expression.
Utilise la limite $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$.
Simplifie le reste.

💡 À retenir : La croissance de $x$ est toujours plus forte que celle de $\ln(x)$.

Kifach n3ref wach ln(x) positif wla négatif ?

C'est simple :

Si $x \in ]0, 1[$ , alors $\ln(x) < 0$ .
Si $x = 1$ , alors $\ln(x) = 0$ .
Si $x > 1$ , alors $\ln(x) > 0$ .

💡 À retenir : Le signe dépend de la position de $x$ par rapport à 1.

C'est simple :

Si $x \in ]0, 1[$, alors $\ln(x) < 0$.
Si $x = 1$, alors $\ln(x) = 0$.
Si $x > 1$, alors $\ln(x) > 0$.

💡 À retenir : Le signe dépend de la position de $x$ par rapport à 1.

Est-ce que ln(e^x) = x pour tout x ?

Oui, car la fonction $\ln$ et la fonction exponentielle sont réciproques l'une de l'autre sur tout $\mathbb{R}$ .

💡 À retenir : $\ln(e^x) = x$ et $e^{\ln(x)} = x$ (pour $x>0$ ).

Oui, car la fonction $\ln$ et la fonction exponentielle sont réciproques l'une de l'autre sur tout $\mathbb{R}$.

💡 À retenir : $\ln(e^x) = x$ et $e^{\ln(x)} = x$ (pour $x>0$).

Comment dériver une fonction avec ln ?

Utilise la formule $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$ .

Identifie $u(x)$ (ce qui est dans le $\ln$ ).
Calcule sa dérivée $u'(x)$ .
Applique la fraction.

💡 À retenir : Ne jamais oublier de diviser par $u(x)$ .

Utilise la formule $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$.

Identifie $u(x)$ (ce qui est dans le $\ln$).
Calcule sa dérivée $u'(x)$.
Applique la fraction.

💡 À retenir : Ne jamais oublier de diviser par $u(x)$.

Est-ce que ln(x^n) = nln(x) est toujours vrai ?

C'est vrai pour tout $x > 0$ et tout $n \in \mathbb{R}$ . Si $n$ est pair, il faut faire attention au signe de $x$ (utiliser la valeur absolue).

💡 À retenir : La condition $x > 0$ est indispensable.

C'est vrai pour tout $x > 0$ et tout $n \in \mathbb{R}$. Si $n$ est pair, il faut faire attention au signe de $x$ (utiliser la valeur absolue).

💡 À retenir : La condition $x > 0$ est indispensable.

Pourquoi lim{x to +infty} frac{ln(x)}{x} = 0 ?

C'est une limite de référence appelée "croissance comparée". Elle signifie que la fonction $x$ (fonction puissance) croît beaucoup plus vite que la fonction $\ln(x)$ quand $x$ devient très grand.

💡 À retenir : Les polynômes dominent toujours le logarithme en $+\infty$ .

💡 À retenir : Les polynômes dominent toujours le logarithme en $+\infty$.

Est-ce que je peux utiliser ln(x^2) = 2ln(x) dans une équation ?

Oui, à condition de préciser que $x > 0$ . Si tu ne connais pas le signe de $x$ , utilise $\ln(x^2) = 2\ln(|x|)$ .

💡 À retenir : La prudence avec le domaine de définition évite les erreurs de signe.

Oui, à condition de préciser que $x > 0$. Si tu ne connais pas le signe de $x$, utilise $\ln(x^2) = 2\ln(|x|)$.

💡 À retenir : La prudence avec le domaine de définition évite les erreurs de signe.

Est-ce que la fonction ln est croissante ?

Oui, la fonction $\ln$ est strictement croissante sur son domaine $]0, +\infty[$ . Sa dérivée $1/x$ est toujours positive pour $x > 0$ .

💡 À retenir : Si $a < b$ , alors $\ln(a) < \ln(b)$ .

Oui, la fonction $\ln$ est strictement croissante sur son domaine $]0, +\infty[$. Sa dérivée $1/x$ est toujours positive pour $x > 0$.

💡 À retenir : Si $a < b$, alors $\ln(a) < \ln(b)$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Calculer la limite suivante : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x) + 1}{x^2}$ .

Exercice 1

Calculer la limite suivante : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x) + 1}{x^2}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $\ln(x+1) + \ln(x+2) = \ln(2)$ .

Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $\ln(x+1) + \ln(x+2) = \ln(2)$.

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Exercice 3

Étudier les variations de la fonction $f(x) = x - \ln(x)$ sur $]0, +\infty[$ .

Exercice 3

Étudier les variations de la fonction $f(x) = x - \ln(x)$ sur $]0, +\infty[$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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