Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.
📘 Fiche de cours
L'essentiel du cours
L'étude d'une fonction $f$ consiste à analyser son comportement global :
Domaine de définition $D_f$ : Ensemble des $x$ tels que $f(x)$ existe.
Parité et Périodicité : Permettent de réduire l'intervalle d'étude.
Limites aux bornes : Déterminent les asymptotes et branches infinies.
Dérivée $f'(x)$ : Étude du signe pour établir le tableau de variations.
Dérivée seconde $f''(x)$ : Étude de la concavité et recherche des points d'inflexion.
Représentation graphique : Utilisation des tangentes, asymptotes et points particuliers.
Méthodes à maîtriser
Étude de la parité : Vérifier si $f(-x) = f(x)$ (paire) ou $f(-x) = -f(x)$ (impaire).
Recherche d'asymptotes : Si $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$, alors $x=a$ est asymptote verticale. Si $\lim_{x \to \infty} f(x) = b$, alors $y=b$ est asymptote horizontale.
Étude de la concavité : Si $f''(x) > 0$, la courbe est convexe. Si $f''(x) < 0$, elle est concave. Si $f''(x)$ s'annule en changeant de signe, c'est un point d'inflexion.
Exemples corrigés
Exemple 1 : $f(x) = x^2 - 4x + 3$. $f'(x) = 2x - 4$. $f'(x)=0 \iff x=2$. $f$ est décroissante sur $]-\infty, 2]$ et croissante sur $[2, +\infty[$.
Exemple 2 : $f(x) = \frac{1}{x}$. $f'(x) = -\frac{1}{x^2} < 0$. La fonction est strictement décroissante sur $]0, +\infty[$.
Erreurs fréquentes
Oublier de préciser le domaine de définition avant de dériver.
Confondre le signe de $f'(x)$ avec la valeur de $f(x)$.
Ne pas justifier le changement de signe de $f''(x)$ pour un point d'inflexion.
Mal interpréter les branches paraboliques (ex: confondre direction axe des ordonnées et axe des abscisses).
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Pourquoi doit-on étudier la parité d'une fonction ?
L'étude de la parité permet de réduire l'intervalle d'étude. Si $f$ est paire, on étudie $f$ sur $D_f \cap [0, +\infty[$ et on complète par symétrie axiale. Si $f$ est impaire, on utilise la symétrie centrale par rapport à l'origine. Cela économise du temps et réduit les risques d'erreurs de calcul.
💡 À retenir : La parité simplifie le travail graphique et analytique.
Kifach n3ref wach l'asymptote oblique kayn wla la ?
Pour savoir s'il existe une asymptote oblique $y = ax + b$ au voisinage de $+\infty$, il faut calculer :
$b = \lim_{x \to +\infty} (f(x) - ax)$.
Si les deux limites sont finies, alors la droite est asymptote.
💡 À retenir : L'asymptote oblique existe si le rapport $f(x)/x$ tend vers une constante non nulle.
Est-ce qu'une fonction dérivable est toujours continue ?
Oui, toute fonction dérivable en un point $a$ est nécessairement continue en ce point. Cependant, la réciproque est fausse : une fonction peut être continue en $a$ sans y être dérivable (ex: $f(x) = |x|$ en $0$).
💡 À retenir : Dérivabilité $\implies$ Continuité.
Chno hiya l'utilité dyal la dérivée seconde f''(x) ?
La dérivée seconde sert principalement à étudier la convexité et la concavité de la courbe. Elle permet aussi de localiser précisément les points d'inflexion, là où la courbe change de courbure.
Comment déterminer la position relative de la courbe par rapport à une asymptote ?
Il faut étudier le signe de la différence $d(x) = f(x) - (ax + b)$.
Si $f(x) - (ax + b) > 0$, la courbe est au-dessus de l'asymptote.
Si $f(x) - (ax + b) < 0$, la courbe est en dessous.
💡 À retenir : Le signe de la différence donne la position relative.
Kifach n7seb l'équation dyal l'mamas (tangente) f no9ta a ?
L'équation de la tangente au point d'abscisse $a$ est donnée par la formule : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$. Il suffit de calculer $f(a)$ et $f'(a)$ puis de remplacer.
💡 À retenir : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ est la formule fondamentale.
Qu'est-ce qu'une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées ?
C'est une branche infinie qui se produit quand $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$ et $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \infty$. La courbe s'écrase de plus en plus vers la verticale (l'axe des ordonnées).
💡 À retenir : $\frac{f(x)}{x} \to \infty \implies$ direction axe des ordonnées.
Peut-on avoir plusieurs asymptotes horizontales ?
Oui, une fonction peut avoir deux asymptotes horizontales distinctes, une en $+\infty$ et une autre en $-\infty$. Par exemple, la fonction $f(x) = \arctan(x)$ a pour asymptotes $y = \pi/2$ et $y = -\pi/2$.
💡 À retenir : Vérifiez toujours les limites en $+\infty$ et $-\infty$ séparément.
Comment justifier qu'une fonction est croissante sur un intervalle ?
Il faut montrer que pour tout $x$ de l'intervalle, $f'(x) \geq 0$, et que $f'$ ne s'annule qu'en des points isolés. Si $f'(x) > 0$, la fonction est strictement croissante.
💡 À retenir : Le signe de la dérivée commande la monotonie.
Est-ce que le point d'inflexion est forcément un point où f''(x) = 0 ?
Oui, si $f$ est deux fois dérivable, le point d'inflexion est un point où $f''(x)$ s'annule en changeant de signe. Si $f''(x)$ s'annule sans changer de signe, ce n'est pas un point d'inflexion.
💡 À retenir : Changement de signe de $f''(x)$ est obligatoire.
Chno l'far9 bin l'asymptote et la branche parabolique ?
L'asymptote est une droite vers laquelle la courbe se rapproche indéfiniment. La branche parabolique est une direction vers laquelle la courbe s'éloigne vers l'infini sans se rapprocher d'une droite précise.
Comment tracer la courbe si on a une tangente horizontale ?
Au point d'abscisse $a$ où $f'(a) = 0$, la tangente est horizontale (parallèle à l'axe des abscisses). La courbe "s'aplatit" à cet endroit précis avant de monter ou descendre.
💡 À retenir : $f'(a) = 0 \implies$ tangente horizontale.
✍️ Exercices type examen national
Exercice 1
Étudier les variations de la fonction $f(x) = \frac{x^2+1}{x-1}$ sur $D_f = \mathbb{R} \setminus {1}$.
L'étude d'une fonction f consiste à analyser son comportement global :
Domaine de définition Df : Ensemble des x tels que f(x) existe.
Parité et Périodicité : Permettent de réduire l'intervalle d'étude.
Limites aux bornes : Déterminent les asymptotes et branches infinies.
Dérivée f′(x) : Étude du signe pour établir le tableau de variations.
Dérivée seconde f′′(x) : Étude de la concavité et recherche des points d'inflexion.
Représentation graphique : Utilisation des tangentes, asymptotes et points particuliers.
Méthodes à maîtriser
Étude de la parité : Vérifier si f(−x)=f(x) (paire) ou f(−x)=−f(x) (impaire).
Recherche d'asymptotes : Si limx→af(x)=∞, alors x=a est asymptote verticale. Si limx→∞f(x)=b, alors y=b est asymptote horizontale.
Étude de la concavité : Si f′′(x)>0, la courbe est convexe. Si f′′(x)<0, elle est concave. Si f′′(x) s'annule en changeant de signe, c'est un point d'inflexion.
Exemples corrigés
Exemple 1 : f(x)=x2−4x+3. f′(x)=2x−4. f′(x)=0⟺x=2. f est décroissante sur ]−∞,2] et croissante sur [2,+∞[.
Exemple 2 : f(x)=x1. f′(x)=−x21<0. La fonction est strictement décroissante sur ]0,+∞[.
Erreurs fréquentes
Oublier de préciser le domaine de définition avant de dériver.
Confondre le signe de f′(x) avec la valeur de f(x).
Ne pas justifier le changement de signe de f′′(x) pour un point d'inflexion.
Mal interpréter les branches paraboliques (ex: confondre direction axe des ordonnées et axe des abscisses).
Si f′(x)>0 sur I, alors f est :
L'étude de la parité permet de réduire l'intervalle d'étude. Si f est paire, on étudie f sur Df∩[0,+∞[ et on complète par symétrie axiale. Si f est impaire, on utilise la symétrie centrale par rapport à l'origine. Cela économise du temps et réduit les risques d'erreurs de calcul.
💡 À retenir : La parité simplifie le travail graphique et analytique.
Pour savoir s'il existe une asymptote oblique y=ax+b au voisinage de +∞, il faut calculer :
a=limx→+∞xf(x) (avec a=0).
b=limx→+∞(f(x)−ax).
Si les deux limites sont finies, alors la droite est asymptote.
💡 À retenir : L'asymptote oblique existe si le rapport f(x)/x tend vers une constante non nulle.
Oui, toute fonction dérivable en un point a est nécessairement continue en ce point. Cependant, la réciproque est fausse : une fonction peut être continue en a sans y être dérivable (ex: f(x)=∣x∣ en 0).
💡 À retenir : Dérivabilité ⟹ Continuité.
La dérivée seconde sert principalement à étudier la convexité et la concavité de la courbe. Elle permet aussi de localiser précisément les points d'inflexion, là où la courbe change de courbure.
💡 À retenir : f′′(x)>0⟹ convexe, f′′(x)<0⟹ concave.
Il faut étudier le signe de la différence d(x)=f(x)−(ax+b).
Si f(x)−(ax+b)>0, la courbe est au-dessus de l'asymptote.
Si f(x)−(ax+b)<0, la courbe est en dessous.
💡 À retenir : Le signe de la différence donne la position relative.
L'équation de la tangente au point d'abscisse a est donnée par la formule : y=f′(a)(x−a)+f(a). Il suffit de calculer f(a) et f′(a) puis de remplacer.
💡 À retenir : y=f′(a)(x−a)+f(a) est la formule fondamentale.
C'est une branche infinie qui se produit quand limx→∞f(x)=∞ et limx→∞xf(x)=∞. La courbe s'écrase de plus en plus vers la verticale (l'axe des ordonnées).
💡 À retenir : xf(x)→∞⟹ direction axe des ordonnées.
Oui, une fonction peut avoir deux asymptotes horizontales distinctes, une en +∞ et une autre en −∞. Par exemple, la fonction f(x)=arctan(x) a pour asymptotes y=π/2 et y=−π/2.
💡 À retenir : Vérifiez toujours les limites en +∞ et −∞ séparément.
Il faut montrer que pour tout x de l'intervalle, f′(x)≥0, et que f′ ne s'annule qu'en des points isolés. Si f′(x)>0, la fonction est strictement croissante.
💡 À retenir : Le signe de la dérivée commande la monotonie.
Oui, si f est deux fois dérivable, le point d'inflexion est un point où f′′(x) s'annule en changeant de signe. Si f′′(x) s'annule sans changer de signe, ce n'est pas un point d'inflexion.
💡 À retenir : Changement de signe de f′′(x) est obligatoire.
Au point d'abscisse a où f′(a)=0, la tangente est horizontale (parallèle à l'axe des abscisses). La courbe "s'aplatit" à cet endroit précis avant de monter ou descendre.
💡 À retenir : f′(a)=0⟹ tangente horizontale.
Exercice 1
Étudier les variations de la fonction f(x)=x−1x2+1 sur Df=R∖{1}.
Exercice 2
Soit f(x)=x+x2+1. Montrer que la droite y=2x est asymptote à la courbe en +∞.