Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences et Technologies Mécaniques

Équations différentielles

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une équation différentielle du premier ordre est une équation dont l'inconnue est une fonction $y$ dérivable sur un intervalle $I$ . La forme générale étudiée est : $(E) : y' = ay + b$ où $a \in \mathbb{R}^*$ et $b \in \mathbb{R}$ .

Si $b=0$ , l'équation est dite homogène : $y' = ay$ . Les solutions sont $y(x) = C e^{ax}$ avec $C \in \mathbb{R}$ .
Si $b \neq 0$ , la solution générale est $y(x) = C e^{ax} - \frac{b}{a}$ .

Méthodes à maîtriser

Identifier les paramètres : Repérer $a$ et $b$ dans l'équation $y' = ay + b$ .
Déterminer la solution générale : Appliquer la formule $y(x) = C e^{ax} - \frac{b}{a}$ .
Utiliser la condition initiale : Si on donne $y(x_0) = y_0$ , on remplace dans la solution générale pour trouver la valeur de $C$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Résoudre $y' = 3y$ . Ici $a=3, b=0$ . La solution est $y(x) = C e^{3x}$ . Exemple 2 : Résoudre $y' = 2y - 4$ avec $y(0) = 1$ . Solution générale : $y(x) = C e^{2x} - \frac{-4}{2} = C e^{2x} + 2$ . Condition : $y(0) = C e^0 + 2 = 1 \Rightarrow C + 2 = 1 \Rightarrow C = -1$ . Solution particulière : $y(x) = -e^{2x} + 2$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $C$ dans la solution générale.
Se tromper de signe lors du calcul de $-b/a$ .
Confondre $y' = ay + b$ avec $y' = ay + f(x)$ (hors programme si $f(x)$ n'est pas constante).

L'essentiel du cours

Une équation différentielle du premier ordre est une équation dont l'inconnue est une fonction $y$ dérivable sur un intervalle $I$. La forme générale étudiée est : $(E) : y' = ay + b$ où $a \in \mathbb{R}^*$ et $b \in \mathbb{R}$.

Si $b=0$, l'équation est dite homogène : $y' = ay$. Les solutions sont $y(x) = C e^{ax}$ avec $C \in \mathbb{R}$.
Si $b \neq 0$, la solution générale est $y(x) = C e^{ax} - \frac{b}{a}$.

Méthodes à maîtriser

Identifier les paramètres : Repérer $a$ et $b$ dans l'équation $y' = ay + b$.
Déterminer la solution générale : Appliquer la formule $y(x) = C e^{ax} - \frac{b}{a}$.
Utiliser la condition initiale : Si on donne $y(x_0) = y_0$, on remplace dans la solution générale pour trouver la valeur de $C$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Résoudre $y' = 3y$. Ici $a=3, b=0$. La solution est $y(x) = C e^{3x}$. Exemple 2 : Résoudre $y' = 2y - 4$ avec $y(0) = 1$. Solution générale : $y(x) = C e^{2x} - \frac{-4}{2} = C e^{2x} + 2$. Condition : $y(0) = C e^0 + 2 = 1 \Rightarrow C + 2 = 1 \Rightarrow C = -1$. Solution particulière : $y(x) = -e^{2x} + 2$.

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $C$ dans la solution générale.
Se tromper de signe lors du calcul de $-b/a$.
Confondre $y' = ay + b$ avec $y' = ay + f(x)$ (hors programme si $f(x)$ n'est pas constante).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Équations différentielles

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La solution générale de $y' = 5y$ est :

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si une fonction est solution d'une équation différentielle ?

Tu calcules la dérivée $y'(x)$ de la fonction donnée.
Tu remplaces $y(x)$ et $y'(x)$ dans l'équation différentielle.
Si le résultat est égal à zéro (ou à $b$ ), alors la fonction est bien solution.

💡 À retenir : Une fonction est solution si elle vérifie l'égalité pour tout $x$ de l'intervalle.

Tu calcules la dérivée $y'(x)$ de la fonction donnée.
Tu remplaces $y(x)$ et $y'(x)$ dans l'équation différentielle.
Si le résultat est égal à zéro (ou à $b$), alors la fonction est bien solution.

💡 À retenir : Une fonction est solution si elle vérifie l'égalité pour tout $x$ de l'intervalle.

Kifach n7seb la constante C ila 3tani charte bad'i?

Katkhod l-hal l-3am li lqiti $y(x) = C e^{ax} - b/a$ .
Kat3wed $x$ b-l-qima li 3tawk (mthalan 0) w $y(x)$ b-l-qima dyalha.
Katchouf l-mo3adala li kharjat lik w kat-résoudiha bach t-lqa $C$ .

💡 À retenir : L-charte l-bad'i kayslah ghir bach n-حددوا l-qima dyal $C$ l-waheeda.

Katkhod l-hal l-3am li lqiti $y(x) = C e^{ax} - b/a$.
Kat3wed $x$ b-l-qima li 3tawk (mthalan 0) w $y(x)$ b-l-qima dyalha.
Katchouf l-mo3adala li kharjat lik w kat-résoudiha bach t-lqa $C$.

💡 À retenir : L-charte l-bad'i kayslah ghir bach n-حددوا l-qima dyal $C$ l-waheeda.

Est-ce que y' = y^2 est au programme ?

Non, ce n'est pas au programme de la 2ème année Bac. Le programme se limite aux équations linéaires du premier ordre de la forme $y' = ay + b$ .

💡 À retenir : Seules les équations linéaires à coefficients constants sont exigibles.

Non, ce n'est pas au programme de la 2ème année Bac. Le programme se limite aux équations linéaires du premier ordre de la forme $y' = ay + b$.

💡 À retenir : Seules les équations linéaires à coefficients constants sont exigibles.

Chno lfarq bin l-hal l-3am w l-hal l-khass?

L-hal l-3am fih wahed l-constante $C$ (ma3roufch qimtha).
L-hal l-khass (ou particulier) howa l-hal li kankhdo fih qima dyal $C$ mn ba3d ma kankhdemou b-l-charte l-bad'i.

💡 À retenir : L-hal l-khass kaykon 3ndou qima wahed m-حدد.

L-hal l-3am fih wahed l-constante $C$ (ma3roufch qimtha).
L-hal l-khass (ou particulier) howa l-hal li kankhdo fih qima dyal $C$ mn ba3d ma kankhdemou b-l-charte l-bad'i.

💡 À retenir : L-hal l-khass kaykon 3ndou qima wahed m-حدد.

Est-ce que y'' + ay' + by = 0 est au programme ?

Non, les équations différentielles du second ordre ne sont pas au programme de la filière Sciences et Technologies Mécaniques.

💡 À retenir : Limite-toi aux équations du premier ordre $y' = ay + b$ .

Non, les équations différentielles du second ordre ne sont pas au programme de la filière Sciences et Technologies Mécaniques.

💡 À retenir : Limite-toi aux équations du premier ordre $y' = ay + b$.

Kifach n-lqa l-hal ila kan b=0?

L-mo3adala katkon $y' = ay$ .
L-hal l-moubachir howa $y(x) = C e^{ax}$ .

💡 À retenir : Ila kan $b=0$ , l-hal howa $C e^{ax}$ bla matzid ay 3adad.

L-mo3adala katkon $y' = ay$.
L-hal l-moubachir howa $y(x) = C e^{ax}$.

💡 À retenir : Ila kan $b=0$, l-hal howa $C e^{ax}$ bla matzid ay 3adad.

Si j'ai y' + 3y = 5, quel est le a ?

Il faut d'abord isoler $y'$ . On obtient $y' = -3y + 5$ . Donc $a = -3$ et $b = 5$ .

💡 À retenir : Fais attention à bien mettre l'équation sous la forme $y' = ay + b$ avant d'identifier $a$ et $b$ .

Il faut d'abord isoler $y'$. On obtient $y' = -3y + 5$. Donc $a = -3$ et $b = 5$.

💡 À retenir : Fais attention à bien mettre l'équation sous la forme $y' = ay + b$ avant d'identifier $a$ et $b$.

Est-ce que la solution est toujours une exponentielle ?

Oui, pour les équations $y' = ay + b$ avec $a \neq 0$ , la solution contient toujours une fonction exponentielle $e^{ax}$ .

💡 À retenir : L'exponentielle est la base de la résolution de ces équations.

Oui, pour les équations $y' = ay + b$ avec $a \neq 0$, la solution contient toujours une fonction exponentielle $e^{ax}$.

💡 À retenir : L'exponentielle est la base de la résolution de ces équations.

Est-ce que C peut être égal à zéro ?

Oui, si la condition initiale impose $C=0$ , alors la solution est la fonction constante $y(x) = -b/a$ .

💡 À retenir : $C$ est une constante réelle quelconque, elle peut être nulle.

Oui, si la condition initiale impose $C=0$, alors la solution est la fonction constante $y(x) = -b/a$.

💡 À retenir : $C$ est une constante réelle quelconque, elle peut être nulle.

Comment vérifier si ma solution est correcte ?

Dérive ta solution $y(x)$ .
Calcule $ay(x) + b$ .
Compare les deux résultats, ils doivent être identiques.

💡 À retenir : La vérification est le meilleur moyen d'éviter les erreurs de signe.

Dérive ta solution $y(x)$.
Calcule $ay(x) + b$.
Compare les deux résultats, ils doivent être identiques.

💡 À retenir : La vérification est le meilleur moyen d'éviter les erreurs de signe.

Est-ce que a peut être négatif ?

Oui, $a$ est un nombre réel non nul. Il peut être positif ou négatif.

💡 À retenir : Le signe de $a$ change le sens de variation de la fonction exponentielle.

Oui, $a$ est un nombre réel non nul. Il peut être positif ou négatif.

💡 À retenir : Le signe de $a$ change le sens de variation de la fonction exponentielle.

Est-ce que je dois préciser l'ensemble de définition ?

Oui, les solutions des équations différentielles de ce type sont définies sur $\mathbb{R}$ tout entier.

💡 À retenir : Précise toujours que $y$ est définie sur $\mathbb{R}$ .

Oui, les solutions des équations différentielles de ce type sont définies sur $\mathbb{R}$ tout entier.

💡 À retenir : Précise toujours que $y$ est définie sur $\mathbb{R}$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Résoudre l'équation différentielle $(E) : y' - 2y = 0$ .

Exercice 1

Résoudre l'équation différentielle $(E) : y' - 2y = 0$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Résoudre l'équation différentielle $(E) : y' + 3y = 6$ avec la condition initiale $y(0) = 1$ .

Exercice 2

Résoudre l'équation différentielle $(E) : y' + 3y = 6$ avec la condition initiale $y(0) = 1$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $(E) : 2y' + 4y = 8$ .

Montrer que $(E)$ est équivalente à $y' = -2y + 4$ .
Déterminer la solution générale de $(E)$ .
Déterminer la solution dont la courbe passe par le point $A(0, 3)$ .

Exercice 3

Soit $(E) : 2y' + 4y = 8$.

Montrer que $(E)$ est équivalente à $y' = -2y + 4$.
Déterminer la solution générale de $(E)$.
Déterminer la solution dont la courbe passe par le point $A(0, 3)$.

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