Physique-Chimie · 2ème Année Bac — Sciences et Technologies Mécaniques

Le dipôle RL

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Le dipôle RL est composé d'un conducteur ohmique de résistance $R$ et d'une bobine d'inductance $L$ et de résistance interne $r$ (souvent négligée, $r \approx 0$ ).

1. Caractéristiques de la bobine : La tension $u_L$ aux bornes d'une bobine idéale est proportionnelle à la variation du courant $i$ qui la traverse : $u_L = L \frac{di}{dt}$ Où $L$ est l'inductance exprimée en Henry ( $H$ ).

2. Équation différentielle : Dans un circuit série alimenté par un générateur de tension constante $E$ , d'après la loi des mailles : $E = u_R + u_L \implies E = Ri + L \frac{di}{dt}$ En divisant par $R$ , on obtient la forme canonique : $\frac{L}{R} \frac{di}{dt} + i = \frac{E}{R}$

3. Solution de l'équation : L'évolution du courant $i(t)$ lors de l'établissement du courant est : $i(t) = \frac{E}{R} \left( 1 - e^{-\frac{R}{L}t} \right)$ Le courant tend vers une valeur maximale $I_{max} = \frac{E}{R}$ quand $t \to \infty$ .

4. Constante de temps $\tau$ : La constante de temps $\tau$ caractérise la rapidité de l'établissement du courant : $\tau = \frac{L}{R}$ Au bout de $t = \tau$ , on a $i(\tau) \approx 0,63 \cdot I_{max}$ . Au bout de $t = 5\tau$ , le régime permanent est considéré comme atteint ( $i \approx I_{max}$ ).

5. Énergie emmagasinée : La bobine stocke de l'énergie sous forme magnétique : $E_L = \frac{1}{2} L i^2$

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle : Utiliser la loi des mailles ( $E = u_R + u_L$ ) et remplacer $u_L$ par $L \frac{di}{dt}$ .
Déterminer $\tau$ graphiquement :
- Méthode de la tangente : Tracer la tangente à la courbe $i(t)$ à l'origine ( $t=0$ ). L'intersection de cette tangente avec l'asymptote $I_{max}$ donne le point d'abscisse $\tau$ .
- Méthode de la valeur : Calculer l'abscisse $t$ telle que $i(t) = 0,63 \cdot I_{max}$ .
Calculer $L$ ou $R$ : Utiliser la relation $\tau = \frac{L}{R}$ une fois que $\tau$ et l'un des deux paramètres sont connus.

Exemples corrigés

Exemple : Un circuit comporte une bobine $L = 0,2\text{ H}$ et une résistance $R = 50\ \Omega$ . On applique une tension $E = 10\text{ V}$ .

Calculer $\tau$ .
Calculer l'intensité à $t = 0$ .

Corrigé :

$\tau = \frac{L}{R} = \frac{0,2}{50} = 0,004\text{ s} = 4\text{ ms}$ .
À $t=0$ , la bobine s'oppose à la variation du courant, donc $i(0) = 0\text{ A}$ .

Erreurs fréquentes

Confusion d'unité : Confondre le millihenry ( $mH$ ) et le Henry ( $H$ ). Toujours convertir en $H$ avant le calcul ( $1\text{ mH} = 10^{-3}\text{ H}$ ).
Erreur de formule : Confondre $\tau = \frac{L}{R}$ (dipôle RL) avec $\tau = RC$ (dipôle RC).
Oubli de la dérivée : Écrire $u_L = L \cdot i$ au lieu de $u_L = L \frac{di}{dt}$ .

L'essentiel du cours

Le dipôle RL est composé d'un conducteur ohmique de résistance $R$ et d'une bobine d'inductance $L$ et de résistance interne $r$ (souvent négligée, $r \approx 0$).

1. Caractéristiques de la bobine : La tension $u_L$ aux bornes d'une bobine idéale est proportionnelle à la variation du courant $i$ qui la traverse : $$u_L = L \frac{di}{dt}$$ Où $L$ est l'inductance exprimée en Henry ($H$).

2. Équation différentielle : Dans un circuit série alimenté par un générateur de tension constante $E$, d'après la loi des mailles : $$E = u_R + u_L \implies E = Ri + L \frac{di}{dt}$$ En divisant par $R$, on obtient la forme canonique : $$\frac{L}{R} \frac{di}{dt} + i = \frac{E}{R}$$

3. Solution de l'équation : L'évolution du courant $i(t)$ lors de l'établissement du courant est : $$i(t) = \frac{E}{R} \left( 1 - e^{-\frac{R}{L}t} \right)$$ Le courant tend vers une valeur maximale $I_{max} = \frac{E}{R}$ quand $t \to \infty$.

4. Constante de temps $\tau$ : La constante de temps $\tau$ caractérise la rapidité de l'établissement du courant : $$\tau = \frac{L}{R}$$ Au bout de $t = \tau$, on a $i(\tau) \approx 0,63 \cdot I_{max}$. Au bout de $t = 5\tau$, le régime permanent est considéré comme atteint ($i \approx I_{max}$).

5. Énergie emmagasinée : La bobine stocke de l'énergie sous forme magnétique : $$E_L = \frac{1}{2} L i^2$$

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle : Utiliser la loi des mailles ($E = u_R + u_L$) et remplacer $u_L$ par $L \frac{di}{dt}$.
Déterminer $\tau$ graphiquement :
- Méthode de la tangente : Tracer la tangente à la courbe $i(t)$ à l'origine ($t=0$). L'intersection de cette tangente avec l'asymptote $I_{max}$ donne le point d'abscisse $\tau$.
- Méthode de la valeur : Calculer l'abscisse $t$ telle que $i(t) = 0,63 \cdot I_{max}$.
Calculer $L$ ou $R$ : Utiliser la relation $\tau = \frac{L}{R}$ une fois que $\tau$ et l'un des deux paramètres sont connus.

Exemples corrigés

Exemple : Un circuit comporte une bobine $L = 0,2\text{ H}$ et une résistance $R = 50\ \Omega$. On applique une tension $E = 10\text{ V}$.

Calculer $\tau$.
Calculer l'intensité à $t = 0$.

Corrigé :

$\tau = \frac{L}{R} = \frac{0,2}{50} = 0,004\text{ s} = 4\text{ ms}$.
À $t=0$, la bobine s'oppose à la variation du courant, donc $i(0) = 0\text{ A}$.

Erreurs fréquentes

Confusion d'unité : Confondre le millihenry ($mH$) et le Henry ($H$). Toujours convertir en $H$ avant le calcul ($1\text{ mH} = 10^{-3}\text{ H}$).
Erreur de formule : Confondre $\tau = \frac{L}{R}$ (dipôle RL) avec $\tau = RC$ (dipôle RC).
Oubli de la dérivée : Écrire $u_L = L \cdot i$ au lieu de $u_L = L \frac{di}{dt}$.

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🎯 Le dipôle RL

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Quelle est l'unité de l'inductance $L$ ?

❓ Questions fréquentes

Que vaut i(t) quand t devient très grand ?

Quand $t \to \infty$ , le terme exponentiel $e^{-\frac{R}{L}t}$ tend vers $0$ . L'expression devient $i(t) \approx \frac{E}{R}$ . On dit que le circuit est en régime permanent.

💡 À retenir : En régime permanent, la bobine se comporte comme un simple fil (si $r=0$ ).

Quand $t \to \infty$, le terme exponentiel $e^{-\frac{R}{L}t}$ tend vers $0$. L'expression devient $i(t) \approx \frac{E}{R}$. On dit que le circuit est en régime permanent.

💡 À retenir : En régime permanent, la bobine se comporte comme un simple fil (si $r=0$).

Chno hiya l'unité dyal L?

L'unité de l'inductance $L$ est le Henry, noté $H$ . Dans les exercices, on trouve souvent des valeurs en millihenry ( $mH$ ), il faut alors convertir : $1\text{ mH} = 10^{-3}\text{ H}$ .

💡 À retenir : Toujours convertir les $mH$ en $H$ avant d'utiliser la formule de $\tau$ .

L'unité de l'inductance $L$ est le Henry, noté $H$. Dans les exercices, on trouve souvent des valeurs en millihenry ($mH$), il faut alors convertir : $1\text{ mH} = 10^{-3}\text{ H}$.

💡 À retenir : Toujours convertir les $mH$ en $H$ avant d'utiliser la formule de $\tau$.

Kifach n7seb tau men l'équation?

On utilise la solution $i(t) = I_{max}(1 - e^{-t/\tau})$ .
On cherche l'instant $t$ où $i(t) = 0,63 \cdot I_{max}$ .
On résout $0,63 = 1 - e^{-t/\tau} \implies e^{-t/\tau} = 0,37$ .
En prenant le logarithme népérien : $-t/\tau = \ln(0,37) \implies t \approx \tau$ .

💡 À retenir : $\tau$ est l'instant où le courant atteint 63% de sa valeur finale.

On utilise la solution $i(t) = I_{max}(1 - e^{-t/\tau})$.
On cherche l'instant $t$ où $i(t) = 0,63 \cdot I_{max}$.
On résout $0,63 = 1 - e^{-t/\tau} \implies e^{-t/\tau} = 0,37$.
En prenant le logarithme népérien : $-t/\tau = \ln(0,37) \implies t \approx \tau$.

💡 À retenir : $\tau$ est l'instant où le courant atteint 63% de sa valeur finale.

Wach uL katkon dima m3a i?

Non. La tension $u_L$ ne dépend pas de la valeur de $i$ , mais de la variation de $i$ par rapport au temps ( $\frac{di}{dt}$ ). Si le courant est constant (régime permanent), alors $\frac{di}{dt} = 0$ et $u_L = 0$ .

💡 À retenir : $u_L$ est nulle quand le courant est stable.

Non. La tension $u_L$ ne dépend pas de la valeur de $i$, mais de la variation de $i$ par rapport au temps ($\frac{di}{dt}$). Si le courant est constant (régime permanent), alors $\frac{di}{dt} = 0$ et $u_L = 0$.

💡 À retenir : $u_L$ est nulle quand le courant est stable.

Quelle est la relation entre uL et i ?

La relation est $u_L = L \frac{di}{dt}$ . Cela signifie que la tension est proportionnelle à la vitesse de variation du courant.

💡 À retenir : $u_L$ dépend de la dérivée de $i$ .

La relation est $u_L = L \frac{di}{dt}$. Cela signifie que la tension est proportionnelle à la vitesse de variation du courant.

💡 À retenir : $u_L$ dépend de la dérivée de $i$.

Pourquoi le courant ne s'établit pas instantanément ?

À cause de l'inductance $L$ . La bobine crée une force électromotrice qui s'oppose à la variation du courant (Loi de Lenz). Cette opposition ralentit la montée de l'intensité.

💡 À retenir : L'inductance est l'inertie électrique du circuit.

À cause de l'inductance $L$. La bobine crée une force électromotrice qui s'oppose à la variation du courant (Loi de Lenz). Cette opposition ralentit la montée de l'intensité.

💡 À retenir : L'inductance est l'inertie électrique du circuit.

Comment trouver tau sur un graphique de i(t) ?

Trace la tangente à la courbe à l'origine $t=0$ .
Repère l'intersection de cette tangente avec l'asymptote horizontale $I_{max}$ .
L'abscisse de ce point d'intersection est $\tau$ .

💡 À retenir : C'est la méthode la plus précise en examen.

Trace la tangente à la courbe à l'origine $t=0$.
Repère l'intersection de cette tangente avec l'asymptote horizontale $I_{max}$.
L'abscisse de ce point d'intersection est $\tau$.

💡 À retenir : C'est la méthode la plus précise en examen.

Quelle est la formule de l'énergie stockée ?

L'énergie magnétique stockée dans la bobine est $E_L = \frac{1}{2} L i^2$ . Elle est exprimée en Joules ( $J$ ).

💡 À retenir : L'énergie dépend du carré de l'intensité.

L'énergie magnétique stockée dans la bobine est $E_L = \frac{1}{2} L i^2$. Elle est exprimée en Joules ($J$).

💡 À retenir : L'énergie dépend du carré de l'intensité.

Si on augmente R, que devient tau ?

Comme $\tau = \frac{L}{R}$ , si la résistance $R$ augmente, la constante de temps $\tau$ diminue. Le courant s'établit donc plus rapidement.

💡 À retenir : Plus $R$ est grande, plus le circuit est "rapide".

Comme $\tau = \frac{L}{R}$, si la résistance $R$ augmente, la constante de temps $\tau$ diminue. Le courant s'établit donc plus rapidement.

💡 À retenir : Plus $R$ est grande, plus le circuit est "rapide".

Si on augmente L, que devient tau ?

Comme $\tau = \frac{L}{R}$ , si l'inductance $L$ augmente, la constante de temps $\tau$ augmente. Le courant s'établit plus lentement.

💡 À retenir : Plus $L$ est grande, plus le circuit est "lent".

Comme $\tau = \frac{L}{R}$, si l'inductance $L$ augmente, la constante de temps $\tau$ augmente. Le courant s'établit plus lentement.

💡 À retenir : Plus $L$ est grande, plus le circuit est "lent".

Quelle est la valeur de uL à t=0 lors de l'établissement du courant ?

À $t=0$ , $i=0$ , mais la dérivée $\frac{di}{dt}$ est maximale. On montre que $u_L(0) = E$ . La bobine absorbe toute la tension au début.

💡 À retenir : À $t=0$ , $u_L = E$ et $u_R = 0$ .

À $t=0$, $i=0$, mais la dérivée $\frac{di}{dt}$ est maximale. On montre que $u_L(0) = E$. La bobine absorbe toute la tension au début.

💡 À retenir : À $t=0$, $u_L = E$ et $u_R = 0$.

Quelle est la valeur de uL en régime permanent ?

En régime permanent, $i$ est constant, donc $\frac{di}{dt} = 0$ . Par conséquent, $u_L = L \cdot 0 = 0$ .

💡 À retenir : En régime permanent, $u_L = 0$ et $u_R = E$ .

En régime permanent, $i$ est constant, donc $\frac{di}{dt} = 0$. Par conséquent, $u_L = L \cdot 0 = 0$.

💡 À retenir : En régime permanent, $u_L = 0$ et $u_R = E$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Exercice 1 : Application directe (Niveau 1) Un circuit est composé d'un générateur de tension $E = 12\text{ V}$ , d'un conducteur ohmique $R = 100\ \Omega$ et d'une bobine d'inductance $L = 0,2\text{ H}$ . On ferme le circuit à $t=0$ .

Établir l'équation différentielle vérifiée par l'intensité $i(t)$ .
Calculer la constante de temps $\tau$ du circuit.
Déterminer l'expression de $i(t)$ .
Calculer la valeur de $i$ à $t = 5\tau$ .

Exercice 2 : Analyse graphique (Niveau 2) On réalise l'expérience précédente. La courbe de l'intensité $i(t)$ est obtenue. On observe que l'intensité atteint une valeur maximale $I_{max} = 0,12\text{ A}$ et que la tangente à l'origine coupe l'asymptote à l'instant $t = 2\text{ ms}$ .

Déterminer la valeur de la constante de temps $\tau$ .
Calculer la valeur de la résistance $R$ .
Calculer la valeur de l'inductance $L$ .

Exercice 3 : Énergie et puissance (Niveau 3) On reprend le circuit de l'exercice 1 ( $E=12\text{ V}, R=100\ \Omega, L=0,2\text{ H}$ ).

Calculer l'énergie magnétique stockée dans la bobine à l'instant $t = \tau$ .
Calculer la puissance dissipée par effet Joule dans la résistance à l'instant $t = \tau$ .
En déduire la puissance totale fournie par le générateur à cet instant.

Exercice 1

Exercice 1 : Application directe (Niveau 1) Un circuit est composé d'un générateur de tension $E = 12\text{ V}$, d'un conducteur ohmique $R = 100\ \Omega$ et d'une bobine d'inductance $L = 0,2\text{ H}$. On ferme le circuit à $t=0$.

Établir l'équation différentielle vérifiée par l'intensité $i(t)$.
Calculer la constante de temps $\tau$ du circuit.
Déterminer l'expression de $i(t)$.
Calculer la valeur de $i$ à $t = 5\tau$.

Déterminer la valeur de la constante de temps $\tau$.
Calculer la valeur de la résistance $R$.
Calculer la valeur de l'inductance $L$.

Exercice 3 : Énergie et puissance (Niveau 3) On reprend le circuit de l'exercice 1 ($E=12\text{ V}, R=100\ \Omega, L=0,2\text{ H}$).

Calculer l'énergie magnétique stockée dans la bobine à l'instant $t = \tau$.
Calculer la puissance dissipée par effet Joule dans la résistance à l'instant $t = \tau$.
En déduire la puissance totale fournie par le générateur à cet instant.

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