Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.
📘 Fiche de cours
L'essentiel du cours
Le barycentre d'un système pondéré ${(A_i, \alpha_i)}{i=1..n}$ est l'unique point $G$ tel que $\sum{i=1}^n \alpha_i \overrightarrow{GA_i} = \vec{0}$, avec $\sum \alpha_i \neq 0$.
Pour deux points $(A, \alpha)$ et $(B, \beta)$, $G$ est défini par $\overrightarrow{AG} = \frac{\beta}{\alpha+\beta} \overrightarrow{AB}$.
Les coordonnées de $G$ sont : $x_G = \frac{\sum \alpha_i x_i}{\sum \alpha_i}$ et $y_G = \frac{\sum \alpha_i y_i}{\sum \alpha_i}$.
Méthodes à maîtriser
Construction géométrique : Utiliser la relation vectorielle pour placer $G$ sur le segment $[AB]$.
Calcul des coordonnées : Appliquer directement les formules analytiques.
Associativité : Remplacer deux points par leur barycentre partiel pour simplifier un système à 3 points.
Preuve d'alignement : Montrer que $G$ est le barycentre de deux points pour prouver qu'il appartient à la droite passant par ces points.
Exemples corrigés
Exemple 1 : $G = bar{(A, 1), (B, 3)}$. Alors $\overrightarrow{AG} = \frac{3}{1+3} \overrightarrow{AB} = \frac{3}{4} \overrightarrow{AB}$.
Exemple 2 : $A(1, 2)$ et $B(3, 0)$. $G = bar{(A, 1), (B, 1)}$. $x_G = \frac{1+3}{2} = 2$ et $y_G = \frac{2+0}{2} = 1$. Donc $G(2, 1)$.
Erreurs fréquentes
Oublier la condition $\sum \alpha_i \neq 0$.
Confondre $\overrightarrow{AG}$ et $\overrightarrow{GA}$ dans la formule.
Se tromper dans le signe des coefficients.
🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR
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Est-ce que le barycentre change si on multiplie tous les coefficients par un même nombre k neq 0 ?
Non, le barycentre reste inchangé. Si $G$ est le barycentre de ${(A_i, \alpha_i)}$, alors pour tout $k \neq 0$, $G$ est aussi le barycentre de ${(A_i, k\alpha_i)}$.
💡 À retenir : Les coefficients peuvent être multipliés par une constante non nulle sans modifier le point $G$.
Kifach n7seb l-barycentre ila 3ndi 3 dyal no9at?
Pour 3 points $A, B, C$ avec des coefficients $\alpha, \beta, \gamma$ :
Calcule la somme $S = \alpha + \beta + \gamma$.
Si $S \neq 0$, utilise la formule : $\overrightarrow{OG} = \frac{\alpha \overrightarrow{OA} + \beta \overrightarrow{OB} + \gamma \overrightarrow{OC}}{\alpha + \beta + \gamma}$.
Ou utilise l'associativité : remplace $(A, \alpha)$ et $(B, \beta)$ par $(I, \alpha+\beta)$ où $I$ est leur barycentre.
💡 À retenir : La méthode des coordonnées est souvent la plus rapide pour 3 points.
Est-ce que le barycentre de deux points est toujours situé entre eux ?
Oui, si les coefficients $\alpha$ et $\beta$ sont de même signe, le barycentre est situé sur le segment $[AB]$. Si les signes sont opposés, il est à l'extérieur du segment.
💡 À retenir : Même signe = intérieur ; Signes contraires = extérieur.
Chno hiya l-fayda dyal l-barycentre f-l-handasa?
Il sert principalement à :
Démontrer que des points sont alignés.
Démontrer que des droites sont concourantes.
Simplifier des expressions vectorielles complexes (réduction de sommes).
💡 À retenir : C'est un outil puissant pour transformer des égalités vectorielles.
Que se passe-t-il si la somme des coefficients est nulle ?
Si $\sum \alpha_i = 0$, le système n'admet pas de barycentre. Le vecteur $\sum \alpha_i \overrightarrow{MA_i}$ devient indépendant du point $M$ (c'est un vecteur constant).
💡 À retenir : Pas de barycentre si la somme des poids est nulle.
Kifach n-biyen bli 3 dyal no9at moustawiya (alignées) b-l-barycentre?
Il suffit de montrer que l'un des points est le barycentre des deux autres. Par exemple, si tu montres que $B = bar{(A, 1), (C, 2)}$, alors $A, B, C$ sont alignés.
💡 À retenir : Si $B$ est barycentre de $A$ et $C$, alors $B \in (AC)$.
Peut-on avoir des coefficients négatifs ?
Oui, tout à fait. La seule condition est que leur somme soit non nulle.
💡 À retenir : Les coefficients peuvent être n'importe quel réel, sauf si leur somme est nulle.
Le barycentre dépend-il du repère choisi ?
Non, la position du barycentre est une propriété géométrique intrinsèque. Les coordonnées changent avec le repère, mais le point $G$ reste le même.
💡 À retenir : Le barycentre est un objet géométrique, pas juste une formule de calcul.
Comment trouver le barycentre de 4 points ?
On utilise l'associativité. On regroupe les points deux par deux, on trouve leurs barycentres partiels, puis on cherche le barycentre de ces deux nouveaux points.
💡 À retenir : Procéder par étapes successives.
Est-ce que le milieu d'un segment est un barycentre ?
Oui, le milieu $I$ de $[AB]$ est le barycentre de ${(A, 1), (B, 1)}$.
💡 À retenir : Le milieu est l'isobarycentre de deux points.
Pourquoi on utilise souvent des coefficients entiers ?
Pour simplifier les calculs et éviter les fractions complexes, mais ce n'est pas une obligation.
💡 À retenir : On peut multiplier les coefficients par n'importe quel nombre pour les rendre plus simples.
Est-ce que le barycentre est toujours unique ?
Oui, si la somme des coefficients est non nulle, le barycentre est unique.
💡 À retenir : Unicité garantie par la définition vectorielle.
✍️ Exercices type examen national
Exercice 1
Soient $A$ et $B$ deux points du plan. Soit $G$ le barycentre de ${(A, 2), (B, 1)}$.
Exprimer $\overrightarrow{AG}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$.
Soit $M$ un point quelconque du plan. Montrer que $2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 3\overrightarrow{MG}$.
Le barycentre d'un système pondéré {(Ai,αi)}i=1..n est l'unique point G tel que ∑i=1nαiGAi=0, avec ∑αi=0.
Pour deux points (A,α) et (B,β), G est défini par AG=α+ββAB.
Les coordonnées de G sont : xG=∑αi∑αixi et yG=∑αi∑αiyi.
Méthodes à maîtriser
Construction géométrique : Utiliser la relation vectorielle pour placer G sur le segment [AB].
Calcul des coordonnées : Appliquer directement les formules analytiques.
Associativité : Remplacer deux points par leur barycentre partiel pour simplifier un système à 3 points.
Preuve d'alignement : Montrer que G est le barycentre de deux points pour prouver qu'il appartient à la droite passant par ces points.
Exemples corrigés
Exemple 1 : G=bar{(A,1),(B,3)}. Alors AG=1+33AB=43AB.
Exemple 2 : A(1,2) et B(3,0). G=bar{(A,1),(B,1)}. xG=21+3=2 et yG=22+0=1. Donc G(2,1).
Erreurs fréquentes
Oublier la condition ∑αi=0.
Confondre AG et GA dans la formule.
Se tromper dans le signe des coefficients.
Le barycentre de {(A,1),(B,1)} est :
Le milieu de [AB]
Non, le barycentre reste inchangé. Si G est le barycentre de {(Ai,αi)}, alors pour tout k=0, G est aussi le barycentre de {(Ai,kαi)}.
💡 À retenir : Les coefficients peuvent être multipliés par une constante non nulle sans modifier le point G.
Pour 3 points A,B,C avec des coefficients α,β,γ :
Calcule la somme S=α+β+γ.
Si S=0, utilise la formule : OG=α+β+γαOA+βOB+γOC.
Ou utilise l'associativité : remplace (A,α) et (B,β) par (I,α+β) où I est leur barycentre.
💡 À retenir : La méthode des coordonnées est souvent la plus rapide pour 3 points.
Oui, si les coefficients α et β sont de même signe, le barycentre est situé sur le segment [AB]. Si les signes sont opposés, il est à l'extérieur du segment.
💡 À retenir : Même signe = intérieur ; Signes contraires = extérieur.
Si ∑αi=0, le système n'admet pas de barycentre. Le vecteur ∑αiMAi devient indépendant du point M (c'est un vecteur constant).
💡 À retenir : Pas de barycentre si la somme des poids est nulle.
Il suffit de montrer que l'un des points est le barycentre des deux autres. Par exemple, si tu montres que B=bar{(A,1),(C,2)}, alors A,B,C sont alignés.
💡 À retenir : Si B est barycentre de A et C, alors B∈(AC).
Non, la position du barycentre est une propriété géométrique intrinsèque. Les coordonnées changent avec le repère, mais le point G reste le même.
💡 À retenir : Le barycentre est un objet géométrique, pas juste une formule de calcul.
Oui, le milieu I de [AB] est le barycentre de {(A,1),(B,1)}.
💡 À retenir : Le milieu est l'isobarycentre de deux points.
Exercice 1
Soient A et B deux points du plan. Soit G le barycentre de {(A,2),(B,1)}.
Exprimer AG en fonction de AB.
Soit M un point quelconque du plan. Montrer que 2MA+MB=3MG.
Exercice 2
Soit ABC un triangle. Soit G le barycentre de {(A,1),(B,1),(C,1)}.
Montrer que AG=31(AB+AC).
En déduire que G est le centre de gravité du triangle ABC.
Exercice 3
Dans un repère orthonormé, on donne A(1,2), B(3,0) et C(0,4). Soit G=bar{(A,1),(B,−1),(C,2)}.
Calculer les coordonnées de G.
Montrer que G appartient à la droite (BC) ? Non, vérifier la position de G.