Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences et Technologies Mécaniques

Nombres complexes (Partie 2)

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Dans cette partie, nous approfondissons l'interprétation géométrique et les équations.

Interprétation géométrique : Soient $A, B, C$ $A, B, C$ et $D$ $D$ des points d'affixes respectives $a, b, c$ $a, b, c$ et $d$ $d$ .
- L'affixe du vecteur $\vec{AB}$ est $b-a$ .
- La distance $AB = |b-a|$ .
- L'angle $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv \arg\left(\frac{c-a}{b-a}\right) \pmod{2\pi}$ .
Conditions d'alignement et d'orthogonalité :
- $A, B, C$ sont alignés ssi $\frac{c-a}{b-a} \in \mathbb{R}$ .
- $(AB) \perp (AC)$ ssi $\frac{c-a}{b-a} \in i\mathbb{R}$ (imaginaire pur).
Équations du second degré : Pour $az^2+bz+c=0$ ( $a,b,c \in \mathbb{R}$ ), si $\Delta < 0$ , les solutions sont $z = \frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$ .

Méthodes à maîtriser

Démontrer la nature d'un triangle : Calculer le rapport $\frac{c-a}{b-a}$ et déterminer son module et son argument.
Résoudre une équation complexe : Utiliser le discriminant $\Delta$ même si $\Delta < 0$ .
Passage forme algébrique vers trigonométrique : Calculer le module $r = \sqrt{a^2+b^2}$ puis factoriser par $r$ .

Exemples corrigés

Nature d'un triangle : Soient $a=1+i$ , $b=2+2i$ , $c=1+3i$ . $\frac{c-a}{b-a} = \frac{2i}{1+i} = \frac{2i(1-i)}{2} = 1+i$ . $|1+i| = \sqrt{2}$ , donc le triangle n'est pas équilatéral.
Équation : $z^2 - 2z + 2 = 0$ . $\Delta = 4 - 8 = -4 = (2i)^2$ . $z_1 = \frac{2+2i}{2} = 1+i$ et $z_2 = 1-i$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le modulo $2\pi$ dans les arguments.
Confondre l'affixe d'un point et le point lui-même.
Ne pas simplifier les fractions complexes en multipliant par le conjugué du dénominateur.

L'essentiel du cours

Dans cette partie, nous approfondissons l'interprétation géométrique et les équations.

Interprétation géométrique : Soient $A, B, C$ et $D$ des points d'affixes respectives $a, b, c$ et $d$.
- L'affixe du vecteur $\vec{AB}$ est $b-a$.
- La distance $AB = |b-a|$.
- L'angle $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv \arg\left(\frac{c-a}{b-a}\right) \pmod{2\pi}$.
Conditions d'alignement et d'orthogonalité :
- $A, B, C$ sont alignés ssi $\frac{c-a}{b-a} \in \mathbb{R}$.
- $(AB) \perp (AC)$ ssi $\frac{c-a}{b-a} \in i\mathbb{R}$ (imaginaire pur).
Équations du second degré : Pour $az^2+bz+c=0$ ($a,b,c \in \mathbb{R}$), si $\Delta < 0$, les solutions sont $z = \frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$.

Méthodes à maîtriser

Démontrer la nature d'un triangle : Calculer le rapport $\frac{c-a}{b-a}$ et déterminer son module et son argument.
Résoudre une équation complexe : Utiliser le discriminant $\Delta$ même si $\Delta < 0$.
Passage forme algébrique vers trigonométrique : Calculer le module $r = \sqrt{a^2+b^2}$ puis factoriser par $r$.

Exemples corrigés

Nature d'un triangle : Soient $a=1+i$, $b=2+2i$, $c=1+3i$. $\frac{c-a}{b-a} = \frac{2i}{1+i} = \frac{2i(1-i)}{2} = 1+i$. $|1+i| = \sqrt{2}$, donc le triangle n'est pas équilatéral.
Équation : $z^2 - 2z + 2 = 0$. $\Delta = 4 - 8 = -4 = (2i)^2$. $z_1 = \frac{2+2i}{2} = 1+i$ et $z_2 = 1-i$.

Erreurs fréquentes

Oublier le modulo $2\pi$ dans les arguments.
Confondre l'affixe d'un point et le point lui-même.
Ne pas simplifier les fractions complexes en multipliant par le conjugué du dénominateur.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Nombres complexes (Partie 2)

1/4

Quel est le module de $z = 3 - 4i$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que i^2 vaut toujours -1 ?

Oui, par définition, $i$ est le nombre dont le carré est $-1$ . C'est la base de tout le chapitre.

💡 À retenir : $i^2 = -1$ , $i^3 = -i$ , $i^4 = 1$ .

Oui, par définition, $i$ est le nombre dont le carré est $-1$. C'est la base de tout le chapitre.

💡 À retenir : $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$.

Comment passer de la forme exponentielle à la forme algébrique ?

Utilise la formule d'Euler : $re^{i\theta} = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ .
Calcule le cosinus et le sinus de l'angle.
Multiplie par $r$ .

💡 À retenir : $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ .

Utilise la formule d'Euler : $re^{i\theta} = r(\cos\theta + i\sin\theta)$.
Calcule le cosinus et le sinus de l'angle.
Multiplie par $r$.

💡 À retenir : $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$.

Comment montrer qu'un triangle est rectangle ?

Calcule le rapport $\frac{c-a}{b-a}$ .
Si ce rapport est un imaginaire pur (de la forme $ki$ avec $k \in \mathbb{R}^*$ ), alors le triangle est rectangle en $A$ .

💡 À retenir : La partie réelle doit être nulle.

Calcule le rapport $\frac{c-a}{b-a}$.
Si ce rapport est un imaginaire pur (de la forme $ki$ avec $k \in \mathbb{R}^*$), alors le triangle est rectangle en $A$.

💡 À retenir : La partie réelle doit être nulle.

Comment savoir si trois points sont alignés avec les affixes ?

Calcule le rapport $Z = \frac{c-a}{b-a}$ .
Si le résultat est un nombre réel (pas de partie imaginaire), alors les points $A, B$ et $C$ sont alignés.

💡 À retenir : Si $\frac{c-a}{b-a} \in \mathbb{R}$ , les vecteurs sont colinéaires.

Calcule le rapport $Z = \frac{c-a}{b-a}$.
Si le résultat est un nombre réel (pas de partie imaginaire), alors les points $A, B$ et $C$ sont alignés.

💡 À retenir : Si $\frac{c-a}{b-a} \in \mathbb{R}$, les vecteurs sont colinéaires.

kifach n7seb l'argument dyal chi nombre complexe bhal 1+isqrt{3} ?

Calcule le module $r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$ .
Factorise par $r$ : $1+i\sqrt{3} = 2(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})$ .
Identifie l'angle : $\cos(\theta) = 1/2$ et $\sin(\theta) = \sqrt{3}/2$ , donc $\theta = \pi/3$ .

💡 À retenir : L'argument est $\pi/3 \pmod{2\pi}$ .

Calcule le module $r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$.
Factorise par $r$ : $1+i\sqrt{3} = 2(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})$.
Identifie l'angle : $\cos(\theta) = 1/2$ et $\sin(\theta) = \sqrt{3}/2$, donc $\theta = \pi/3$.

💡 À retenir : L'argument est $\pi/3 \pmod{2\pi}$.

Est-ce que le module d'une somme est égal à la somme des modules ?

Non, en général $|z_1 + z_2| \neq |z_1| + |z_2|$ . C'est une erreur classique. L'inégalité triangulaire dit seulement que $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ .

💡 À retenir : Ne jamais distribuer le module sur une addition.

Non, en général $|z_1 + z_2| \neq |z_1| + |z_2|$. C'est une erreur classique. L'inégalité triangulaire dit seulement que $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$.

💡 À retenir : Ne jamais distribuer le module sur une addition.

wach n9der nkhdem b delta ila kanou l'coefficients dyal l'equation complexes ?

Oui, tu peux utiliser $\Delta = b^2 - 4ac$ . Si $\Delta$ est complexe, il faut chercher sa racine carrée $z_0$ telle que $z_0^2 = \Delta$ pour trouver les solutions. (à vérifier par le professeur selon le niveau de difficulté attendu).

💡 À retenir : La formule $z = \frac{-b \pm \delta}{2a}$ reste valable.

Oui, tu peux utiliser $\Delta = b^2 - 4ac$. Si $\Delta$ est complexe, il faut chercher sa racine carrée $z_0$ telle que $z_0^2 = \Delta$ pour trouver les solutions. (à vérifier par le professeur selon le niveau de difficulté attendu).

💡 À retenir : La formule $z = \frac{-b \pm \delta}{2a}$ reste valable.

Quelle est la différence entre l'affixe d'un point et son image ?

L'affixe est le nombre complexe $z = x+iy$ . L'image est le point $M(x, y)$ dans le plan complexe. Ce sont deux façons de représenter la même chose.

💡 À retenir : On note $M(z)$ .

L'affixe est le nombre complexe $z = x+iy$. L'image est le point $M(x, y)$ dans le plan complexe. Ce sont deux façons de représenter la même chose.

💡 À retenir : On note $M(z)$.

chhal hiya l'affixe dyal l'milieu dyal segment [AB] ?

Si $A$ a pour affixe $a$ et $B$ a pour affixe $b$ , alors l'affixe du milieu $I$ est $z_I = \frac{a+b}{2}$ .

💡 À retenir : C'est la moyenne arithmétique des affixes.

Si $A$ a pour affixe $a$ et $B$ a pour affixe $b$, alors l'affixe du milieu $I$ est $z_I = \frac{a+b}{2}$.

💡 À retenir : C'est la moyenne arithmétique des affixes.

Pourquoi on utilise le conjugué pour diviser deux nombres complexes ?

On multiplie par le conjugué du dénominateur pour rendre le dénominateur réel (en utilisant $(x+iy)(x-iy) = x^2+y^2$ ). Cela permet d'écrire le résultat sous la forme $a+ib$ .

💡 À retenir : Le dénominateur doit toujours être un nombre réel.

On multiplie par le conjugué du dénominateur pour rendre le dénominateur réel (en utilisant $(x+iy)(x-iy) = x^2+y^2$). Cela permet d'écrire le résultat sous la forme $a+ib$.

💡 À retenir : Le dénominateur doit toujours être un nombre réel.

Est-ce que l'argument d'un produit est la somme des arguments ?

Oui, $\arg(z_1 \cdot z_2) \equiv \arg(z_1) + \arg(z_2) \pmod{2\pi}$ . C'est une propriété très utile pour simplifier les calculs.

💡 À retenir : $\arg(z^n) = n \cdot \arg(z)$ .

Oui, $\arg(z_1 \cdot z_2) \equiv \arg(z_1) + \arg(z_2) \pmod{2\pi}$. C'est une propriété très utile pour simplifier les calculs.

💡 À retenir : $\arg(z^n) = n \cdot \arg(z)$.

Comment calculer la distance entre deux points A et B ?

La distance $AB$ est égale au module de la différence de leurs affixes : $AB = |z_B - z_A|$ .

💡 À retenir : $|z_B - z_A| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$ .

La distance $AB$ est égale au module de la différence de leurs affixes : $AB = |z_B - z_A|$.

💡 À retenir : $|z_B - z_A| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 - 4z + 13 = 0$ .

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 - 4z + 13 = 0$.

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Exercice 2

Soient $A(1+i)$ , $B(3-i)$ et $C(2+2i)$ . Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ .

Exercice 2

Soient $A(1+i)$, $B(3-i)$ et $C(2+2i)$. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

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Exercice 3

Déterminer l'ensemble des points $M(z)$ tels que $|z - i| = |z + 1|$ .

Exercice 3

Déterminer l'ensemble des points $M(z)$ tels que $|z - i| = |z + 1|$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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