Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences et Technologies Mécaniques

Fonctions trigonométriques

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Les fonctions $f(x) = \sin(x)$ et $g(x) = \cos(x)$ sont définies sur $\mathbb{R}$ , dérivables sur $\mathbb{R}$ , et périodiques de période $2\pi$ .
La fonction $h(x) = \tan(x)$ est définie sur $\mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$ .
Dérivées usuelles : $(\sin x)' = \cos x$ ; $(\cos x)' = -\sin x$ ; $(\tan x)' = 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ .

Méthodes à maîtriser

Étude de la parité : $\sin(-x) = -\sin(x)$ (impaire), $\cos(-x) = \cos(x)$ (paire).
Résolution d'équations : $\sin x = \sin a \iff x = a + 2k\pi$ ou $x = \pi - a + 2k\pi$ .
Utilisation du cercle trigonométrique pour les inéquations.

Exemples corrigés

Dérivée de $f(x) = \sin(2x + 1)$ : $f'(x) = 2\cos(2x + 1)$ .
Résoudre $\cos(x) = \frac{1}{2}$ sur $[0, 2\pi]$ : $x = \frac{\pi}{3}$ ou $x = -\frac{\pi}{3} \equiv \frac{5\pi}{3}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le $2k\pi$ dans les solutions des équations.
Confondre le signe de la dérivée de $\cos(x)$ (c'est $-\sin x$ ).
Ne pas restreindre le domaine de définition pour $\tan(x)$ .

L'essentiel du cours

Les fonctions $f(x) = \sin(x)$ et $g(x) = \cos(x)$ sont définies sur $\mathbb{R}$, dérivables sur $\mathbb{R}$, et périodiques de période $2\pi$.
La fonction $h(x) = \tan(x)$ est définie sur $\mathbb{R} \setminus {\frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}}$.
Dérivées usuelles : $(\sin x)' = \cos x$ ; $(\cos x)' = -\sin x$ ; $(\tan x)' = 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Méthodes à maîtriser

Étude de la parité : $\sin(-x) = -\sin(x)$ (impaire), $\cos(-x) = \cos(x)$ (paire).
Résolution d'équations : $\sin x = \sin a \iff x = a + 2k\pi$ ou $x = \pi - a + 2k\pi$.
Utilisation du cercle trigonométrique pour les inéquations.

Exemples corrigés

Dérivée de $f(x) = \sin(2x + 1)$ : $f'(x) = 2\cos(2x + 1)$.
Résoudre $\cos(x) = \frac{1}{2}$ sur $[0, 2\pi]$ : $x = \frac{\pi}{3}$ ou $x = -\frac{\pi}{3} \equiv \frac{5\pi}{3}$.

Erreurs fréquentes

Oublier le $2k\pi$ dans les solutions des équations.
Confondre le signe de la dérivée de $\cos(x)$ (c'est $-\sin x$).
Ne pas restreindre le domaine de définition pour $\tan(x)$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Fonctions trigonométriques

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Quelle est la dérivée de $f(x) = \sin(x) + \cos(x)$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que sin(x) est toujours périodique ?

Oui, la fonction sinus est périodique de période $T = 2\pi$ . Cela signifie que pour tout réel $x$ , $\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$ . Le graphe se répète à l'identique tous les $2\pi$ .

💡 À retenir : La période fondamentale de $\sin(ax+b)$ est $T = \frac{2\pi}{|a|}$ .

Oui, la fonction sinus est périodique de période $T = 2\pi$. Cela signifie que pour tout réel $x$, $\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$. Le graphe se répète à l'identique tous les $2\pi$.

💡 À retenir : La période fondamentale de $\sin(ax+b)$ est $T = \frac{2\pi}{|a|}$.

kifach n7seb l'intervalle fin katsawd fonction nafs l9ima ?

Khassak t9elleb 3la l'adad $T$ li kay7eqeq $f(x+T) = f(x)$ .
Pour $\sin(x)$ et $\cos(x)$ , $T = 2\pi$ .
Pour $\tan(x)$ , $T = \pi$ .
Ila kan 3ndek $\sin(ax)$ , l'intervalle kaywli $T = \frac{2\pi}{|a|}$ .

💡 À retenir : La périodicité permet de restreindre l'étude à un intervalle de longueur $T$ .

Khassak t9elleb 3la l'adad $T$ li kay7eqeq $f(x+T) = f(x)$.
Pour $\sin(x)$ et $\cos(x)$, $T = 2\pi$.
Pour $\tan(x)$, $T = \pi$.
Ila kan 3ndek $\sin(ax)$, l'intervalle kaywli $T = \frac{2\pi}{|a|}$.

💡 À retenir : La périodicité permet de restreindre l'étude à un intervalle de longueur $T$.

Est-ce que la dérivée de tan(x) est toujours positive ?

Oui, sur son domaine de définition, $(\tan x)' = 1 + \tan^2(x)$ . Comme un carré est toujours positif ou nul, $1 + \tan^2(x) \geq 1 > 0$ . La fonction tangente est donc strictement croissante sur chaque intervalle de son domaine.

💡 À retenir : La dérivée de $\tan(x)$ est $1 + \tan^2(x)$ ou $\frac{1}{\cos^2(x)}$ .

Oui, sur son domaine de définition, $(\tan x)' = 1 + \tan^2(x)$. Comme un carré est toujours positif ou nul, $1 + \tan^2(x) \geq 1 > 0$. La fonction tangente est donc strictement croissante sur chaque intervalle de son domaine.

💡 À retenir : La dérivée de $\tan(x)$ est $1 + \tan^2(x)$ ou $\frac{1}{\cos^2(x)}$.

chhal hiya dérivée dial cos(3x) ?

Kanst3mlo l9a3ida dial $(f(u))' = u' \cdot f'(u)$ .
Hna $u = 3x$ , donc $u' = 3$ .
Dérivée dial $\cos$ hiya $-\sin$ .
Donc $(\cos(3x))' = 3 \times (-\sin(3x)) = -3\sin(3x)$ .

💡 À retenir : N'oublie jamais de multiplier par la dérivée de ce qu'il y a à l'intérieur de la parenthèse.

Kanst3mlo l9a3ida dial $(f(u))' = u' \cdot f'(u)$.
Hna $u = 3x$, donc $u' = 3$.
Dérivée dial $\cos$ hiya $-\sin$.
Donc $(\cos(3x))' = 3 \times (-\sin(3x)) = -3\sin(3x)$.

💡 À retenir : N'oublie jamais de multiplier par la dérivée de ce qu'il y a à l'intérieur de la parenthèse.

Pourquoi tan(x) n'est pas définie en frac{pi}{2} ?

Parce que $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ . Or, $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ . La division par zéro étant impossible en mathématiques, la fonction n'est pas définie en ces points.

💡 À retenir : $\tan(x)$ est définie si et seulement si $\cos(x) \neq 0$ .

Parce que $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$. Or, $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. La division par zéro étant impossible en mathématiques, la fonction n'est pas définie en ces points.

💡 À retenir : $\tan(x)$ est définie si et seulement si $\cos(x) \neq 0$.

kifach n3ref wach fonction trigonometriya zwjiya aw ferdiya ?

Chof wach $f(-x) = f(x)$ (zwjiya/paire) aw $f(-x) = -f(x)$ (ferdiya/impaire).
$\cos(-x) = \cos(x)$ donc paire.
$\sin(-x) = -\sin(x)$ donc impaire.
$\tan(-x) = -\tan(x)$ donc impaire.

💡 À retenir : Une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, une impaire par rapport à l'origine.

Chof wach $f(-x) = f(x)$ (zwjiya/paire) aw $f(-x) = -f(x)$ (ferdiya/impaire).
$\cos(-x) = \cos(x)$ donc paire.
$\sin(-x) = -\sin(x)$ donc impaire.
$\tan(-x) = -\tan(x)$ donc impaire.

💡 À retenir : Une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, une impaire par rapport à l'origine.

Est-ce que sin^2(x) + cos^2(x) = 1 est toujours vrai ?

Oui, c'est l'identité fondamentale de la trigonométrie, valable pour tout réel $x$ . Elle découle directement du théorème de Pythagore appliqué dans le cercle trigonométrique.

💡 À retenir : Cette relation est indispensable pour transformer des expressions trigonométriques.

Oui, c'est l'identité fondamentale de la trigonométrie, valable pour tout réel $x$. Elle découle directement du théorème de Pythagore appliqué dans le cercle trigonométrique.

💡 À retenir : Cette relation est indispensable pour transformer des expressions trigonométriques.

Comment dériver f(x) = sin(x)cos(x) ?

Il faut utiliser la règle du produit $(uv)' = u'v + uv'$ .

$u = \sin(x) \implies u' = \cos(x)$ .
$v = \cos(x) \implies v' = -\sin(x)$ .
$f'(x) = \cos(x)\cos(x) + \sin(x)(-\sin(x)) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$ .

💡 À retenir : On peut aussi remarquer que $f(x) = \frac{1}{2}\sin(2x)$ , donc $f'(x) = \cos(2x)$ .

Il faut utiliser la règle du produit $(uv)' = u'v + uv'$.

$u = \sin(x) \implies u' = \cos(x)$.
$v = \cos(x) \implies v' = -\sin(x)$.
$f'(x) = \cos(x)\cos(x) + \sin(x)(-\sin(x)) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$.

💡 À retenir : On peut aussi remarquer que $f(x) = \frac{1}{2}\sin(2x)$, donc $f'(x) = \cos(2x)$.

Est-ce que les fonctions trigonométriques ont des asymptotes ?

Les fonctions $\sin$ et $\cos$ n'ont pas d'asymptotes car elles sont bornées entre -1 et 1. Par contre, $\tan(x)$ possède des asymptotes verticales aux points où elle n'est pas définie (ex: $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ ).

💡 À retenir : $\tan(x)$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ près des valeurs interdites.

Est-ce que je peux utiliser la calculatrice pour résoudre les équations ?

La calculatrice peut t'aider à vérifier, mais à l'examen, tu dois montrer les étapes sur le cercle trigonométrique ou par le calcul algébrique. La justification est obligatoire.

💡 À retenir : Apprends par cœur les valeurs usuelles ( $\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{6}$ ).

La calculatrice peut t'aider à vérifier, mais à l'examen, tu dois montrer les étapes sur le cercle trigonométrique ou par le calcul algébrique. La justification est obligatoire.

💡 À retenir : Apprends par cœur les valeurs usuelles ($\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{6}$).

C'est quoi l'intérêt de la dérivée pour les fonctions trigonométriques ?

La dérivée permet d'étudier les variations (croissance/décroissance) et de trouver les extremums (max/min) de la fonction, ce qui est crucial pour tracer sa courbe représentative.

💡 À retenir : Le signe de la dérivée donne le sens de variation.

Est-ce que les fonctions trigonométriques sont monotones sur mathbb{R} ?

Non, elles ne sont jamais monotones sur $\mathbb{R}$ car elles sont périodiques et oscillent indéfiniment. Elles ne sont monotones que sur des intervalles restreints (ex: $\sin(x)$ est croissante sur $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ ).

💡 À retenir : La monotonie est toujours locale pour ces fonctions.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2\sin(x) + \cos(2x)$ .

Calculer $f'(x)$ .
Résoudre dans $[0, 2\pi]$ l'équation $f'(x) = 0$ .

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2\sin(x) + \cos(2x)$.

Calculer $f'(x)$.
Résoudre dans $[0, 2\pi]$ l'équation $f'(x) = 0$.

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Exercice 2

Étudier la parité de la fonction $g(x) = x^2 \sin(x)$ .

Exercice 2

Étudier la parité de la fonction $g(x) = x^2 \sin(x)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $h(x) = \tan(x)$ au point d'abscisse $x_0 = 0$ .

Exercice 3

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $h(x) = \tan(x)$ au point d'abscisse $x_0 = 0$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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