Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences et Technologies Mécaniques

Calcul intégral

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $F$ une primitive de $f$ sur $I$ . Pour tout $a, b \in I$ , l'intégrale de $f$ de $a$ à $b$ est : $\int_{a}^{b} f(x) dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$ Propriétés fondamentales :

Linéarité : $\int_{a}^{b} (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x) dx + \beta \int_{a}^{b} g(x) dx$ .
Relation de Chasles : $\int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx$ .
Positivité : Si $f(x) \geq 0$ sur $[a, b]$ avec $a \leq b$ , alors $\int_{a}^{b} f(x) dx \geq 0$ .
Intégration par parties : $\int_{a}^{b} u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u'(x)v(x) dx$ .

Méthodes à maîtriser

Calcul direct : Identifier une primitive usuelle (puissances, $\ln$ , $\exp$ ).
Intégration par parties (IPP) : Choisir $u(x)$ selon la règle "LPET" (Logarithme, Polynôme, Exponentielle, Trigonométrique).
Calcul d'aire : L'aire du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$ , l'axe des abscisses et les droites $x=a$ et $x=b$ est $\mathcal{A} = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$ (en unités d'aire).

Exemples corrigés

Calcul simple : $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx = [\ln|x|]_{1}^{e} = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1$ .
IPP : Calculer $I = \int_{0}^{1} x e^x dx$ . Posons $u(x) = x \implies u'(x) = 1$ et $v'(x) = e^x \implies v(x) = e^x$ . $I = [x e^x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^x dx = (1 e^1 - 0) - [e^x]_{0}^{1} = e - (e - 1) = 1$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la continuité de la fonction sur l'intervalle donné.
Inverser les bornes : $\int_{b}^{a} f(x) dx = - \int_{a}^{b} f(x) dx$ .
Confusion entre primitive et intégrale : une intégrale est un nombre, pas une fonction.
Erreur de signe lors de l'IPP.

L'essentiel du cours

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $F$ une primitive de $f$ sur $I$. Pour tout $a, b \in I$, l'intégrale de $f$ de $a$ à $b$ est : $$\int_{a}^{b} f(x) dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$$ Propriétés fondamentales :

Linéarité : $\int_{a}^{b} (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x) dx + \beta \int_{a}^{b} g(x) dx$.
Relation de Chasles : $\int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx$.
Positivité : Si $f(x) \geq 0$ sur $[a, b]$ avec $a \leq b$, alors $\int_{a}^{b} f(x) dx \geq 0$.
Intégration par parties : $\int_{a}^{b} u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]{a}^{b} - \int{a}^{b} u'(x)v(x) dx$.

Méthodes à maîtriser

Calcul direct : Identifier une primitive usuelle (puissances, $\ln$, $\exp$).
Intégration par parties (IPP) : Choisir $u(x)$ selon la règle "LPET" (Logarithme, Polynôme, Exponentielle, Trigonométrique).
Calcul d'aire : L'aire du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}f$, l'axe des abscisses et les droites $x=a$ et $x=b$ est $\mathcal{A} = \int{a}^{b} |f(x)| dx$ (en unités d'aire).

Exemples corrigés

Calcul simple : $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx = [\ln|x|]_{1}^{e} = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1$.
IPP : Calculer $I = \int_{0}^{1} x e^x dx$. Posons $u(x) = x \implies u'(x) = 1$ et $v'(x) = e^x \implies v(x) = e^x$. $I = [x e^x]{0}^{1} - \int{0}^{1} e^x dx = (1 e^1 - 0) - [e^x]_{0}^{1} = e - (e - 1) = 1$.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la continuité de la fonction sur l'intervalle donné.
Inverser les bornes : $\int_{b}^{a} f(x) dx = - \int_{a}^{b} f(x) dx$.
Confusion entre primitive et intégrale : une intégrale est un nombre, pas une fonction.
Erreur de signe lors de l'IPP.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Calcul intégral

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Quelle est la valeur de $\int_{0}^{1} e^x dx$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que l'intégrale peut être négative ?

Oui, tout à fait. L'intégrale représente une "aire algébrique". Si la fonction $f$ est négative sur l'intervalle $[a, b]$ , alors $\int_{a}^{b} f(x) dx$ sera un nombre négatif.

💡 À retenir : L'intégrale est négative si la courbe est située en dessous de l'axe des abscisses.

Oui, tout à fait. L'intégrale représente une "aire algébrique". Si la fonction $f$ est négative sur l'intervalle $[a, b]$, alors $\int_{a}^{b} f(x) dx$ sera un nombre négatif.

💡 À retenir : L'intégrale est négative si la courbe est située en dessous de l'axe des abscisses.

Kifach n7seb l'aire dyal chi domaine bla ma nkhrej f'l'intégrale negative ?

Pour calculer une aire géométrique, tu dois toujours utiliser la valeur absolue : $\mathcal{A} = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$ .

Étudie le signe de $f(x)$ sur $[a, b]$ .
Découpe l'intégrale en plusieurs parties selon les points où $f(x)$ s'annule.
Multiplie par $-1$ les parties où $f(x)$ est négative.

💡 À retenir : L'aire est toujours positive, exprime-la en $u.a$ (unité d'aire).

Pour calculer une aire géométrique, tu dois toujours utiliser la valeur absolue : $\mathcal{A} = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$.

Étudie le signe de $f(x)$ sur $[a, b]$.
Découpe l'intégrale en plusieurs parties selon les points où $f(x)$ s'annule.
Multiplie par $-1$ les parties où $f(x)$ est négative.

💡 À retenir : L'aire est toujours positive, exprime-la en $u.a$ (unité d'aire).

Comment choisir u(x) et v'(x) dans une intégration par parties ?

Utilise la règle "LPET" pour choisir $u(x)$ :

Logarithme ( $\ln x$ )
Polynôme ( $x^n$ )
Exponentielle ( $e^x$ )
Trigonométrique ( $\cos x, \sin x$ ) La fonction qui apparaît en premier dans cette liste est ton $u(x)$ .

💡 À retenir : $u(x)$ doit être facile à dériver et $v'(x)$ facile à intégrer.

Utilise la règle "LPET" pour choisir $u(x)$ :

Logarithme ($\ln x$)
Polynôme ($x^n$)
Exponentielle ($e^x$)
Trigonométrique ($\cos x, \sin x$) La fonction qui apparaît en premier dans cette liste est ton $u(x)$.

💡 À retenir : $u(x)$ doit être facile à dériver et $v'(x)$ facile à intégrer.

Chno hiya l'relation bin primitive o l'intégrale ?

C'est très simple : l'intégrale est le résultat du calcul d'une primitive. Si tu cherches $\int_{a}^{b} f(x) dx$ , tu dois d'abord trouver une primitive $F$ de $f$ , puis calculer $F(b) - F(a)$ .

💡 À retenir : L'intégrale est l'application concrète des primitives sur un intervalle donné.

C'est très simple : l'intégrale est le résultat du calcul d'une primitive. Si tu cherches $\int_{a}^{b} f(x) dx$, tu dois d'abord trouver une primitive $F$ de $f$, puis calculer $F(b) - F(a)$.

💡 À retenir : L'intégrale est l'application concrète des primitives sur un intervalle donné.

Est-ce que je peux utiliser Chasles si les bornes ne sont pas dans l'ordre ?

Oui, la relation de Chasles $\int_{a}^{b} + \int_{b}^{c} = \int_{a}^{c}$ fonctionne quels que soient les réels $a, b, c$ , tant que la fonction est continue sur l'intervalle global.

💡 À retenir : Chasles est un outil puissant pour découper une intégrale complexe en morceaux plus simples.

Oui, la relation de Chasles $\int_{a}^{b} + \int_{b}^{c} = \int_{a}^{c}$ fonctionne quels que soient les réels $a, b, c$, tant que la fonction est continue sur l'intervalle global.

💡 À retenir : Chasles est un outil puissant pour découper une intégrale complexe en morceaux plus simples.

Wach darouri n'kherej l'unité d'aire (u.a) f'l'examen ?

Oui, c'est très important. Si l'énoncé te demande l'aire du domaine, le résultat doit être suivi de "u.a". Si tu ne l'écris pas, tu risques de perdre des points.

💡 À retenir : $1 \text{ u.a} = \|\vec{i}\| \times \|\vec{j}\|$ . Si rien n'est précisé, c'est $1 \text{ cm}^2$ .

Oui, c'est très important. Si l'énoncé te demande l'aire du domaine, le résultat doit être suivi de "u.a". Si tu ne l'écris pas, tu risques de perdre des points.

💡 À retenir : $1 \text{ u.a} = |\vec{i}| \times |\vec{j}|$. Si rien n'est précisé, c'est $1 \text{ cm}^2$.

Si j'ai une fonction composée, comment je fais pour intégrer ?

Regarde si tu peux faire apparaître la forme $u'(x) \cdot (u(x))^n$ ou $u'(x) \cdot e^{u(x)}$ .

Identifie $u(x)$ et sa dérivée $u'(x)$ .
Ajuste les constantes si nécessaire.
Utilise les formules de primitives composées.

💡 À retenir : La reconnaissance de la forme $u' \cdot f'(u)$ est la clé pour les intégrales complexes.

Regarde si tu peux faire apparaître la forme $u'(x) \cdot (u(x))^n$ ou $u'(x) \cdot e^{u(x)}$.

Identifie $u(x)$ et sa dérivée $u'(x)$.
Ajuste les constantes si nécessaire.
Utilise les formules de primitives composées.

💡 À retenir : La reconnaissance de la forme $u' \cdot f'(u)$ est la clé pour les intégrales complexes.

Est-ce que l'intégrale d'une somme est la somme des intégrales ?

Oui, c'est la propriété de linéarité. Tu peux séparer chaque terme et calculer son intégrale individuellement.

💡 À retenir : $\int (f+g) = \int f + \int g$ . Cela simplifie énormément les calculs longs.

Oui, c'est la propriété de linéarité. Tu peux séparer chaque terme et calculer son intégrale individuellement.

💡 À retenir : $\int (f+g) = \int f + \int g$. Cela simplifie énormément les calculs longs.

Peut-on intégrer une fonction qui n'est pas continue ?

Au niveau du baccalauréat, on travaille uniquement avec des fonctions continues sur l'intervalle d'intégration. Si elle n'est pas continue, la notion d'intégrale au sens classique n'est pas définie.

💡 À retenir : La continuité est la condition sine qua non pour calculer une intégrale.

Comment savoir si je dois utiliser l'IPP ou un changement de variable ?

L'IPP est utilisée pour les produits de fonctions de natures différentes (ex: $x \cdot e^x$ ). Le changement de variable (à vérifier par le professeur si au programme) est utilisé pour simplifier une expression complexe.

💡 À retenir : Si tu vois un produit, pense d'abord à l'IPP.

L'IPP est utilisée pour les produits de fonctions de natures différentes (ex: $x \cdot e^x$). Le changement de variable (à vérifier par le professeur si au programme) est utilisé pour simplifier une expression complexe.

💡 À retenir : Si tu vois un produit, pense d'abord à l'IPP.

Kifach n'3ref wach l'intégrale li 7sebt s7i7a ?

Tu peux vérifier avec la calculatrice scientifique (touche $\int$ ). Si tu as un doute, dérive ton résultat (si c'est une fonction) ou vérifie le signe par rapport au graphique.

💡 À retenir : La calculatrice est ton alliée pour vérifier tes résultats, pas pour faire le travail à ta place.

Tu peux vérifier avec la calculatrice scientifique (touche $\int$). Si tu as un doute, dérive ton résultat (si c'est une fonction) ou vérifie le signe par rapport au graphique.

💡 À retenir : La calculatrice est ton alliée pour vérifier tes résultats, pas pour faire le travail à ta place.

Est-ce que l'intégrale de f(x)^2 est égale à (int f(x))^2 ?

Non, absolument pas ! C'est une erreur très grave. L'intégrale d'un carré n'est pas le carré de l'intégrale.

💡 À retenir : Ne jamais distribuer l'intégrale sur une puissance ou un produit.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Calculer $J = \int_{1}^{e} x \ln(x) dx$ en utilisant une intégration par parties.

Exercice 1

Calculer $J = \int_{1}^{e} x \ln(x) dx$ en utilisant une intégration par parties.

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Exercice 2

Calculer l'intégrale suivante : $I = \int_{0}^{1} (3x^2 - 2x + 1) dx$ .

Exercice 2

Calculer l'intégrale suivante : $I = \int_{0}^{1} (3x^2 - 2x + 1) dx$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $f(x) = \frac{e^x}{e^x + 1}$ . Calculer $K = \int_{0}^{\ln(2)} f(x) dx$ .

Exercice 3

Soit $f(x) = \frac{e^x}{e^x + 1}$. Calculer $K = \int_{0}^{\ln(2)} f(x) dx$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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