Mathématiques · 1ère Année Bac — Sciences Mathématiques

Le produit scalaire dans le plan

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Définition : Soient $\vec{u}$ $u$ et $\vec{v}$ $v$ deux vecteurs. Le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$ $u \cdot v$ est le réel défini par :
- Si $\vec{u}=\vec{0}$ ou $\vec{v}=\vec{0}$ , $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ .
- Sinon, $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\| \cdot \cos(\vec{u}, \vec{v})$ .
Propriétés : Symétrie ( $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ ), bilinéarité, et $\vec{u}^2 = \|\vec{u}\|^2$ .
Expression analytique : Dans une base orthonormée, si $\vec{u}(x, y)$ et $\vec{v}(x', y')$ , alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$ .
Orthogonalité : $\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ .
Équation de droite : Une droite passant par $A(x_0, y_0)$ de vecteur normal $\vec{n}(a, b)$ a pour équation $a(x-x_0) + b(y-y_0) = 0$ .

Méthodes à maîtriser

Calculer un produit scalaire via la projection orthogonale : $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot \vec{AH}$ où $H$ est le projeté de $C$ sur $(AB)$ .
Utiliser le théorème de la médiane pour calculer des longueurs dans un triangle.
Déterminer l'équation cartésienne d'une droite à partir d'un vecteur normal.
Utiliser $\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}(\|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}-\vec{v}\|^2)$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soient $A(1, 2)$ et $B(3, 4)$ . $\vec{AB}(2, 2)$ . $\|\vec{AB}\| = \sqrt{2^2+2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ .
Exemple 2 : Droite passant par $A(1, 1)$ de vecteur normal $\vec{n}(2, -3)$ : $2(x-1) - 3(y-1) = 0 \iff 2x - 3y + 1 = 0$ .

Erreurs fréquentes

Confondre le produit scalaire (qui donne un réel) avec le produit vectoriel (qui donne un vecteur, à voir plus tard).
Oublier que le produit scalaire est nul si l'un des vecteurs est nul.
Faire une erreur de signe dans l'équation de la droite.

L'essentiel du cours

Définition : Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs. Le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$ est le réel défini par :
- Si $\vec{u}=\vec{0}$ ou $\vec{v}=\vec{0}$, $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
- Sinon, $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\vec{u}, \vec{v})$.
Propriétés : Symétrie ($\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$), bilinéarité, et $\vec{u}^2 = |\vec{u}|^2$.
Expression analytique : Dans une base orthonormée, si $\vec{u}(x, y)$ et $\vec{v}(x', y')$, alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$.
Orthogonalité : $\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
Équation de droite : Une droite passant par $A(x_0, y_0)$ de vecteur normal $\vec{n}(a, b)$ a pour équation $a(x-x_0) + b(y-y_0) = 0$.

Méthodes à maîtriser

Calculer un produit scalaire via la projection orthogonale : $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot \vec{AH}$ où $H$ est le projeté de $C$ sur $(AB)$.
Utiliser le théorème de la médiane pour calculer des longueurs dans un triangle.
Déterminer l'équation cartésienne d'une droite à partir d'un vecteur normal.
Utiliser $\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}(|\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - |\vec{u}-\vec{v}|^2)$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soient $A(1, 2)$ et $B(3, 4)$. $\vec{AB}(2, 2)$. $|\vec{AB}| = \sqrt{2^2+2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
Exemple 2 : Droite passant par $A(1, 1)$ de vecteur normal $\vec{n}(2, -3)$ : $2(x-1) - 3(y-1) = 0 \iff 2x - 3y + 1 = 0$.

Erreurs fréquentes

Confondre le produit scalaire (qui donne un réel) avec le produit vectoriel (qui donne un vecteur, à voir plus tard).
Oublier que le produit scalaire est nul si l'un des vecteurs est nul.
Faire une erreur de signe dans l'équation de la droite.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Le produit scalaire dans le plan

1/4

Si $\vec{u} \cdot \vec{v} = -5$ , alors l'angle $(\vec{u}, \vec{v})$ est :

Si $\vec{u} \cdot \vec{v} = -5$, alors l'angle $(\vec{u}, \vec{v})$ est :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que (vec{u} + vec{v})^2 = vec{u}^2 + vec{v}^2 ?

Non, c'est une erreur classique. La formule correcte est : $(\vec{u} + \vec{v})^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2$ .

💡 À retenir : Ne pas oublier le terme $2\vec{u} \cdot \vec{v}$ (le double produit).

Non, c'est une erreur classique. La formule correcte est : $(\vec{u} + \vec{v})^2 = |\vec{u}|^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + |\vec{v}|^2$.

💡 À retenir : Ne pas oublier le terme $2\vec{u} \cdot \vec{v}$ (le double produit).

Kifach n7seb l'produit scalaire ila 3tani ghir les longueurs dyal les côtés dyal triangle ?

Utilise la relation d'Al-Kashi : $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cos(\widehat{BAC})$ .
Identifie que $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \cdot AC \cos(\widehat{BAC})$ .
Donc, $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \frac{1}{2}(AB^2 + AC^2 - BC^2)$ .

💡 À retenir : Cette formule permet de calculer le produit scalaire sans connaître l'angle.

Utilise la relation d'Al-Kashi : $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cos(\widehat{BAC})$.
Identifie que $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \cdot AC \cos(\widehat{BAC})$.
Donc, $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \frac{1}{2}(AB^2 + AC^2 - BC^2)$.

💡 À retenir : Cette formule permet de calculer le produit scalaire sans connaître l'angle.

Est-ce que le produit scalaire peut être négatif ?

Oui, tout à fait. Le signe du produit scalaire dépend du cosinus de l'angle entre les deux vecteurs :

Si l'angle est aigu ( $< 90^\circ$ ), le produit est positif.
Si l'angle est obtus ( $> 90^\circ$ ), le produit est négatif.
Si l'angle est droit ( $= 90^\circ$ ), le produit est nul.

💡 À retenir : Le signe du produit scalaire indique la nature de l'angle (aigu ou obtus).

Oui, tout à fait. Le signe du produit scalaire dépend du cosinus de l'angle entre les deux vecteurs :

Si l'angle est aigu ($< 90^\circ$), le produit est positif.
Si l'angle est obtus ($> 90^\circ$), le produit est négatif.
Si l'angle est droit ($= 90^\circ$), le produit est nul.

💡 À retenir : Le signe du produit scalaire indique la nature de l'angle (aigu ou obtus).

Chno hiya l'relation bin l'produit scalaire w l'projection orthogonale ?

Si tu as deux vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ :

Projette le point $C$ orthogonalement sur la droite $(AB)$ pour obtenir le point $H$ .
Alors $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot \vec{AH}$ .
Le calcul devient alors le produit des distances $AB \times AH$ (si les vecteurs sont colinéaires de même sens) ou $-AB \times AH$ (si sens opposés).

💡 À retenir : La projection simplifie le calcul en ramenant le problème à une dimension.

Si tu as deux vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ :

Projette le point $C$ orthogonalement sur la droite $(AB)$ pour obtenir le point $H$.
Alors $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot \vec{AH}$.
Le calcul devient alors le produit des distances $AB \times AH$ (si les vecteurs sont colinéaires de même sens) ou $-AB \times AH$ (si sens opposés).

💡 À retenir : La projection simplifie le calcul en ramenant le problème à une dimension.

Comment déterminer une équation cartésienne d'une droite ?

Identifie un point $A(x_0, y_0)$ appartenant à la droite.
Identifie un vecteur normal $\vec{n}(a, b)$ à la droite.
Applique la formule : $a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0$ .
Développe pour obtenir la forme $ax + by + c = 0$ .

💡 À retenir : Le vecteur normal est perpendiculaire au vecteur directeur de la droite.

Identifie un point $A(x_0, y_0)$ appartenant à la droite.
Identifie un vecteur normal $\vec{n}(a, b)$ à la droite.
Applique la formule : $a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0$.
Développe pour obtenir la forme $ax + by + c = 0$.

💡 À retenir : Le vecteur normal est perpendiculaire au vecteur directeur de la droite.

Est-ce que vec{u} cdot vec{v} = vec{v} cdot vec{u} est toujours vrai ?

Oui, le produit scalaire est commutatif. C'est une propriété fondamentale appelée la symétrie du produit scalaire.

💡 À retenir : L'ordre des vecteurs dans le produit scalaire n'a aucune importance.

Kifach n3ref wach wahed l'droite 3amoudiya 3la wahed l'autre ?

Détermine le vecteur directeur $\vec{u}$ de la première droite et $\vec{v}$ de la deuxième.
Calcule le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$ .
Si le résultat est $0$ , alors les droites sont perpendiculaires.

💡 À retenir : Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.

Détermine le vecteur directeur $\vec{u}$ de la première droite et $\vec{v}$ de la deuxième.
Calcule le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$.
Si le résultat est $0$, alors les droites sont perpendiculaires.

💡 À retenir : Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.

Peut-on utiliser le produit scalaire pour calculer l'aire d'un triangle ?

Oui, via la formule : $\text{Aire} = \frac{1}{2} \|\vec{AB}\| \|\vec{AC}\| |\sin(\widehat{BAC})|$ . Comme $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ , tu peux trouver le sinus à partir du cosinus obtenu par le produit scalaire.

💡 À retenir : Le produit scalaire donne le cosinus, qui permet d'accéder au sinus pour l'aire.

Oui, via la formule : $\text{Aire} = \frac{1}{2} |\vec{AB}| |\vec{AC}| |\sin(\widehat{BAC})|$. Comme $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$, tu peux trouver le sinus à partir du cosinus obtenu par le produit scalaire.

💡 À retenir : Le produit scalaire donne le cosinus, qui permet d'accéder au sinus pour l'aire.

Qu'est-ce qu'une base orthonormée ?

C'est une base $(\vec{i}, \vec{j})$ telle que :

$\|\vec{i}\| = 1$ et $\|\vec{j}\| = 1$ .
$\vec{i} \cdot \vec{j} = 0$ (les vecteurs sont orthogonaux).

💡 À retenir : Dans une base orthonormée, les calculs de distance et de produit scalaire sont très simplifiés.

C'est une base $(\vec{i}, \vec{j})$ telle que :

$|\vec{i}| = 1$ et $|\vec{j}| = 1$.
$\vec{i} \cdot \vec{j} = 0$ (les vecteurs sont orthogonaux).

💡 À retenir : Dans une base orthonormée, les calculs de distance et de produit scalaire sont très simplifiés.

Comment calculer la norme d'un vecteur vec{u}(x, y) ?

La norme est la racine carrée de la somme des carrés des coordonnées : $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$ .

💡 À retenir : La norme est toujours un nombre réel positif ou nul.

La norme est la racine carrée de la somme des carrés des coordonnées : $|\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

💡 À retenir : La norme est toujours un nombre réel positif ou nul.

Comment trouver le projeté orthogonal d'un point sur une droite ?

Soit $M(x, y)$ le projeté de $A$ sur la droite $(D)$ d'équation $ax+by+c=0$ .
$M$ appartient à $(D)$ donc $ax_M + by_M + c = 0$ .
Le vecteur $\vec{AM}$ est colinéaire au vecteur normal $\vec{n}(a, b)$ de la droite.
Résous le système pour trouver $x_M$ et $y_M$ .

💡 À retenir : Le projeté orthogonal est l'unique point de la droite tel que $\vec{AM} \perp \vec{u}$ (vecteur directeur).

Soit $M(x, y)$ le projeté de $A$ sur la droite $(D)$ d'équation $ax+by+c=0$.
$M$ appartient à $(D)$ donc $ax_M + by_M + c = 0$.
Le vecteur $\vec{AM}$ est colinéaire au vecteur normal $\vec{n}(a, b)$ de la droite.
Résous le système pour trouver $x_M$ et $y_M$.

💡 À retenir : Le projeté orthogonal est l'unique point de la droite tel que $\vec{AM} \perp \vec{u}$ (vecteur directeur).

Est-ce que le produit scalaire est associatif ?

Non, l'expression $(\vec{u} \cdot \vec{v}) \cdot \vec{w}$ n'a pas de sens car $\vec{u} \cdot \vec{v}$ est un réel. On ne peut pas multiplier un réel par un vecteur de cette façon pour obtenir un produit scalaire.

💡 À retenir : Le produit scalaire n'est pas associatif.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=4$ , $AC=3$ et $\widehat{BAC} = 60^\circ$ .

Calculer $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ .
Calculer $BC$ .
Soit $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ . Calculer $AH$ .

Exercice 1

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=4$, $AC=3$ et $\widehat{BAC} = 60^\circ$.

Calculer $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.
Calculer $BC$.
Soit $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$. Calculer $AH$.

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Exercice 2

Dans un repère orthonormé, on considère la droite $(D) : 2x - y + 3 = 0$ et le point $A(1, 2)$ .

Déterminer un vecteur normal à $(D)$ .
Déterminer l'équation de la droite $(\Delta)$ passant par $A$ et perpendiculaire à $(D)$ .
Calculer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $A$ sur $(D)$ .

Exercice 2

Dans un repère orthonormé, on considère la droite $(D) : 2x - y + 3 = 0$ et le point $A(1, 2)$.

Déterminer un vecteur normal à $(D)$.
Déterminer l'équation de la droite $(\Delta)$ passant par $A$ et perpendiculaire à $(D)$.
Calculer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $A$ sur $(D)$.

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Exercice 3

Soit $ABC$ un triangle. Montrer que $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \frac{1}{2}(AB^2 + AC^2 - BC^2)$ .

Exercice 3

Soit $ABC$ un triangle. Montrer que $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \frac{1}{2}(AB^2 + AC^2 - BC^2)$.

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