Mathématiques · 1ère Année Bac — Sciences Mathématiques

Géométrie analytique dans l'espace

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ :

Plan : Tout plan $(P)$ a une équation de la forme $ax + by + cz + d = 0$ avec $(a, b, c) \neq (0, 0, 0)$ . Le vecteur $\vec{n}(a, b, c)$ est normal au plan.
Droite : Une droite $(D)$ passant par $A(x_0, y_0, z_0)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(a, b, c)$ a pour représentation paramétrique : $\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} (t \in \mathbb{R})$
Sphère : L'ensemble des points $M(x, y, z)$ tels que $IM = R$ est $(x-x_I)^2 + (y-y_I)^2 + (z-z_I)^2 = R^2$ .
Distance : $d(A, (P)) = \frac{|ax_A + by_A + cz_A + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ .

Méthodes à maîtriser

Déterminer une équation cartésienne d'un plan à partir d'un point et d'un vecteur normal.
Étudier l'intersection d'une droite et d'un plan (remplacer les coordonnées paramétriques dans l'équation du plan).
Déterminer le centre et le rayon d'une sphère à partir de son équation en complétant les carrés.

Exemples corrigés

Plan : Plan passant par $A(1, 0, 1)$ et de vecteur normal $\vec{n}(1, -1, 2)$ : $1(x-1) - 1(y-0) + 2(z-1) = 0 \iff x - y + 2z - 3 = 0$ .
Intersection : Droite $(D)$ : $x=t, y=t, z=t$ et plan $(P) : x+y+z-3=0$ . On remplace : $t+t+t-3=0 \implies 3t=3 \implies t=1$ . Le point d'intersection est $(1, 1, 1)$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la condition $(a, b, c) \neq (0, 0, 0)$ pour un plan.
Confondre vecteur directeur d'une droite et vecteur normal d'un plan.
Se tromper dans le signe de la constante $d$ dans la formule de la distance.

L'essentiel du cours

Dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ :

Plan : Tout plan $(P)$ a une équation de la forme $ax + by + cz + d = 0$ avec $(a, b, c) \neq (0, 0, 0)$. Le vecteur $\vec{n}(a, b, c)$ est normal au plan.
Droite : Une droite $(D)$ passant par $A(x_0, y_0, z_0)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(a, b, c)$ a pour représentation paramétrique : $$\begin{cases} x = x_0 + at \ y = y_0 + bt \ z = z_0 + ct \end{cases} (t \in \mathbb{R})$$
Sphère : L'ensemble des points $M(x, y, z)$ tels que $IM = R$ est $(x-x_I)^2 + (y-y_I)^2 + (z-z_I)^2 = R^2$.
Distance : $d(A, (P)) = \frac{|ax_A + by_A + cz_A + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.

Méthodes à maîtriser

Déterminer une équation cartésienne d'un plan à partir d'un point et d'un vecteur normal.
Étudier l'intersection d'une droite et d'un plan (remplacer les coordonnées paramétriques dans l'équation du plan).
Déterminer le centre et le rayon d'une sphère à partir de son équation en complétant les carrés.

Exemples corrigés

Plan : Plan passant par $A(1, 0, 1)$ et de vecteur normal $\vec{n}(1, -1, 2)$ : $1(x-1) - 1(y-0) + 2(z-1) = 0 \iff x - y + 2z - 3 = 0$.
Intersection : Droite $(D)$ : $x=t, y=t, z=t$ et plan $(P) : x+y+z-3=0$. On remplace : $t+t+t-3=0 \implies 3t=3 \implies t=1$. Le point d'intersection est $(1, 1, 1)$.

Erreurs fréquentes

Oublier la condition $(a, b, c) \neq (0, 0, 0)$ pour un plan.
Confondre vecteur directeur d'une droite et vecteur normal d'un plan.
Se tromper dans le signe de la constante $d$ dans la formule de la distance.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Géométrie analytique dans l'espace

1/4

Quel est le vecteur normal au plan $2x - y + 3z = 0$ ?

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si deux plans sont parallèles ?

Identifie les vecteurs normaux $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ des deux plans.
Vérifie s'ils sont colinéaires, c'est-à-dire s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{n_1} = k\vec{n_2}$ .
S'ils sont colinéaires, les plans sont parallèles.

💡 À retenir : Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.

Identifie les vecteurs normaux $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ des deux plans.
Vérifie s'ils sont colinéaires, c'est-à-dire s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{n_1} = k\vec{n_2}$.
S'ils sont colinéaires, les plans sont parallèles.

💡 À retenir : Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.

Kifach n7seb l'intersection dyal droite o plan ?

Écris la représentation paramétrique de la droite $(D)$ .
Remplace $x, y$ et $z$ dans l'équation du plan par les expressions en fonction de $t$ .
Résous l'équation obtenue pour trouver $t$ .
Remplace $t$ dans la représentation paramétrique pour trouver les coordonnées du point d'intersection.

💡 À retenir : Si l'équation en $t$ n'a pas de solution, la droite est strictement parallèle au plan.

Écris la représentation paramétrique de la droite $(D)$.
Remplace $x, y$ et $z$ dans l'équation du plan par les expressions en fonction de $t$.
Résous l'équation obtenue pour trouver $t$.
Remplace $t$ dans la représentation paramétrique pour trouver les coordonnées du point d'intersection.

💡 À retenir : Si l'équation en $t$ n'a pas de solution, la droite est strictement parallèle au plan.

Est-ce qu'une droite peut être définie par une seule équation ?

Non, dans l'espace, une droite est définie par l'intersection de deux plans non parallèles. Elle est donc représentée par un système de deux équations cartésiennes.

💡 À retenir : Une droite dans l'espace nécessite deux équations cartésiennes ou une représentation paramétrique.

Chno hiya l'equation dyal l'kora ila 3tani l'diamètre ?

Le centre $I$ est le milieu du segment $[AB]$ (extrémités du diamètre).
Le rayon $R$ est la moitié de la distance $AB$ ou la distance $IA$ .
Applique la formule $(x-x_I)^2 + (y-y_I)^2 + (z-z_I)^2 = R^2$ .

💡 À retenir : Le centre est toujours le milieu du diamètre.

Le centre $I$ est le milieu du segment $[AB]$ (extrémités du diamètre).
Le rayon $R$ est la moitié de la distance $AB$ ou la distance $IA$.
Applique la formule $(x-x_I)^2 + (y-y_I)^2 + (z-z_I)^2 = R^2$.

💡 À retenir : Le centre est toujours le milieu du diamètre.

Comment prouver qu'une droite est perpendiculaire à un plan ?

Il suffit de montrer que le vecteur directeur de la droite est colinéaire au vecteur normal du plan.

💡 À retenir : $\vec{u} = k\vec{n}$ signifie droite perpendiculaire au plan.

Il suffit de montrer que le vecteur directeur de la droite est colinéaire au vecteur normal du plan.

💡 À retenir : $\vec{u} = k\vec{n}$ signifie droite perpendiculaire au plan.

Kifach n3ref wach no9ta katnmi l'falka ?

Remplace les coordonnées de la point $M(x, y, z)$ dans l'équation de la sphère.
Si le résultat est égal à $R^2$ , alors le point appartient à la sphère.
Sinon, il est à l'intérieur (si $< R^2$ ) ou à l'extérieur (si $> R^2$ ).

💡 À retenir : Il suffit de vérifier l'égalité de l'équation.

Remplace les coordonnées de la point $M(x, y, z)$ dans l'équation de la sphère.
Si le résultat est égal à $R^2$, alors le point appartient à la sphère.
Sinon, il est à l'intérieur (si $< R^2$) ou à l'extérieur (si $> R^2$).

💡 À retenir : Il suffit de vérifier l'égalité de l'équation.

Le vecteur normal est-il unique pour un plan ?

Non, tout vecteur colinéaire au vecteur normal est aussi un vecteur normal. Si $\vec{n}$ est normal, alors $k\vec{n}$ (avec $k \neq 0$ ) l'est aussi.

💡 À retenir : Un plan possède une infinité de vecteurs normaux.

Non, tout vecteur colinéaire au vecteur normal est aussi un vecteur normal. Si $\vec{n}$ est normal, alors $k\vec{n}$ (avec $k \neq 0$) l'est aussi.

💡 À retenir : Un plan possède une infinité de vecteurs normaux.

Quelle est la distance d'un point au plan si le point appartient au plan ?

La distance est nulle. En remplaçant les coordonnées du point dans l'équation du plan, on obtient $0$ .

💡 À retenir : $A \in (P) \iff d(A, (P)) = 0$ .

La distance est nulle. En remplaçant les coordonnées du point dans l'équation du plan, on obtient $0$.

💡 À retenir : $A \in (P) \iff d(A, (P)) = 0$.

Est-ce que le produit vectoriel est nécessaire pour trouver l'équation d'un plan ?

Oui, si on te donne deux vecteurs directeurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ du plan, le vecteur $\vec{n} = \vec{u} \wedge \vec{v}$ est un vecteur normal au plan.

💡 À retenir : Le produit vectoriel permet de passer de deux vecteurs directeurs à un vecteur normal.

Oui, si on te donne deux vecteurs directeurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ du plan, le vecteur $\vec{n} = \vec{u} \wedge \vec{v}$ est un vecteur normal au plan.

💡 À retenir : Le produit vectoriel permet de passer de deux vecteurs directeurs à un vecteur normal.

Comment trouver le centre et le rayon d'une sphère donnée par x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0 ?

Regroupe les termes en $x$ , en $y$ et en $z$ .
Complète les carrés pour chaque variable : $(x + \frac{a}{2})^2 - \frac{a^2}{4} \dots$
Identifie le centre $(-a/2, -b/2, -c/2)$ et calcule $R^2$ .

💡 À retenir : La forme canonique donne directement le centre et le rayon.

Regroupe les termes en $x$, en $y$ et en $z$.
Complète les carrés pour chaque variable : $(x + \frac{a}{2})^2 - \frac{a^2}{4} \dots$
Identifie le centre $(-a/2, -b/2, -c/2)$ et calcule $R^2$.

💡 À retenir : La forme canonique donne directement le centre et le rayon.

Peut-on avoir une droite sans vecteur directeur ?

Non, toute droite dans l'espace possède un vecteur directeur non nul.

💡 À retenir : Un vecteur directeur est indispensable pour définir la direction d'une droite.

Est-ce que deux droites non parallèles sont forcément sécantes ?

Non, elles peuvent être non coplanaires (droites gauches). Elles ne se coupent pas et ne sont pas parallèles.

💡 À retenir : Dans l'espace, deux droites peuvent être sécantes, parallèles ou gauches.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $(P)$ le plan d'équation $x + 2y - z + 3 = 0$ et $A(1, -1, 2)$ .

Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(D)$ passant par $A$ et perpendiculaire à $(P)$ .
Déterminer les coordonnées du point $H$ , projeté orthogonal de $A$ sur $(P)$ .

Exercice 1

Soit $(P)$ le plan d'équation $x + 2y - z + 3 = 0$ et $A(1, -1, 2)$.

Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(D)$ passant par $A$ et perpendiculaire à $(P)$.
Déterminer les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal de $A$ sur $(P)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $(S)$ la sphère d'équation $x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z + 5 = 0$ .

Déterminer le centre $\Omega$ et le rayon $R$ de $(S)$ .
Soit $(P)$ le plan d'équation $x + y + z - 1 = 0$ . Montrer que $(P)$ coupe $(S)$ selon un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

Exercice 2

Soit $(S)$ la sphère d'équation $x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z + 5 = 0$.

Déterminer le centre $\Omega$ et le rayon $R$ de $(S)$.
Soit $(P)$ le plan d'équation $x + y + z - 1 = 0$. Montrer que $(P)$ coupe $(S)$ selon un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Déterminer l'équation cartésienne du plan $(ABC)$ avec $A(1, 0, 0)$ , $B(0, 1, 0)$ et $C(0, 0, 1)$ .

Exercice 3

Déterminer l'équation cartésienne du plan $(ABC)$ avec $A(1, 0, 0)$, $B(0, 1, 0)$ et $C(0, 0, 1)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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