Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences et Technologies Mécaniques

Fonctions primitives

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ . Une fonction $F$ est une primitive d'une fonction $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x \in I$ , $F'(x) = f(x)$ .

Si $F$ est une primitive de $f$ , alors toute primitive de $f$ est de la forme $F + c$ où $c \in \mathbb{R}$ .
Primitives usuelles :
- $f(x) = a \implies F(x) = ax + c$
- $f(x) = x^n (n \in \mathbb{N}^*) \implies F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c$
- $f(x) = \frac{1}{x^2} \implies F(x) = -\frac{1}{x} + c$
- $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \implies F(x) = 2\sqrt{x} + c$
- $f(x) = \cos(x) \implies F(x) = \sin(x) + c$
- $f(x) = \sin(x) \implies F(x) = -\cos(x) + c$

Méthodes à maîtriser

Reconnaître la forme : Identifier si $f$ est de la forme $u'u^n$ , $\frac{u'}{u^2}$ , $\frac{u'}{\sqrt{u}}$ , etc.
Utiliser la linéarité : $\int (af + bg)(x) dx = a \int f(x) dx + b \int g(x) dx$ .
Déterminer la constante $c$ : Si une condition initiale $F(x_0) = y_0$ est donnée, on résout l'équation $F(x_0) + c = y_0$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Primitive de $f(x) = 3x^2 + 2x$ . $F(x) = 3(\frac{x^3}{3}) + 2(\frac{x^2}{2}) + c = x^3 + x^2 + c$ .
Exemple 2 : Primitive de $f(x) = (2x+1)(x^2+x)^3$ . Ici $u(x) = x^2+x$ , donc $u'(x) = 2x+1$ . La forme est $u'u^3$ . $F(x) = \frac{1}{3+1}(x^2+x)^4 + c = \frac{1}{4}(x^2+x)^4 + c$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $c$ dans l'expression générale des primitives.
Confondre la dérivée et la primitive (ex: intégrer $\cos(x)$ en $-\sin(x)$ au lieu de $\sin(x)$ ).
Appliquer les formules de primitives sans vérifier que la fonction $u'$ est bien présente dans le produit.

L'essentiel du cours

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$. Une fonction $F$ est une primitive d'une fonction $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x \in I$, $F'(x) = f(x)$.

Si $F$ est une primitive de $f$, alors toute primitive de $f$ est de la forme $F + c$ où $c \in \mathbb{R}$.
Primitives usuelles :
- $f(x) = a \implies F(x) = ax + c$
- $f(x) = x^n (n \in \mathbb{N}^*) \implies F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c$
- $f(x) = \frac{1}{x^2} \implies F(x) = -\frac{1}{x} + c$
- $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \implies F(x) = 2\sqrt{x} + c$
- $f(x) = \cos(x) \implies F(x) = \sin(x) + c$
- $f(x) = \sin(x) \implies F(x) = -\cos(x) + c$

Méthodes à maîtriser

Reconnaître la forme : Identifier si $f$ est de la forme $u'u^n$, $\frac{u'}{u^2}$, $\frac{u'}{\sqrt{u}}$, etc.
Utiliser la linéarité : $\int (af + bg)(x) dx = a \int f(x) dx + b \int g(x) dx$.
Déterminer la constante $c$ : Si une condition initiale $F(x_0) = y_0$ est donnée, on résout l'équation $F(x_0) + c = y_0$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Primitive de $f(x) = 3x^2 + 2x$. $F(x) = 3(\frac{x^3}{3}) + 2(\frac{x^2}{2}) + c = x^3 + x^2 + c$.
Exemple 2 : Primitive de $f(x) = (2x+1)(x^2+x)^3$. Ici $u(x) = x^2+x$, donc $u'(x) = 2x+1$. La forme est $u'u^3$. $F(x) = \frac{1}{3+1}(x^2+x)^4 + c = \frac{1}{4}(x^2+x)^4 + c$.

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $c$ dans l'expression générale des primitives.
Confondre la dérivée et la primitive (ex: intégrer $\cos(x)$ en $-\sin(x)$ au lieu de $\sin(x)$).
Appliquer les formules de primitives sans vérifier que la fonction $u'$ est bien présente dans le produit.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Fonctions primitives

1/4

La primitive de $f(x) = 5$ est :

❓ Questions fréquentes

Est-ce qu'il y a une formule pour la primitive d'un produit f(x) times g(x) ?

Non, il n'existe pas de formule directe pour la primitive d'un produit (contrairement à la dérivée). Si tu vois un produit, tu dois soit :

Développer l'expression pour obtenir une somme de fonctions usuelles.
Vérifier s'il s'agit d'une forme composée $u' \cdot u^n$ ou $u' \cdot f(u)$ .

💡 À retenir : Ne cherche jamais à primitiver séparément les facteurs d'un produit.

Non, il n'existe pas de formule directe pour la primitive d'un produit (contrairement à la dérivée). Si tu vois un produit, tu dois soit :

Développer l'expression pour obtenir une somme de fonctions usuelles.
Vérifier s'il s'agit d'une forme composée $u' \cdot u^n$ ou $u' \cdot f(u)$.

💡 À retenir : Ne cherche jamais à primitiver séparément les facteurs d'un produit.

Kifach n7seb la primitive d'une fonction li fiha l'kssr (fraction) ?

Pour une fraction, cherche d'abord si le numérateur est la dérivée du dénominateur (ou proportionnel).

Si $f(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}$ , la primitive est $\ln|u(x)| + c$ (à vérifier par le professeur : ce point est vu au chapitre suivant, pour l'instant utilise les formes $\frac{u'}{u^n}$ ).
Si $f(x) = \frac{u'(x)}{u(x)^n}$ , la primitive est $\frac{u(x)^{-n+1}}{-n+1} + c$ .

💡 À retenir : Analyse toujours le dénominateur en premier.

Pour une fraction, cherche d'abord si le numérateur est la dérivée du dénominateur (ou proportionnel).

Si $f(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}$, la primitive est $\ln|u(x)| + c$ (à vérifier par le professeur : ce point est vu au chapitre suivant, pour l'instant utilise les formes $\frac{u'}{u^n}$).
Si $f(x) = \frac{u'(x)}{u(x)^n}$, la primitive est $\frac{u(x)^{-n+1}}{-n+1} + c$.

💡 À retenir : Analyse toujours le dénominateur en premier.

Est-ce que je dois toujours écrire + c à la fin ?

Oui, absolument. Si l'énoncé demande "les primitives" (au pluriel), le $+c$ est obligatoire car il représente une infinité de fonctions qui diffèrent par une constante. Si l'énoncé demande "la primitive qui vérifie $F(x_0)=y_0$ ", tu dois calculer la valeur précise de $c$ .

💡 À retenir : L'oubli du $+c$ coûte des points à l'examen national.

Chno hiya l'far9 bin primitive w dérivée ?

C'est l'opération inverse.

La dérivée mesure la pente de la tangente.
La primitive cherche la fonction dont la pente est donnée par $f(x)$ . Si tu dérives une primitive, tu dois retrouver la fonction de départ.

💡 À retenir : Dériver est une opération de "réduction", primitiver est une opération de "reconstruction".

C'est l'opération inverse.

La dérivée mesure la pente de la tangente.
La primitive cherche la fonction dont la pente est donnée par $f(x)$. Si tu dérives une primitive, tu dois retrouver la fonction de départ.

💡 À retenir : Dériver est une opération de "réduction", primitiver est une opération de "reconstruction".

Comment savoir si une fonction admet des primitives ?

D'après le cours, toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur cet intervalle. Si ta fonction présente des discontinuités (comme $1/x$ en 0), tu dois restreindre l'intervalle d'étude (par exemple $]0, +\infty[$ ).

💡 À retenir : La continuité est la condition suffisante pour l'existence.

Kifach n'khtar la constante c ila 3tawni condition ?

C'est simple, suis ces étapes :

Trouve la forme générale $F(x) = ... + c$ .
Remplace $x$ par la valeur donnée (ex: $x=1$ ).
Égale le résultat à la valeur imposée $y_0$ .
Résous l'équation pour trouver $c$ .

💡 À retenir : La condition initiale sert uniquement à fixer la valeur de $c$ .

C'est simple, suis ces étapes :

Trouve la forme générale $F(x) = ... + c$.
Remplace $x$ par la valeur donnée (ex: $x=1$).
Égale le résultat à la valeur imposée $y_0$.
Résous l'équation pour trouver $c$.

💡 À retenir : La condition initiale sert uniquement à fixer la valeur de $c$.

Est-ce que les formules de primitives sont les mêmes que celles des dérivées ?

Non, ce sont des formules inverses. Par exemple, la dérivée de $x^n$ est $nx^{n-1}$ , alors que la primitive est $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ . Il ne faut surtout pas les mélanger.

💡 À retenir : Apprends les primitives comme un tableau séparé, ne les déduis pas de tête pour éviter les erreurs de signe.

Non, ce sont des formules inverses. Par exemple, la dérivée de $x^n$ est $nx^{n-1}$, alors que la primitive est $\frac{x^{n+1}}{n+1}$. Il ne faut surtout pas les mélanger.

💡 À retenir : Apprends les primitives comme un tableau séparé, ne les déduis pas de tête pour éviter les erreurs de signe.

Est-ce que je peux utiliser la calculatrice pour trouver la primitive ?

Non, la calculatrice ne te donnera pas l'expression algébrique de la primitive. Elle peut seulement calculer une valeur numérique d'intégrale (ce qui viendra plus tard). Pour l'examen, tu dois maîtriser les formules par cœur.

💡 À retenir : Ton cerveau est ton seul outil pour trouver la forme de la primitive.

Si j'ai une fonction avec une racine carrée, comment je fais ?

Vérifie si elle est de la forme $u' \sqrt{u}$ ou $\frac{u'}{\sqrt{u}}$ .

$\frac{u'}{\sqrt{u}}$ a pour primitive $2\sqrt{u} + c$ .
Si c'est juste $\sqrt{x}$ , écris-la sous forme $x^{1/2}$ et applique la règle $x^n \to \frac{x^{n+1}}{n+1}$ .

💡 À retenir : La forme puissance est ton alliée pour les racines.

Vérifie si elle est de la forme $u' \sqrt{u}$ ou $\frac{u'}{\sqrt{u}}$.

$\frac{u'}{\sqrt{u}}$ a pour primitive $2\sqrt{u} + c$.
Si c'est juste $\sqrt{x}$, écris-la sous forme $x^{1/2}$ et applique la règle $x^n \to \frac{x^{n+1}}{n+1}$.

💡 À retenir : La forme puissance est ton alliée pour les racines.

Est-ce que la primitive d'une somme est la somme des primitives ?

Oui, c'est la propriété de linéarité. Tu peux primitiver chaque terme séparément. Par exemple, pour $f(x) = 3x^2 + 5$ , la primitive est la primitive de $3x^2$ plus la primitive de $5$ .

💡 À retenir : La linéarité simplifie les calculs complexes.

Oui, c'est la propriété de linéarité. Tu peux primitiver chaque terme séparément. Par exemple, pour $f(x) = 3x^2 + 5$, la primitive est la primitive de $3x^2$ plus la primitive de $5$.

💡 À retenir : La linéarité simplifie les calculs complexes.

Est-ce que je peux vérifier mon résultat tout seul ?

Oui, c'est même conseillé ! Une fois que tu as trouvé $F(x)$ , dérive-la. Si tu obtiens la fonction $f(x)$ de départ, alors ton calcul est correct.

💡 À retenir : La dérivation est le meilleur moyen de vérifier une primitive.

Oui, c'est même conseillé ! Une fois que tu as trouvé $F(x)$, dérive-la. Si tu obtiens la fonction $f(x)$ de départ, alors ton calcul est correct.

💡 À retenir : La dérivation est le meilleur moyen de vérifier une primitive.

Est-ce qu'il y a des fonctions qui n'ont pas de primitives ?

Toutes les fonctions que tu étudieras au lycée sont continues sur leurs domaines de définition, donc elles admettent toutes des primitives. Ne t'inquiète pas pour ça.

💡 À retenir : Si la fonction est continue, la primitive existe.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Déterminer la primitive $F$ de la fonction $f(x) = 6x^2 - 4x + 3$ sur $\mathbb{R}$ telle que $F(1) = 5$ .

Exercice 1

Déterminer la primitive $F$ de la fonction $f(x) = 6x^2 - 4x + 3$ sur $\mathbb{R}$ telle que $F(1) = 5$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Déterminer les primitives de la fonction $f(x) = \frac{2x}{(x^2+1)^2}$ sur $\mathbb{R}$ .

Exercice 2

Déterminer les primitives de la fonction $f(x) = \frac{2x}{(x^2+1)^2}$ sur $\mathbb{R}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Déterminer les primitives de la fonction $f(x) = \sin(x) \cos^3(x)$ sur $\mathbb{R}$ .

Exercice 3

Déterminer les primitives de la fonction $f(x) = \sin(x) \cos^3(x)$ sur $\mathbb{R}$.

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