Mathématiques · 1ère Année Bac — Sciences Mathématiques

Dénombrement

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Principe multiplicatif : Si une expérience se déroule en $k$ étapes, avec $n_1$ choix pour la 1ère, $n_2$ pour la 2ème, ..., $n_k$ pour la $k$ -ième, le nombre total de possibilités est $n_1 \times n_2 \times \dots \times n_k$ .
Arrangements : Le nombre d'arrangements de $p$ éléments parmi $n$ est $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$ .
Permutations : Le nombre de permutations de $n$ éléments est $n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1$ .
Combinaisons : Le nombre de sous-ensembles de $p$ éléments parmi $n$ est $C_n^p = \frac{A_n^p}{p!} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$ .
Propriétés des combinaisons : $C_n^p = C_n^{n-p}$ et $C_n^p = C_{n-1}^p + C_{n-1}^{p-1}$ (Formule de Pascal).

Méthodes à maîtriser

Identifier le type de tirage :
- Simultané $\implies$ Combinaisons ( $C_n^p$ ).
- Successif sans remise $\implies$ Arrangements ( $A_n^p$ ).
- Successif avec remise $\implies$ Puissances ( $n^p$ ).
Utiliser le complémentaire : Si l'énoncé demande "au moins un", calculer $1 - P(\text{aucun})$ .
Dénombrement par cas : Si les conditions sont complexes, diviser en cas disjoints et additionner les résultats.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Tirer 3 boules parmi 10 simultanément. Nombre = $C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ .
Exemple 2 : Former un code de 4 chiffres distincts parmi 10. Nombre = $A_{10}^4 = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$ .

Erreurs fréquentes

Confondre l'ordre : Oublier que dans les combinaisons, l'ordre n'importe pas.
Oublier la remise : Dans les tirages successifs, vérifier si on remet la boule ou non.
Erreur de calcul sur $n!$ : Rappeler que $0! = 1$ .

L'essentiel du cours

Principe multiplicatif : Si une expérience se déroule en $k$ étapes, avec $n_1$ choix pour la 1ère, $n_2$ pour la 2ème, ..., $n_k$ pour la $k$-ième, le nombre total de possibilités est $n_1 \times n_2 \times \dots \times n_k$.
Arrangements : Le nombre d'arrangements de $p$ éléments parmi $n$ est $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$.
Permutations : Le nombre de permutations de $n$ éléments est $n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1$.
Combinaisons : Le nombre de sous-ensembles de $p$ éléments parmi $n$ est $C_n^p = \frac{A_n^p}{p!} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$.
Propriétés des combinaisons : $C_n^p = C_n^{n-p}$ et $C_n^p = C_{n-1}^p + C_{n-1}^{p-1}$ (Formule de Pascal).

Méthodes à maîtriser

Identifier le type de tirage :
- Simultané $\implies$ Combinaisons ($C_n^p$).
- Successif sans remise $\implies$ Arrangements ($A_n^p$).
- Successif avec remise $\implies$ Puissances ($n^p$).
Utiliser le complémentaire : Si l'énoncé demande "au moins un", calculer $1 - P(\text{aucun})$.
Dénombrement par cas : Si les conditions sont complexes, diviser en cas disjoints et additionner les résultats.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Tirer 3 boules parmi 10 simultanément. Nombre = $C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$.
Exemple 2 : Former un code de 4 chiffres distincts parmi 10. Nombre = $A_{10}^4 = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040$.

Erreurs fréquentes

Confondre l'ordre : Oublier que dans les combinaisons, l'ordre n'importe pas.
Oublier la remise : Dans les tirages successifs, vérifier si on remet la boule ou non.
Erreur de calcul sur $n!$ : Rappeler que $0! = 1$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Dénombrement

1/4

Combien de mots de 3 lettres peut-on former avec l'alphabet de 26 lettres (répétition autorisée) ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que Cn^p peut être nul ?

Oui, si $p > n$ , alors $C_n^p = 0$ car on ne peut pas choisir plus d'éléments qu'il n'en existe dans l'ensemble.

💡 À retenir : $C_n^p = 0$ si $p > n$ ou $p < 0$ .

Oui, si $p > n$, alors $C_n^p = 0$ car on ne peut pas choisir plus d'éléments qu'il n'en existe dans l'ensemble.

💡 À retenir : $C_n^p = 0$ si $p > n$ ou $p < 0$.

Kifach n3ref wach nst3mel An^p wla Cn^p f l'examen ?

Chouf wach l'ordre mhm (wach l'emplacement kayswi chi 7aja).
Ila kan l'ordre mhm, st3mel $A_n^p$ .
Ila kan l'ordre makayhmch (b7al ila kntiraw lkorat f d9a w7da), st3mel $C_n^p$ .

💡 À retenir : Ordre = Arrangement ; Groupe = Combinaison.

Chouf wach l'ordre mhm (wach l'emplacement kayswi chi 7aja).
Ila kan l'ordre mhm, st3mel $A_n^p$.
Ila kan l'ordre makayhmch (b7al ila kntiraw lkorat f d9a w7da), st3mel $C_n^p$.

💡 À retenir : Ordre = Arrangement ; Groupe = Combinaison.

Pourquoi 0! = 1 ?

Par convention mathématique, pour que la formule $n! = n \times (n-1)!$ reste vraie pour $n=1$ , on doit avoir $1! = 1 \times 0!$ , donc $0!$ doit être égal à 1.

💡 À retenir : $0! = 1$ est une définition nécessaire pour la cohérence des formules.

Par convention mathématique, pour que la formule $n! = n \times (n-1)!$ reste vraie pour $n=1$, on doit avoir $1! = 1 \times 0!$, donc $0!$ doit être égal à 1.

💡 À retenir : $0! = 1$ est une définition nécessaire pour la cohérence des formules.

Chno hiya lfar9 bin tirage simultané w tirage successif sans remise ?

Mathématiquement, le nombre de résultats est le même ( $C_n^p$ pour simultané et $A_n^p$ pour successif sans remise si on divise par $p!$ ). En pratique, le simultané ignore l'ordre, alors que le successif sans remise le prend en compte.

💡 À retenir : Le résultat numérique est identique si on traite le tirage successif sans remise comme un ensemble non ordonné.

Mathématiquement, le nombre de résultats est le même ($C_n^p$ pour simultané et $A_n^p$ pour successif sans remise si on divise par $p!$). En pratique, le simultané ignore l'ordre, alors que le successif sans remise le prend en compte.

💡 À retenir : Le résultat numérique est identique si on traite le tirage successif sans remise comme un ensemble non ordonné.

Kifach n7seb Cn^p ila kan n kbir bzaf ?

Utilise la calculatrice scientifique avec la touche $nCr$ . Si tu dois le faire à la main, simplifie la fraction avant de multiplier.

💡 À retenir : Utilise toujours $C_n^p = C_n^{n-p}$ pour réduire $p$ si $p > n/2$ .

Utilise la calculatrice scientifique avec la touche $nCr$. Si tu dois le faire à la main, simplifie la fraction avant de multiplier.

💡 À retenir : Utilise toujours $C_n^p = C_n^{n-p}$ pour réduire $p$ si $p > n/2$.

Est-ce que le principe multiplicatif s'applique toujours ?

Oui, à condition que les choix à chaque étape soient indépendants et que le nombre de choix à une étape ne dépende pas du choix précédent.

💡 À retenir : Si le nombre de choix dépend du précédent, il faut diviser en cas.

Comment dénombrer des anagrammes d'un mot avec des lettres répétées ?

On utilise les permutations avec répétition : $\frac{n!}{n_1! n_2! \dots n_k!}$ où $n$ est le nombre total de lettres et $n_i$ le nombre d'occurrences de chaque lettre.

💡 À retenir : Diviser par la factorielle des répétitions pour éliminer les doublons.

On utilise les permutations avec répétition : $\frac{n!}{n_1! n_2! \dots n_k!}$ où $n$ est le nombre total de lettres et $n_i$ le nombre d'occurrences de chaque lettre.

💡 À retenir : Diviser par la factorielle des répétitions pour éliminer les doublons.

Est-ce que je peux utiliser le triangle de Pascal pour calculer Cn^p ?

Oui, c'est utile pour les petites valeurs de $n$ , mais pour le bac, la formule factorielle est plus rapide.

💡 À retenir : La formule $C_n^p = \frac{n!}{p!(n-p)!}$ est la plus universelle.

Oui, c'est utile pour les petites valeurs de $n$, mais pour le bac, la formule factorielle est plus rapide.

💡 À retenir : La formule $C_n^p = \frac{n!}{p!(n-p)!}$ est la plus universelle.

Wach l'ordre dyal l'exercice f l'examen kaytlb n7seb l'univers lwl ?

Oui, c'est une bonne pratique de commencer par calculer le cardinal de l'univers $\Omega$ (le nombre total de tirages possibles).

💡 À retenir : Toujours définir l'univers avant de calculer les probabilités ou les dénombrements.

Oui, c'est une bonne pratique de commencer par calculer le cardinal de l'univers $\Omega$ (le nombre total de tirages possibles).

💡 À retenir : Toujours définir l'univers avant de calculer les probabilités ou les dénombrements.

Pourquoi on dit "tirage avec remise" ?

Cela signifie que chaque élément tiré est remis dans l'ensemble avant le tirage suivant, donc le nombre de choix reste constant à chaque étape.

💡 À retenir : Avec remise = puissance ( $n^p$ ).

Cela signifie que chaque élément tiré est remis dans l'ensemble avant le tirage suivant, donc le nombre de choix reste constant à chaque étape.

💡 À retenir : Avec remise = puissance ($n^p$).

Est-ce que Cn^p est toujours un entier ?

Oui, car $C_n^p$ représente un nombre d'objets (un cardinal), il ne peut pas être fractionnaire.

💡 À retenir : Si tu trouves une fraction, tu as fait une erreur de calcul.

Oui, car $C_n^p$ représente un nombre d'objets (un cardinal), il ne peut pas être fractionnaire.

💡 À retenir : Si tu trouves une fraction, tu as fait une erreur de calcul.

Comment gérer la condition "au moins un" ?

La méthode la plus simple est de calculer le complémentaire : "au moins un" = "total" - "aucun".

💡 À retenir : Le complémentaire simplifie énormément les calculs.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une classe de 20 élèves (12 filles, 8 garçons). On veut former un comité de 4 personnes.

Combien de comités possibles ?
Combien de comités avec exactement 2 filles et 2 garçons ?
Combien de comités avec au moins 3 filles ?

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Un sac contient 8 boules : 5 rouges et 3 bleues. On tire simultanément 3 boules.

Combien y a-t-il de tirages possibles ?
Combien de tirages contiennent exactement 2 boules rouges ?
Combien de tirages contiennent au moins une boule rouge ?

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Exercice 3

On veut former un code de 4 chiffres en utilisant les chiffres {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Combien de codes possibles si les chiffres peuvent être répétés ?
Combien de codes possibles si les chiffres doivent être distincts ?
Combien de codes commencent par 1 et finissent par 9 (chiffres distincts) ?

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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