Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences et Technologies Mécaniques

Nombres complexes (Partie 1)

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Définition : L'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ $C$ est l'ensemble des nombres de la forme $z = a + ib$ $z = a + ib$ , où $a, b \in \mathbb{R}$ $a, b \in R$ et $i^2 = -1$ $i^{2} = - 1$ .
- $a = \text{Re}(z)$ est la partie réelle.
- $b = \text{Im}(z)$ est la partie imaginaire.
Égalité : $a + ib = a' + ib' \iff a = a'$ et $b = b'$ .
Représentation géométrique : Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O, \vec{u}, \vec{v})$ . Le nombre $z = a + ib$ est l'affixe du point $M(a, b)$ et du vecteur $\vec{w}(a, b)$ .
Conjugué : $\bar{z} = a - ib$ . Propriétés : $\overline{z+z'} = \bar{z} + \bar{z'}$ , $\overline{z \cdot z'} = \bar{z} \cdot \bar{z'}$ , $\overline{z^n} = (\bar{z})^n$ .
Module : $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Propriétés : $|z| \geq 0$ , $|z|=0 \iff z=0$ , $|z \cdot z'| = |z| \cdot |z'|$ , $|z^n| = |z|^n$ .

Méthodes à maîtriser

Calcul algébrique : Savoir développer, factoriser et utiliser $i^2 = -1$ pour simplifier des expressions.
Division complexe : Pour calculer $\frac{z}{z'}$ , multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur $\bar{z'}$ .
Interprétation géométrique : Savoir que $|z_B - z_A| = AB$ et que l'affixe du milieu du segment $[AB]$ est $\frac{z_A + z_B}{2}$ .

Exemples corrigés

Calcul : Soit $z = 3 + 2i$ et $z' = 1 - i$ . $z \cdot z' = (3+2i)(1-i) = 3 - 3i + 2i - 2i^2 = 3 - i + 2 = 5 - i$ .
Division : $\frac{1}{i} = \frac{1 \cdot (-i)}{i \cdot (-i)} = \frac{-i}{-i^2} = \frac{-i}{1} = -i$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $i^2$ avec $1$ ou $-i$ . Rappel : $i^2 = -1$ .
Oublier de multiplier par le conjugué lors d'une division.
Penser que $|z+z'| = |z| + |z'|$ (c'est faux en général).

L'essentiel du cours

Définition : L'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ est l'ensemble des nombres de la forme $z = a + ib$, où $a, b \in \mathbb{R}$ et $i^2 = -1$.
- $a = \text{Re}(z)$ est la partie réelle.
- $b = \text{Im}(z)$ est la partie imaginaire.
Égalité : $a + ib = a' + ib' \iff a = a'$ et $b = b'$.
Représentation géométrique : Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O, \vec{u}, \vec{v})$. Le nombre $z = a + ib$ est l'affixe du point $M(a, b)$ et du vecteur $\vec{w}(a, b)$.
Conjugué : $\bar{z} = a - ib$. Propriétés : $\overline{z+z'} = \bar{z} + \bar{z'}$, $\overline{z \cdot z'} = \bar{z} \cdot \bar{z'}$, $\overline{z^n} = (\bar{z})^n$.
Module : $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. Propriétés : $|z| \geq 0$, $|z|=0 \iff z=0$, $|z \cdot z'| = |z| \cdot |z'|$, $|z^n| = |z|^n$.

Méthodes à maîtriser

Calcul algébrique : Savoir développer, factoriser et utiliser $i^2 = -1$ pour simplifier des expressions.
Division complexe : Pour calculer $\frac{z}{z'}$, multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur $\bar{z'}$.
Interprétation géométrique : Savoir que $|z_B - z_A| = AB$ et que l'affixe du milieu du segment $[AB]$ est $\frac{z_A + z_B}{2}$.

Exemples corrigés

Calcul : Soit $z = 3 + 2i$ et $z' = 1 - i$. $z \cdot z' = (3+2i)(1-i) = 3 - 3i + 2i - 2i^2 = 3 - i + 2 = 5 - i$.
Division : $\frac{1}{i} = \frac{1 \cdot (-i)}{i \cdot (-i)} = \frac{-i}{-i^2} = \frac{-i}{1} = -i$.

Erreurs fréquentes

Confondre $i^2$ avec $1$ ou $-i$. Rappel : $i^2 = -1$.
Oublier de multiplier par le conjugué lors d'une division.
Penser que $|z+z'| = |z| + |z'|$ (c'est faux en général).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Nombres complexes (Partie 1)

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Quelle est la partie imaginaire de $z = 5 - 2i$ ?

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre un nombre réel et un nombre complexe ?

Un nombre réel est un nombre qui peut s'écrire sur la droite graduée (ex: 2, -5, $\sqrt{3}$ ).
Un nombre complexe est une extension qui permet de résoudre des équations comme $x^2 = -1$ .
Tout réel est un complexe (avec une partie imaginaire nulle), mais l'inverse est faux.

💡 À retenir : $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ .

Un nombre réel est un nombre qui peut s'écrire sur la droite graduée (ex: 2, -5, $\sqrt{3}$).
Un nombre complexe est une extension qui permet de résoudre des équations comme $x^2 = -1$.
Tout réel est un complexe (avec une partie imaginaire nulle), mais l'inverse est faux.

💡 À retenir : $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$.

Kifach n7seb l'affixe dial l'milieu dial segment [AB] ?

Tu identifies les affixes $z_A$ et $z_B$ des points $A$ et $B$ .
Tu appliques la formule : $z_I = \frac{z_A + z_B}{2}$ .
Tu simplifies la partie réelle et la partie imaginaire séparément.

💡 À retenir : L'affixe du milieu est la moyenne arithmétique des affixes des extrémités.

Tu identifies les affixes $z_A$ et $z_B$ des points $A$ et $B$.
Tu appliques la formule : $z_I = \frac{z_A + z_B}{2}$.
Tu simplifies la partie réelle et la partie imaginaire séparément.

💡 À retenir : L'affixe du milieu est la moyenne arithmétique des affixes des extrémités.

Est-ce que le module d'un nombre complexe peut être négatif ?

Non, jamais. Le module $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ est une distance dans le plan complexe. Une distance est toujours positive ou nulle.

💡 À retenir : $|z| \geq 0$ pour tout $z \in \mathbb{C}$ .

Non, jamais. Le module $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ est une distance dans le plan complexe. Une distance est toujours positive ou nulle.

💡 À retenir : $|z| \geq 0$ pour tout $z \in \mathbb{C}$.

Wach darouri nst3mlo l'conjugué bach n7eydo i mn l'maqam ?

Oui, c'est la méthode standard. En multipliant par $\bar{z'}$ , le dénominateur devient $z' \cdot \bar{z'} = |z'|^2$ , qui est un nombre réel. Cela permet d'écrire le résultat sous la forme $a + ib$ .

💡 À retenir : Pour diviser, on multiplie haut et bas par le conjugué du dénominateur.

Oui, c'est la méthode standard. En multipliant par $\bar{z'}$, le dénominateur devient $z' \cdot \bar{z'} = |z'|^2$, qui est un nombre réel. Cela permet d'écrire le résultat sous la forme $a + ib$.

💡 À retenir : Pour diviser, on multiplie haut et bas par le conjugué du dénominateur.

Comment savoir si deux nombres complexes sont égaux ?

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles sont égales ET leurs parties imaginaires sont égales.

💡 À retenir : $a+ib = a'+ib' \iff a=a'$ et $b=b'$ .

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles sont égales ET leurs parties imaginaires sont égales.

💡 À retenir : $a+ib = a'+ib' \iff a=a'$ et $b=b'$.

Chno hiya l'relation bin l'conjugué w l'module ?

Il existe une relation fondamentale : $z \cdot \bar{z} = |z|^2$ .

Si $z = a+ib$ , alors $z \cdot \bar{z} = (a+ib)(a-ib) = a^2 - (ib)^2 = a^2 + b^2$ .
Or, $|z|^2 = (\sqrt{a^2+b^2})^2 = a^2+b^2$ .

💡 À retenir : Le produit d'un nombre par son conjugué est toujours le carré de son module.

Il existe une relation fondamentale : $z \cdot \bar{z} = |z|^2$.

Si $z = a+ib$, alors $z \cdot \bar{z} = (a+ib)(a-ib) = a^2 - (ib)^2 = a^2 + b^2$.
Or, $|z|^2 = (\sqrt{a^2+b^2})^2 = a^2+b^2$.

💡 À retenir : Le produit d'un nombre par son conjugué est toujours le carré de son module.

Est-ce que |z1 + z2| = |z1| + |z2| est toujours vrai ?

Non, c'est faux. Cette égalité n'est vraie que dans des cas très particuliers (quand les vecteurs sont colinéaires et de même sens). En général, on a l'inégalité triangulaire : $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ .

💡 À retenir : Ne jamais distribuer le module sur une addition.

Kifach n7seb i^n ila kan n kbir bzaf ?

Tu divises $n$ par 4.
Tu regardes le reste $r$ de la division euclidienne ( $n = 4k + r$ ).
$i^n = i^r$ car $i^4 = 1$ .

💡 À retenir : Les puissances de $i$ sont cycliques : $i, -1, -i, 1$ .

Tu divises $n$ par 4.
Tu regardes le reste $r$ de la division euclidienne ($n = 4k + r$).
$i^n = i^r$ car $i^4 = 1$.

💡 À retenir : Les puissances de $i$ sont cycliques : $i, -1, -i, 1$.

Le conjugué d'une somme est-il égal à la somme des conjugués ?

Oui, c'est une propriété très utile : $\overline{z_1 + z_2} = \bar{z_1} + \bar{z_2}$ . Cela fonctionne aussi pour la soustraction.

💡 À retenir : Le conjugué "se distribue" sur l'addition et la multiplication.

Oui, c'est une propriété très utile : $\overline{z_1 + z_2} = \bar{z_1} + \bar{z_2}$. Cela fonctionne aussi pour la soustraction.

💡 À retenir : Le conjugué "se distribue" sur l'addition et la multiplication.

Est-ce que l'affixe d'un vecteur vec{AB} est toujours zB - zA ?

Oui, absolument. Si $A$ a pour affixe $z_A$ et $B$ a pour affixe $z_B$ , alors le vecteur $\vec{AB}$ a pour affixe $z_B - z_A$ .

💡 À retenir : Affixe de $\vec{AB} = z_B - z_A$ .

Oui, absolument. Si $A$ a pour affixe $z_A$ et $B$ a pour affixe $z_B$, alors le vecteur $\vec{AB}$ a pour affixe $z_B - z_A$.

💡 À retenir : Affixe de $\vec{AB} = z_B - z_A$.

Pourquoi on dit que i est une solution de x^2+1=0 ?

Parce que si tu remplaces $x$ par $i$ , tu obtiens $i^2 + 1 = -1 + 1 = 0$ . C'est justement pour cela que les nombres complexes ont été inventés.

💡 À retenir : $i$ est défini par la propriété $i^2 = -1$ .

Parce que si tu remplaces $x$ par $i$, tu obtiens $i^2 + 1 = -1 + 1 = 0$. C'est justement pour cela que les nombres complexes ont été inventés.

💡 À retenir : $i$ est défini par la propriété $i^2 = -1$.

Est-ce que je peux simplifier frac{2+i}{3-i} sans utiliser le conjugué ?

Non, c'est la seule méthode rigoureuse pour obtenir la forme algébrique $a+ib$ exigée au baccalauréat.

💡 À retenir : Toujours mettre sous forme $a+ib$ en multipliant par le conjugué.

Non, c'est la seule méthode rigoureuse pour obtenir la forme algébrique $a+ib$ exigée au baccalauréat.

💡 À retenir : Toujours mettre sous forme $a+ib$ en multipliant par le conjugué.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soient $z_1 = 2 + 3i$ et $z_2 = 1 - 2i$ .

Calculer $z_1 + z_2$ et $z_1 \cdot z_2$ .
Déterminer la forme algébrique de $Z = \frac{z_1}{z_2}$ .
Calculer $|z_1|$ et $|z_2|$ .

Exercice 1

Soient $z_1 = 2 + 3i$ et $z_2 = 1 - 2i$.

Calculer $z_1 + z_2$ et $z_1 \cdot z_2$.
Déterminer la forme algébrique de $Z = \frac{z_1}{z_2}$.
Calculer $|z_1|$ et $|z_2|$.

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Exercice 2

Soient $A$ et $B$ deux points d'affixes respectives $z_A = 3+i$ et $z_B = -1+2i$ .

Déterminer l'affixe du point $I$ milieu du segment $[AB]$ .
Calculer la distance $AB$ .

Exercice 2

Soient $A$ et $B$ deux points d'affixes respectives $z_A = 3+i$ et $z_B = -1+2i$.

Déterminer l'affixe du point $I$ milieu du segment $[AB]$.
Calculer la distance $AB$.

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Exercice 3

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z(1+i) = 2 - i$ . Donner le résultat sous forme algébrique.

Exercice 3

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z(1+i) = 2 - i$. Donner le résultat sous forme algébrique.

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