Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences et Technologies Mécaniques

Géométrie dans l'espace

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Repère : Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ , tout point $M$ a pour coordonnées $(x, y, z)$ .
Produit vectoriel : Soient $\vec{u}(x, y, z)$ et $\vec{v}(x', y', z')$ . $\vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{vmatrix} y & y' \\ z & z' \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} x & x' \\ z & z' \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix} \vec{k}$ .
Plan : Un plan $(P)$ est défini par un point $A$ et un vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$ . Son équation est $ax + by + cz + d = 0$ .
Sphère : L'ensemble des points $M$ tels que $IM = R$ est une sphère de centre $I(a, b, c)$ et de rayon $R$ : $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$ .

Méthodes à maîtriser

Déterminer une équation de plan : Trouver un vecteur normal $\vec{n}$ (souvent $\vec{AB} \wedge \vec{AC}$ ) puis utiliser $ax + by + cz + d = 0$ avec les coordonnées d'un point.
Étudier l'intersection plan/sphère : Calculer la distance $d$ du centre $I$ au plan. Si $d < R$ , l'intersection est un cercle.
Représentation paramétrique : Utiliser un point $A(x_0, y_0, z_0)$ et un vecteur directeur $\vec{u}(a, b, c)$ : $x = x_0 + at, y = y_0 + bt, z = z_0 + ct$ ( $t \in \mathbb{R}$ ).

Exemples corrigés

Exemple 1 : Plan passant par $A(1, 0, 1)$ avec $\vec{n}(1, -1, 2)$ . Équation : $1(x-1) - 1(y-0) + 2(z-1) = 0 \iff x - y + 2z - 3 = 0$ .
Exemple 2 : Distance du point $A(0, 0, 0)$ au plan $x+y+z-3=0$ : $d = \frac{|0+0+0-3|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la racine carrée dans le calcul de la norme ou de la distance.
Confondre le vecteur normal (pour le plan) et le vecteur directeur (pour la droite).
Se tromper de signe dans le développement du déterminant du produit vectoriel.

L'essentiel du cours

Repère : Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, tout point $M$ a pour coordonnées $(x, y, z)$.
Produit vectoriel : Soient $\vec{u}(x, y, z)$ et $\vec{v}(x', y', z')$. $\vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{vmatrix} y & y' \ z & z' \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} x & x' \ z & z' \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} x & x' \ y & y' \end{vmatrix} \vec{k}$.
Plan : Un plan $(P)$ est défini par un point $A$ et un vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$. Son équation est $ax + by + cz + d = 0$.
Sphère : L'ensemble des points $M$ tels que $IM = R$ est une sphère de centre $I(a, b, c)$ et de rayon $R$ : $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$.

Méthodes à maîtriser

Déterminer une équation de plan : Trouver un vecteur normal $\vec{n}$ (souvent $\vec{AB} \wedge \vec{AC}$) puis utiliser $ax + by + cz + d = 0$ avec les coordonnées d'un point.
Étudier l'intersection plan/sphère : Calculer la distance $d$ du centre $I$ au plan. Si $d < R$, l'intersection est un cercle.
Représentation paramétrique : Utiliser un point $A(x_0, y_0, z_0)$ et un vecteur directeur $\vec{u}(a, b, c)$ : $x = x_0 + at, y = y_0 + bt, z = z_0 + ct$ ($t \in \mathbb{R}$).

Exemples corrigés

Exemple 1 : Plan passant par $A(1, 0, 1)$ avec $\vec{n}(1, -1, 2)$. Équation : $1(x-1) - 1(y-0) + 2(z-1) = 0 \iff x - y + 2z - 3 = 0$.
Exemple 2 : Distance du point $A(0, 0, 0)$ au plan $x+y+z-3=0$ : $d = \frac{|0+0+0-3|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.

Erreurs fréquentes

Oublier la racine carrée dans le calcul de la norme ou de la distance.
Confondre le vecteur normal (pour le plan) et le vecteur directeur (pour la droite).
Se tromper de signe dans le développement du déterminant du produit vectoriel.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Géométrie dans l'espace

1/4

Le vecteur normal au plan $2x - y + 3z - 5 = 0$ est :

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si deux plans sont parallèles ?

Identifie les vecteurs normaux $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ de chaque plan.
Vérifie s'ils sont colinéaires : $\vec{n_1} = k \cdot \vec{n_2}$ pour un réel $k$ .
S'ils le sont, les plans sont parallèles.

💡 À retenir : Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.

Identifie les vecteurs normaux $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ de chaque plan.
Vérifie s'ils sont colinéaires : $\vec{n_1} = k \cdot \vec{n_2}$ pour un réel $k$.
S'ils le sont, les plans sont parallèles.

💡 À retenir : Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.

Kifach n7seb lmasafa bin noqta o mostawa ?

Khoud l'équation dyal lmostawa $ax + by + cz + d = 0$ .
Khoud l'ihdatiyat dyal noqta $A(x_A, y_A, z_A)$ .
St3ml lformula : $d(A, (P)) = \frac{|ax_A + by_A + cz_A + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ .

💡 À retenir : La distance est toujours positive, n'oublie pas la valeur absolue au numérateur.

Khoud l'équation dyal lmostawa $ax + by + cz + d = 0$.
Khoud l'ihdatiyat dyal noqta $A(x_A, y_A, z_A)$.
St3ml lformula : $d(A, (P)) = \frac{|ax_A + by_A + cz_A + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.

💡 À retenir : La distance est toujours positive, n'oublie pas la valeur absolue au numérateur.

Est-ce que le produit vectoriel est commutatif ?

Non, le produit vectoriel est anti-commutatif : $\vec{u} \wedge \vec{v} = - (\vec{v} \wedge \vec{u})$ .

💡 À retenir : L'ordre des vecteurs dans le calcul est crucial pour le signe du résultat.

Non, le produit vectoriel est anti-commutatif : $\vec{u} \wedge \vec{v} = - (\vec{v} \wedge \vec{u})$.

💡 À retenir : L'ordre des vecteurs dans le calcul est crucial pour le signe du résultat.

Chno hiya l'équation dyal l'falka ?

Ila 3ndk lmarkaz $I(a, b, c)$ o chou3a3 $R$ , l'équation hiya $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$ .
Ila 3ndk equation f chkel $x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$ , khassk tkmel lmoraba3 (complétion du carré).

💡 À retenir : Une sphère est définie par son centre et son rayon.

Ila 3ndk lmarkaz $I(a, b, c)$ o chou3a3 $R$, l'équation hiya $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$.
Ila 3ndk equation f chkel $x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$, khassk tkmel lmoraba3 (complétion du carré).

💡 À retenir : Une sphère est définie par son centre et son rayon.

Peut-on utiliser le produit vectoriel pour des droites ?

Oui, pour trouver un vecteur directeur d'une droite définie par l'intersection de deux plans d'équations $(P_1): a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0$ et $(P_2): a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0$ . Le vecteur directeur $\vec{u}$ est $\vec{n_1} \wedge \vec{n_2}$ .

💡 À retenir : Le produit vectoriel des deux vecteurs normaux donne la direction de la droite d'intersection.

Oui, pour trouver un vecteur directeur d'une droite définie par l'intersection de deux plans d'équations $(P_1): a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0$ et $(P_2): a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0$. Le vecteur directeur $\vec{u}$ est $\vec{n_1} \wedge \vec{n_2}$.

💡 À retenir : Le produit vectoriel des deux vecteurs normaux donne la direction de la droite d'intersection.

Kifach n3ref wach mostaqim kayn f mostawa ?

Khoud joj noqat mn lmostaqim awla noqta o l'mtjiha lmoawjiha.
Vérifi wach l'ihdatiyat dyal noqta kat7eqeq l'équation dyal lmostawa.
Vérifi wach l'mtjiha lmoawjiha dyal lmostaqim 3amdia 3la l'mtjiha lmonadimiya dyal lmostawa (produit scalaire = 0).

💡 À retenir : Il faut vérifier à la fois l'appartenance d'un point et l'orthogonalité des vecteurs.

Le produit scalaire de deux vecteurs normaux est-il nul pour des plans perpendiculaires ?

Oui, si $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$ , alors les plans sont perpendiculaires.

💡 À retenir : L'angle entre deux plans est égal à l'angle entre leurs vecteurs normaux.

Oui, si $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$, alors les plans sont perpendiculaires.

💡 À retenir : L'angle entre deux plans est égal à l'angle entre leurs vecteurs normaux.

Comment trouver le centre d'un cercle intersection d'une sphère et d'un plan ?

Le centre $H$ du cercle est le projeté orthogonal du centre de la sphère $I$ sur le plan.
Utilise la droite passant par $I$ et perpendiculaire au plan (vecteur directeur $\vec{n}$ ).
Cherche l'intersection de cette droite avec le plan.

💡 À retenir : Le centre du cercle est le point du plan le plus proche du centre de la sphère.

Le centre $H$ du cercle est le projeté orthogonal du centre de la sphère $I$ sur le plan.
Utilise la droite passant par $I$ et perpendiculaire au plan (vecteur directeur $\vec{n}$).
Cherche l'intersection de cette droite avec le plan.

💡 À retenir : Le centre du cercle est le point du plan le plus proche du centre de la sphère.

Est-ce que l'équation x^2+y^2+z^2+1=0 représente une sphère ?

Non, car après transformation, on obtient $(x-0)^2+(y-0)^2+(z-0)^2 = -1$ . Le rayon au carré ne peut pas être négatif.

💡 À retenir : Une sphère nécessite un rayon $R > 0$ .

Non, car après transformation, on obtient $(x-0)^2+(y-0)^2+(z-0)^2 = -1$. Le rayon au carré ne peut pas être négatif.

💡 À retenir : Une sphère nécessite un rayon $R > 0$.

Comment montrer que trois points A, B et C ne sont pas alignés ?

Il suffit de montrer que les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ ne sont pas colinéaires (leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles).

💡 À retenir : Des points non alignés définissent un plan unique.

Il suffit de montrer que les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ ne sont pas colinéaires (leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles).

💡 À retenir : Des points non alignés définissent un plan unique.

Quelle est la condition pour qu'une droite soit perpendiculaire à un plan ?

Il faut que le vecteur directeur de la droite $\vec{u}$ soit colinéaire au vecteur normal du plan $\vec{n}$ ( $\vec{u} = k\vec{n}$ ).

💡 À retenir : La droite doit "pointer" dans la même direction que la normale au plan.

Il faut que le vecteur directeur de la droite $\vec{u}$ soit colinéaire au vecteur normal du plan $\vec{n}$ ($\vec{u} = k\vec{n}$).

💡 À retenir : La droite doit "pointer" dans la même direction que la normale au plan.

Est-ce que le produit vectoriel peut être nul ?

Oui, si les deux vecteurs sont colinéaires, leur produit vectoriel est le vecteur nul $\vec{0}$ .

💡 À retenir : Le produit vectoriel mesure le défaut de colinéarité.

Oui, si les deux vecteurs sont colinéaires, leur produit vectoriel est le vecteur nul $\vec{0}$.

💡 À retenir : Le produit vectoriel mesure le défaut de colinéarité.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ , on considère les points $A(1, 0, 1)$ , $B(0, 1, 1)$ et $C(1, 1, 0)$ .

Déterminer les coordonnées du vecteur $\vec{AB} \wedge \vec{AC}$ .
En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$ .
Déterminer la distance du point $O(0, 0, 0)$ au plan $(ABC)$ .

Exercice 1

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(1, 0, 1)$, $B(0, 1, 1)$ et $C(1, 1, 0)$.

Déterminer les coordonnées du vecteur $\vec{AB} \wedge \vec{AC}$.
En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
Déterminer la distance du point $O(0, 0, 0)$ au plan $(ABC)$.

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Exercice 2

Soit $(S)$ la sphère d'équation $x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 2z - 10 = 0$ .

Déterminer le centre $I$ et le rayon $R$ de $(S)$ .
Soit $(P)$ le plan d'équation $x + y + z - 1 = 0$ . Montrer que $(P)$ coupe $(S)$ selon un cercle dont on précisera le rayon $r$ .

Exercice 2

Soit $(S)$ la sphère d'équation $x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 2z - 10 = 0$.

Déterminer le centre $I$ et le rayon $R$ de $(S)$.
Soit $(P)$ le plan d'équation $x + y + z - 1 = 0$. Montrer que $(P)$ coupe $(S)$ selon un cercle dont on précisera le rayon $r$.

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Exercice 3

Soit la droite $(D)$ passant par $A(1, 0, 0)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(1, 1, 1)$ .

Donner une représentation paramétrique de $(D)$ .
Soit $(P)$ le plan d'équation $x - y + z - 1 = 0$ . Étudier la position relative de $(D)$ et $(P)$ .

Exercice 3

Soit la droite $(D)$ passant par $A(1, 0, 0)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(1, 1, 1)$.

Donner une représentation paramétrique de $(D)$.
Soit $(P)$ le plan d'équation $x - y + z - 1 = 0$. Étudier la position relative de $(D)$ et $(P)$.

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