Mathématiques · 1ère Année Bac — Sciences Mathématiques

Les suites numériques

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Définition : Une suite $(u_n)_{n \in I}$ est une fonction définie sur une partie de $\mathbb{N}$ .
Suites arithmétiques : $u_{n+1} = u_n + r$ . Terme général : $u_n = u_p + (n-p)r$ .
Suites géométriques : $u_{n+1} = u_n \times q$ . Terme général : $u_n = u_p \times q^{n-p}$ .
Monotonie : Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ .
Convergence : Une suite est convergente si $\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell \in \mathbb{R}$ .
Théorème de convergence monotone : Toute suite croissante et majorée est convergente.

Méthodes à maîtriser

Raisonnement par récurrence : Initialisation, Hérédité, Conclusion.
Étude de la monotonie : Calculer $u_{n+1} - u_n$ ou comparer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1 (si $u_n > 0$ ).
Suites adjacentes : Vérifier que l'une est croissante, l'autre décroissante et que $\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = 0$ .

Exemples corrigés

Récurrence : Montrer que $u_n \geq 1$ pour $u_{n+1} = \sqrt{u_n+2}$ . Initialisation : $u_0 \geq 1$ (vrai). Hérédité : Supposons $u_n \geq 1$ , alors $u_n+2 \geq 3$ , donc $\sqrt{u_n+2} \geq \sqrt{3} > 1$ .
Limite : $\lim_{n \to +\infty} \frac{2n+1}{n+3} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n(2+1/n)}{n(1+3/n)} = 2$ .

Erreurs fréquentes

Oublier l'initialisation dans la récurrence.
Confondre $u_{n+1} = u_n + r$ avec $u_n = u_0 + nr$ (attention à l'indice).
Affirmer qu'une suite est convergente juste parce qu'elle est majorée (il faut aussi qu'elle soit croissante).

L'essentiel du cours

Définition : Une suite $(u_n)_{n \in I}$ est une fonction définie sur une partie de $\mathbb{N}$.
Suites arithmétiques : $u_{n+1} = u_n + r$. Terme général : $u_n = u_p + (n-p)r$.
Suites géométriques : $u_{n+1} = u_n \times q$. Terme général : $u_n = u_p \times q^{n-p}$.
Monotonie : Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$.
Convergence : Une suite est convergente si $\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell \in \mathbb{R}$.
Théorème de convergence monotone : Toute suite croissante et majorée est convergente.

Méthodes à maîtriser

Raisonnement par récurrence : Initialisation, Hérédité, Conclusion.
Étude de la monotonie : Calculer $u_{n+1} - u_n$ ou comparer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1 (si $u_n > 0$).
Suites adjacentes : Vérifier que l'une est croissante, l'autre décroissante et que $\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = 0$.

Exemples corrigés

Récurrence : Montrer que $u_n \geq 1$ pour $u_{n+1} = \sqrt{u_n+2}$. Initialisation : $u_0 \geq 1$ (vrai). Hérédité : Supposons $u_n \geq 1$, alors $u_n+2 \geq 3$, donc $\sqrt{u_n+2} \geq \sqrt{3} > 1$.
Limite : $\lim_{n \to +\infty} \frac{2n+1}{n+3} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n(2+1/n)}{n(1+3/n)} = 2$.

Erreurs fréquentes

Oublier l'initialisation dans la récurrence.
Confondre $u_{n+1} = u_n + r$ avec $u_n = u_0 + nr$ (attention à l'indice).
Affirmer qu'une suite est convergente juste parce qu'elle est majorée (il faut aussi qu'elle soit croissante).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Les suites numériques

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La suite $u_n = (-1)^n$ est :

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si une suite est arithmétique ou géométrique ?

Pour une suite arithmétique, calcule $u_{n+1} - u_n$ . Si le résultat est une constante $r$ indépendante de $n$ , elle est arithmétique.
Pour une suite géométrique, calcule $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ (si $u_n \neq 0$ ). Si le résultat est une constante $q$ , elle est géométrique.

💡 À retenir : La différence constante définit l'arithmétique, le quotient constant définit la géométrique.

Pour une suite arithmétique, calcule $u_{n+1} - u_n$. Si le résultat est une constante $r$ indépendante de $n$, elle est arithmétique.
Pour une suite géométrique, calcule $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ (si $u_n \neq 0$). Si le résultat est une constante $q$, elle est géométrique.

💡 À retenir : La différence constante définit l'arithmétique, le quotient constant définit la géométrique.

Kifach n7seb l-7ad l-3am dyal suite li 3ndha u{n+1} = a un + b ?

Cherche le point fixe $L$ tel que $L = aL + b$ .
Pose $v_n = u_n - L$ .
Montre que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $a$ .
Écris $v_n = v_0 \times a^n$ , puis déduis $u_n = v_n + L$ .

💡 À retenir : On se ramène toujours à une suite géométrique par un changement de variable.

Cherche le point fixe $L$ tel que $L = aL + b$.
Pose $v_n = u_n - L$.
Montre que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $a$.
Écris $v_n = v_0 \times a^n$, puis déduis $u_n = v_n + L$.

💡 À retenir : On se ramène toujours à une suite géométrique par un changement de variable.

Est-ce qu'une suite bornée est forcément convergente ?

Non. Exemple : $u_n = (-1)^n$ . Elle est bornée entre -1 et 1, mais elle n'a pas de limite car elle oscille.

💡 À retenir : Être bornée est une condition nécessaire mais pas suffisante pour la convergence.

Non. Exemple : $u_n = (-1)^n$. Elle est bornée entre -1 et 1, mais elle n'a pas de limite car elle oscille.

💡 À retenir : Être bornée est une condition nécessaire mais pas suffisante pour la convergence.

Chno hiya l-far9 bin suite majorée w suite convergente ?

Une suite majorée signifie qu'il existe un nombre $M$ tel que $u_n \leq M$ pour tout $n$ .
Une suite convergente signifie que ses termes se rapprochent d'une valeur précise quand $n$ devient très grand.

💡 À retenir : Une suite peut être majorée sans converger, mais une suite croissante et majorée converge obligatoirement.

Une suite majorée signifie qu'il existe un nombre $M$ tel que $u_n \leq M$ pour tout $n$.
Une suite convergente signifie que ses termes se rapprochent d'une valeur précise quand $n$ devient très grand.

💡 À retenir : Une suite peut être majorée sans converger, mais une suite croissante et majorée converge obligatoirement.

Comment démontrer qu'une suite est croissante ?

Calcule la différence $D = u_{n+1} - u_n$ .
Étudie le signe de $D$ .
Si $D \geq 0$ pour tout $n$ , alors la suite est croissante.

💡 À retenir : Le signe de la différence est l'outil principal pour la monotonie.

Calcule la différence $D = u_{n+1} - u_n$.
Étudie le signe de $D$.
Si $D \geq 0$ pour tout $n$, alors la suite est croissante.

💡 À retenir : Le signe de la différence est l'outil principal pour la monotonie.

Kifach n-biyen bli jouj suites m-t-jawi-ratin (adjacentes) ?

Montre que la première est croissante et la deuxième est décroissante.
Calcule la limite de leur différence : $\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = 0$ .

💡 À retenir : Si ces deux conditions sont réunies, elles convergent vers la même limite.

Montre que la première est croissante et la deuxième est décroissante.
Calcule la limite de leur différence : $\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = 0$.

💡 À retenir : Si ces deux conditions sont réunies, elles convergent vers la même limite.

Peut-on utiliser la calculatrice pour trouver la limite ?

La calculatrice aide à conjecturer (deviner) la limite, mais elle ne remplace jamais la démonstration mathématique exigée au bac.

💡 À retenir : Utilise la calculatrice pour vérifier tes résultats, pas pour justifier.

Pourquoi on utilise la récurrence ?

On l'utilise pour démontrer une propriété qui dépend d'un entier naturel $n$ , quand on ne peut pas calculer directement le terme général.

💡 À retenir : La récurrence est l'outil indispensable pour les suites définies par récurrence ( $u_{n+1} = f(u_n)$ ).

On l'utilise pour démontrer une propriété qui dépend d'un entier naturel $n$, quand on ne peut pas calculer directement le terme général.

💡 À retenir : La récurrence est l'outil indispensable pour les suites définies par récurrence ($u_{n+1} = f(u_n)$).

Est-ce que un to ell implique u{n+1} to ell ?

Oui, si la suite converge vers $\ell$ , alors tout décalage d'indice converge aussi vers $\ell$ .

💡 À retenir : $\lim_{n \to +\infty} u_{n+1} = \lim_{n \to +\infty} u_n$ .

Oui, si la suite converge vers $\ell$, alors tout décalage d'indice converge aussi vers $\ell$.

💡 À retenir : $\lim_{n \to +\infty} u_{n+1} = \lim_{n \to +\infty} u_n$.

Comment calculer la somme des termes d'une suite ?

Si arithmétique : $S = \frac{\text{nombre de termes}}{2} \times (\text{premier} + \text{dernier})$ .
Si géométrique : $S = \text{premier} \times \frac{1 - \text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1 - \text{raison}}$ .

💡 À retenir : Le nombre de termes est (dernier indice - premier indice + 1).

Si arithmétique : $S = \frac{\text{nombre de termes}}{2} \times (\text{premier} + \text{dernier})$.
Si géométrique : $S = \text{premier} \times \frac{1 - \text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1 - \text{raison}}$.

💡 À retenir : Le nombre de termes est (dernier indice - premier indice + 1).

Est-ce qu'une suite décroissante et minorée converge ?

Oui, c'est le théorème de convergence monotone. Toute suite décroissante et minorée admet une limite finie.

💡 À retenir : C'est le symétrique du théorème pour les suites croissantes et majorées.

Chno ndir ila t-lft f l-b-r-han b t-t-r-jou3 ?

Vérifie bien l'initialisation pour le premier rang (souvent $n=0$ ou $n=1$ ).
Vérifie l'hypothèse de récurrence : est-ce que tu l'as bien utilisée dans l'hérédité ?

💡 À retenir : L'hérédité doit obligatoirement utiliser l'hypothèse de récurrence.

Vérifie bien l'initialisation pour le premier rang (souvent $n=0$ ou $n=1$).
Vérifie l'hypothèse de récurrence : est-ce que tu l'as bien utilisée dans l'hérédité ?