Physique-Chimie · 2ème Année Bac — Sciences et Technologies Mécaniques

Les oscillations libres d'un circuit RLC

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

1. Le circuit RLC série

Un circuit RLC série est constitué d'un condensateur de capacité $C$ initialement chargé, d'une bobine d'inductance $L$ et de résistance $r$ , et d'un conducteur ohmique de résistance $R$ .

Équation différentielle (en utilisant la loi d'additivité des tensions) : $u_L + u_R + u_C = 0$ En remplaçant $i = C \frac{du_C}{dt}$ et $u_L = L \frac{di}{dt} + r \cdot i$ , on obtient : $L \cdot C \frac{d^2u_C}{dt^2} + (R+r) \cdot C \frac{du_C}{dt} + u_C = 0$

2. Les régimes d'amortissement

L'amortissement est dû à la dissipation d'énergie par effet Joule dans la résistance totale $R_T = R + r$ .

Régime pseudo-périodique ( $R_T$ faible) : Oscillations dont l'amplitude diminue. La période est appelée pseudo-période $T$ .
Régime apériodique ( $R_T$ très forte) : Pas d'oscillations, la tension $u_C$ revient à zéro sans osciller.
Régime critique : La limite entre les deux, retour le plus rapide à l'équilibre.

3. Circuit LC idéal (Amortissement nul)

Si $R_T = 0$ , l'équation devient : $\frac{d^2u_C}{dt^2} + \frac{1}{LC} u_C = 0$ .

Solution : $u_C(t) = U_m \cos(\frac{2\pi}{T_0}t + \phi)$ .
Période propre : $T_0 = 2\pi \sqrt{LC}$ (en secondes $s$ ).

4. Étude énergétique

Énergie électrique : $E_e = \frac{1}{2} C u_C^2$ .
Énergie magnétique : $E_m = \frac{1}{2} L i^2$ .
Énergie totale : $E_{tot} = E_e + E_m$ .
Non-conservation : Dans un circuit RLC, $\frac{dE_{tot}}{dt} = -R_T \cdot i^2 < 0$ . L'énergie totale diminue.

5. Entretien des oscillations

Pour obtenir des oscillations sinusoïdales malgré la résistance, on ajoute un dispositif d'entretien (générateur G) qui fournit une tension $u_G = k \cdot i$ . Si on règle $k = R_T$ , les oscillations deviennent entretenues.

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle : Toujours partir de la loi d'additivité des tensions.
Exploiter un graphe $u_C(t)$ : Déterminer la pseudo-période $T$ et l'amplitude initiale.
Calculer $L$ ou $C$ : Utiliser l'approximation $T \approx T_0 = 2\pi \sqrt{LC}$ si l'amortissement est faible.
Calculer l'énergie dissipée : $\Delta E = E_{tot}(t_1) - E_{tot}(t_2)$ .

Exemples corrigés

Exemple : Un circuit LC avec $L = 0,1\text{ H}$ et $C = 10\text{ \mu F}$ . Calculer $T_0$ . Réponse : $T_0 = 2\pi \sqrt{0,1 \times 10 \times 10^{-6}} = 2\pi \sqrt{10^{-6}} = 2\pi \times 10^{-3} \approx 6,28\text{ ms}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de convertir les $\mu F$ en $F$ ou $mH$ en $H$ dans les calculs.
Confondre la courbe de la tension $u_C$ avec celle de l'énergie (l'énergie est toujours positive).
Dire que $T = T_0$ alors que $T$ est légèrement supérieure à $T_0$ (en réalité, au lycée, on accepte souvent $T \approx T_0$ ).

L'essentiel du cours

1. Le circuit RLC série

Un circuit RLC série est constitué d'un condensateur de capacité $C$ initialement chargé, d'une bobine d'inductance $L$ et de résistance $r$, et d'un conducteur ohmique de résistance $R$.

Équation différentielle (en utilisant la loi d'additivité des tensions) : $$u_L + u_R + u_C = 0$$ En remplaçant $i = C \frac{du_C}{dt}$ et $u_L = L \frac{di}{dt} + r \cdot i$, on obtient : $$L \cdot C \frac{d^2u_C}{dt^2} + (R+r) \cdot C \frac{du_C}{dt} + u_C = 0$$

2. Les régimes d'amortissement

L'amortissement est dû à la dissipation d'énergie par effet Joule dans la résistance totale $R_T = R + r$.

Régime pseudo-périodique ($R_T$ faible) : Oscillations dont l'amplitude diminue. La période est appelée pseudo-période $T$.
Régime apériodique ($R_T$ très forte) : Pas d'oscillations, la tension $u_C$ revient à zéro sans osciller.
Régime critique : La limite entre les deux, retour le plus rapide à l'équilibre.

3. Circuit LC idéal (Amortissement nul)

Si $R_T = 0$, l'équation devient : $\frac{d^2u_C}{dt^2} + \frac{1}{LC} u_C = 0$.

Solution : $u_C(t) = U_m \cos(\frac{2\pi}{T_0}t + \phi)$.
Période propre : $T_0 = 2\pi \sqrt{LC}$ (en secondes $s$).

4. Étude énergétique

Énergie électrique : $E_e = \frac{1}{2} C u_C^2$.
Énergie magnétique : $E_m = \frac{1}{2} L i^2$.
Énergie totale : $E_{tot} = E_e + E_m$.
Non-conservation : Dans un circuit RLC, $\frac{dE_{tot}}{dt} = -R_T \cdot i^2 < 0$. L'énergie totale diminue.

5. Entretien des oscillations

Pour obtenir des oscillations sinusoïdales malgré la résistance, on ajoute un dispositif d'entretien (générateur G) qui fournit une tension $u_G = k \cdot i$. Si on règle $k = R_T$, les oscillations deviennent entretenues.

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle : Toujours partir de la loi d'additivité des tensions.
Exploiter un graphe $u_C(t)$ : Déterminer la pseudo-période $T$ et l'amplitude initiale.
Calculer $L$ ou $C$ : Utiliser l'approximation $T \approx T_0 = 2\pi \sqrt{LC}$ si l'amortissement est faible.
Calculer l'énergie dissipée : $\Delta E = E_{tot}(t_1) - E_{tot}(t_2)$.

Exemples corrigés

Exemple : Un circuit LC avec $L = 0,1\text{ H}$ et $C = 10\text{ \mu F}$. Calculer $T_0$. Réponse : $T_0 = 2\pi \sqrt{0,1 \times 10 \times 10^{-6}} = 2\pi \sqrt{10^{-6}} = 2\pi \times 10^{-3} \approx 6,28\text{ ms}$.

Erreurs fréquentes

Oublier de convertir les $\mu F$ en $F$ ou $mH$ en $H$ dans les calculs.
Confondre la courbe de la tension $u_C$ avec celle de l'énergie (l'énergie est toujours positive).
Dire que $T = T_0$ alors que $T$ est légèrement supérieure à $T_0$ (en réalité, au lycée, on accepte souvent $T \approx T_0$).

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🎯 Les oscillations libres d'un circuit RLC

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Quelle est l'expression de la période propre $T_0$ d'un circuit LC ?

❓ Questions fréquentes

Qu'est-ce qui provoque l'amortissement des oscillations dans un circuit RLC ?

L'amortissement est causé par la présence de la résistance totale $R_T$ (résistance du conducteur ohmique $R$ et résistance interne de la bobine $r$ ). Lorsque le courant $i$ circule, une partie de l'énergie électrique et magnétique est transformée en chaleur par effet Joule. Cette perte d'énergie entraîne une diminution progressive de l'amplitude des oscillations de la tension $u_C$ et de l'intensité $i$ .

💡 À retenir : La résistance est la seule responsable de la perte d'énergie et de l'amortissement.

L'amortissement est causé par la présence de la résistance totale $R_T$ (résistance du conducteur ohmique $R$ et résistance interne de la bobine $r$). Lorsque le courant $i$ circule, une partie de l'énergie électrique et magnétique est transformée en chaleur par effet Joule. Cette perte d'énergie entraîne une diminution progressive de l'amplitude des oscillations de la tension $u_C$ et de l'intensité $i$.

💡 À retenir : La résistance est la seule responsable de la perte d'énergie et de l'amortissement.

Kifach nfer9ou bin régime pseudo-périodique w apériodique f rsem (graphe) ?

Régime pseudo-périodique : Tchouf l-monhani (courbe) kital3 w kihbet (kay-osciller) wakha l-ous3 (amplitude) kaysghat. Kaykoun 3ndna "pseudo-période" $T$ .
Régime apériodique : L-monhani kihbet l-sifr nichan bla may-3awed itla3. Makaynach ga3 l-haraka l-ihtizaziya (pas d'oscillations).

💡 À retenir : Oscillations = pseudo-périodique ; Pas d'oscillations = apériodique.

Régime pseudo-périodique : Tchouf l-monhani (courbe) kital3 w kihbet (kay-osciller) wakha l-ous3 (amplitude) kaysghat. Kaykoun 3ndna "pseudo-période" $T$.
Régime apériodique : L-monhani kihbet l-sifr nichan bla may-3awed itla3. Makaynach ga3 l-haraka l-ihtizaziya (pas d'oscillations).

💡 À retenir : Oscillations = pseudo-périodique ; Pas d'oscillations = apériodique.

Quelle est la différence entre la période propre T0 et la pseudo-période T ?

Période propre $T_0$ : C'est la période des oscillations dans un circuit LC idéal (sans résistance). Elle ne dépend que de $L$ et $C$ ( $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ ).
Pseudo-période $T$ : C'est la durée entre deux maxima successifs dans un circuit RLC réel. À cause de la résistance, $T$ est très légèrement supérieure à $T_0$ , mais au lycée, on considère souvent $T \approx T_0$ .

💡 À retenir : $T_0$ est théorique (sans pertes), $T$ est réelle (avec pertes).

Période propre $T_0$ : C'est la période des oscillations dans un circuit LC idéal (sans résistance). Elle ne dépend que de $L$ et $C$ ($T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$).
Pseudo-période $T$ : C'est la durée entre deux maxima successifs dans un circuit RLC réel. À cause de la résistance, $T$ est très légèrement supérieure à $T_0$, mais au lycée, on considère souvent $T \approx T_0$.

💡 À retenir : $T_0$ est théorique (sans pertes), $T$ est réelle (avec pertes).

Chno hiya l-khidma dyal dik l-bobine f l-circuit ?

L-bobine kat-khzen l-energy f wahed l-majal maghnatissi (champ magnétique) fach kaydouz fiha l-courant. Hiya li kat-khli l-kahraba t-stamer f l-mrouri l-9dam (phénomène d'auto-induction), dakchi 3lach l-energy kat-tebadal m3a l-condensateur w kat-khle9 l-oscillations.

💡 À retenir : La bobine stocke l'énergie magnétique $E_m = \frac{1}{2}Li^2$ .

💡 À retenir : La bobine stocke l'énergie magnétique $E_m = \frac{1}{2}Li^2$.

Comment varie l'énergie totale dans un circuit LC idéal ?

Dans un circuit LC idéal, la résistance est nulle ( $R = 0$ ). Il n'y a pas d'effet Joule. L'énergie totale $E_{tot} = E_e + E_m$ reste constante au cours du temps. Il y a un transfert total et perpétuel d'énergie entre le condensateur et la bobine.

💡 À retenir : Dans un circuit LC idéal, $E_{tot} = \text{constante}$ .

Dans un circuit LC idéal, la résistance est nulle ($R = 0$). Il n'y a pas d'effet Joule. L'énergie totale $E_{tot} = E_e + E_m$ reste constante au cours du temps. Il y a un transfert total et perpétuel d'énergie entre le condensateur et la bobine.

💡 À retenir : Dans un circuit LC idéal, $E_{tot} = \text{constante}$.

Kifach n7seb l'énergie li da3et (dissipée) bin jouj dyal l-lahzat t1 w t2 ?

Calculer l'énergie totale à $t_1$ : $E_{tot}(t_1) = \frac{1}{2}Cu_C(t_1)^2 + \frac{1}{2}Li(t_1)^2$ .
Calculer l'énergie totale à $t_2$ : $E_{tot}(t_2) = \frac{1}{2}Cu_C(t_2)^2 + \frac{1}{2}Li(t_2)^2$ .
Faire la soustraction : $\Delta E = E_{tot}(t_2) - E_{tot}(t_1)$ . La valeur sera négative, ce qui confirme la perte.

💡 À retenir : L'énergie dissipée est la variation de l'énergie totale.

Calculer l'énergie totale à $t_1$ : $E_{tot}(t_1) = \frac{1}{2}Cu_C(t_1)^2 + \frac{1}{2}Li(t_1)^2$.
Calculer l'énergie totale à $t_2$ : $E_{tot}(t_2) = \frac{1}{2}Cu_C(t_2)^2 + \frac{1}{2}Li(t_2)^2$.
Faire la soustraction : $\Delta E = E_{tot}(t_2) - E_{tot}(t_1)$. La valeur sera négative, ce qui confirme la perte.

💡 À retenir : L'énergie dissipée est la variation de l'énergie totale.

Pourquoi l'équation différentielle du circuit LC est-elle dite "linéaire du second ordre" ?

Second ordre : Car elle contient la dérivée seconde de la tension $\frac{d^2u_C}{dt^2}$ .
Linéaire : Car la fonction $u_C$ et ses dérivées ne sont pas élevées à une puissance (pas de $u_C^2$ dans l'équation différentielle elle-même).

💡 À retenir : La forme type est $\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0$ .

Second ordre : Car elle contient la dérivée seconde de la tension $\frac{d^2u_C}{dt^2}$.
Linéaire : Car la fonction $u_C$ et ses dérivées ne sont pas élevées à une puissance (pas de $u_C^2$ dans l'équation différentielle elle-même).

💡 À retenir : La forme type est $\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0$.

Que signifie "entretenir les oscillations" ?

Cela signifie ajouter un composant électronique (souvent un amplificateur opérationnel monté en convertisseur de résistance négative) qui injecte dans le circuit, à chaque instant, exactement la même quantité d'énergie que celle perdue par effet Joule dans les résistances.

💡 À retenir : L'entretien compense les pertes pour rendre les oscillations perpétuelles et sinusoïdales.

Quelle est l'unité de l'inductance L et de la capacité C ?

L'inductance $L$ s'exprime en Henry (symbole : $H$ ).
La capacité $C$ s'exprime en Farad (symbole : $F$ ). Attention, on utilise souvent les microfarads ( $\mu F = 10^{-6} F$ ) ou millifarads ( $mF = 10^{-3} F$ ).

💡 À retenir : Toujours convertir en $H$ et $F$ avant d'utiliser les formules de $T_0$ ou d'énergie.

L'inductance $L$ s'exprime en Henry (symbole : $H$).
La capacité $C$ s'exprime en Farad (symbole : $F$). Attention, on utilise souvent les microfarads ($\mu F = 10^{-6} F$) ou millifarads ($mF = 10^{-3} F$).

💡 À retenir : Toujours convertir en $H$ et $F$ avant d'utiliser les formules de $T_0$ ou d'énergie.

Comment trouver la phase à l'origine phi dans la solution uC(t) = Um cos(frac{2pi}{T0}t + phi) ?

On utilise les conditions initiales à $t = 0$ . Si le condensateur est chargé au maximum $U_{max}$ et qu'on ferme l'interrupteur : $u_C(0) = U_{max} \cos(\phi) = U_{max}$ . Donc $\cos(\phi) = 1$ , ce qui donne $\phi = 0$ .

💡 À retenir : $\phi$ dépend de l'état du circuit au moment où on commence le chronomètre.

On utilise les conditions initiales à $t = 0$. Si le condensateur est chargé au maximum $U_{max}$ et qu'on ferme l'interrupteur : $u_C(0) = U_{max} \cos(\phi) = U_{max}$. Donc $\cos(\phi) = 1$, ce qui donne $\phi = 0$.

💡 À retenir : $\phi$ dépend de l'état du circuit au moment où on commence le chronomètre.

À quoi correspond l'état du circuit quand uC = 0 dans un circuit LC ?

Quand $u_C = 0$ , l'énergie électrique $E_e$ est nulle. Puisque l'énergie totale est conservée, toute l'énergie est alors sous forme magnétique dans la bobine ( $E_m$ est maximale). L'intensité du courant $|i|$ est alors à sa valeur maximale $I_m$ .

💡 À retenir : $u_C=0 \implies$ courant maximal et énergie magnétique maximale.

Quand $u_C = 0$, l'énergie électrique $E_e$ est nulle. Puisque l'énergie totale est conservée, toute l'énergie est alors sous forme magnétique dans la bobine ($E_m$ est maximale). L'intensité du courant $|i|$ est alors à sa valeur maximale $I_m$.

💡 À retenir : $u_C=0 \implies$ courant maximal et énergie magnétique maximale.

Peut-on avoir des oscillations si le condensateur est initialement déchargé ?

Non, pour avoir des oscillations libres, il faut une source d'énergie initiale. Soit le condensateur doit être chargé (énergie électrique), soit la bobine doit être parcourue par un courant initial (énergie magnétique). Sans énergie au départ, le système reste au repos.

💡 À retenir : Un apport d'énergie initial est indispensable.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

On considère un circuit LC idéal comprenant une bobine d'inductance $L = 0,2\text{ H}$ et un condensateur de capacité $C$ . On charge le condensateur sous une tension $E = 10\text{ V}$ , puis on le branche aux bornes de la bobine à $t = 0$ .

Établir l'équation différentielle vérifiée par la charge $q(t)$ du condensateur.
La solution est de la forme $q(t) = Q_m \cos(\frac{2\pi}{T_0}t + \phi)$ . Déterminer $Q_m$ et $\phi$ sachant que $C = 5\text{ \mu F}$ .
Calculer la période propre $T_0$ .
Calculer l'énergie totale du circuit.

Exercice 1

On considère un circuit LC idéal comprenant une bobine d'inductance $L = 0,2\text{ H}$ et un condensateur de capacité $C$. On charge le condensateur sous une tension $E = 10\text{ V}$, puis on le branche aux bornes de la bobine à $t = 0$.

Établir l'équation différentielle vérifiée par la charge $q(t)$ du condensateur.
La solution est de la forme $q(t) = Q_m \cos(\frac{2\pi}{T_0}t + \phi)$. Déterminer $Q_m$ et $\phi$ sachant que $C = 5\text{ \mu F}$.
Calculer la période propre $T_0$.
Calculer l'énergie totale du circuit.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Un circuit RLC série est composé d'une bobine ( $L=0,5\text{ H}, r=10\text{ }\Omega$ ), d'un condensateur ( $C=2\text{ \mu F}$ ) et d'un conducteur ohmique de résistance $R$ réglable.

On règle $R = 20\text{ }\Omega$ . Quel est le régime d'oscillations observé ? Calculer la pseudo-période $T$ en supposant $T \approx T_0$ .
On observe sur un oscilloscope que l'amplitude de $u_C$ passe de $8\text{ V}$ à $t_1=0$ à $3\text{ V}$ à l'instant $t_2 = 2T$ . Calculer la variation de l'énergie totale $\Delta E$ entre $t_1$ et $t_2$ . On donne $i(t_1) = i(t_2) = 0$ .
Comment doit-on régler $R$ pour obtenir un régime apériodique ?

Exercice 2

Un circuit RLC série est composé d'une bobine ($L=0,5\text{ H}, r=10\text{ }\Omega$), d'un condensateur ($C=2\text{ \mu F}$) et d'un conducteur ohmique de résistance $R$ réglable.

On règle $R = 20\text{ }\Omega$. Quel est le régime d'oscillations observé ? Calculer la pseudo-période $T$ en supposant $T \approx T_0$.
On observe sur un oscilloscope que l'amplitude de $u_C$ passe de $8\text{ V}$ à $t_1=0$ à $3\text{ V}$ à l'instant $t_2 = 2T$. Calculer la variation de l'énergie totale $\Delta E$ entre $t_1$ et $t_2$. On donne $i(t_1) = i(t_2) = 0$.
Comment doit-on régler $R$ pour obtenir un régime apériodique ?

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Exercice 3

Pour entretenir les oscillations dans un circuit RLC ( $L=0,4\text{ H}, r=15\text{ }\Omega, R=45\text{ }\Omega, C=10\text{ \mu F}$ ), on insère un générateur fournissant une tension $u_G = k \cdot i$ .

Établir l'équation différentielle de la tension $u_C(t)$ en présence du générateur.
Quelle valeur doit prendre le paramètre $k$ pour obtenir des oscillations sinusoïdales ?
Quelle est alors la fréquence $f$ de ces oscillations ?
Si le générateur fournit une puissance $P = 12\text{ mW}$ à un instant donné, quelle est la valeur de l'intensité $i$ à cet instant ? (On utilise $k$ trouvé précédemment).

Exercice 3

Pour entretenir les oscillations dans un circuit RLC ($L=0,4\text{ H}, r=15\text{ }\Omega, R=45\text{ }\Omega, C=10\text{ \mu F}$), on insère un générateur fournissant une tension $u_G = k \cdot i$.

Établir l'équation différentielle de la tension $u_C(t)$ en présence du générateur.
Quelle valeur doit prendre le paramètre $k$ pour obtenir des oscillations sinusoïdales ?
Quelle est alors la fréquence $f$ de ces oscillations ?
Si le générateur fournit une puissance $P = 12\text{ mW}$ à un instant donné, quelle est la valeur de l'intensité $i$ à cet instant ? (On utilise $k$ trouvé précédemment).

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