Mathématiques · 1ère Année Bac — Sciences Mathématiques

La rotation dans le plan

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

La rotation $R$ de centre $\Omega$ et d'angle $\alpha$ est l'application du plan dans lui-même qui à tout point $M$ associe le point $M'$ tel que :

$\Omega M = \Omega M'$
$(\vec{\Omega M}, \vec{\Omega M'}) \equiv \alpha \pmod{2\pi}$ Si $M = \Omega$ , alors $M' = \Omega$ . En notation complexe, si $z, z', \omega$ sont les affixes respectives de $M, M', \Omega$ , alors : $z' - \omega = e^{i\alpha}(z - \omega)$

Méthodes à maîtriser

Déterminer l'image d'un point par une rotation donnée.
Déterminer la nature et les éléments caractéristiques d'une transformation donnée par son écriture complexe $z' = az + b$ .
Utiliser la rotation pour démontrer des propriétés géométriques (isocèles, équilatéral, alignement).
Composer deux rotations (le résultat est une rotation ou une translation).

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $R$ de centre $O$ et d'angle $\pi/2$ . Image de $A(1,0)$ ? $z_A = 1$ . $z' = e^{i\pi/2}(1 - 0) + 0 = i(1) = i$ . Donc $A'(0,1)$ . Exemple 2 : Nature de $z' = iz + 1 - i$ . C'est une rotation car $|i|=1$ . Centre : $z = iz + 1 - i \Rightarrow z(1-i) = 1-i \Rightarrow z=1$ . Angle : $\arg(i) = \pi/2$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le modulo $2\pi$ dans la mesure de l'angle.
Confondre le sens direct et indirect (le signe de $\alpha$ ).
Ne pas vérifier que le module du coefficient $a$ est égal à $1$ avant de conclure qu'il s'agit d'une rotation.

L'essentiel du cours

La rotation $R$ de centre $\Omega$ et d'angle $\alpha$ est l'application du plan dans lui-même qui à tout point $M$ associe le point $M'$ tel que :

$\Omega M = \Omega M'$
$(\vec{\Omega M}, \vec{\Omega M'}) \equiv \alpha \pmod{2\pi}$ Si $M = \Omega$, alors $M' = \Omega$. En notation complexe, si $z, z', \omega$ sont les affixes respectives de $M, M', \Omega$, alors : $z' - \omega = e^{i\alpha}(z - \omega)$

Méthodes à maîtriser

Déterminer l'image d'un point par une rotation donnée.
Déterminer la nature et les éléments caractéristiques d'une transformation donnée par son écriture complexe $z' = az + b$.
Utiliser la rotation pour démontrer des propriétés géométriques (isocèles, équilatéral, alignement).
Composer deux rotations (le résultat est une rotation ou une translation).

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $R$ de centre $O$ et d'angle $\pi/2$. Image de $A(1,0)$ ? $z_A = 1$. $z' = e^{i\pi/2}(1 - 0) + 0 = i(1) = i$. Donc $A'(0,1)$. Exemple 2 : Nature de $z' = iz + 1 - i$. C'est une rotation car $|i|=1$. Centre : $z = iz + 1 - i \Rightarrow z(1-i) = 1-i \Rightarrow z=1$. Angle : $\arg(i) = \pi/2$.

Erreurs fréquentes

Oublier le modulo $2\pi$ dans la mesure de l'angle.
Confondre le sens direct et indirect (le signe de $\alpha$).
Ne pas vérifier que le module du coefficient $a$ est égal à $1$ avant de conclure qu'il s'agit d'une rotation.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 La rotation dans le plan

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L'écriture complexe $z' = z + 1 + i$ représente :

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si une transformation est une rotation ?

Pour une transformation définie par $z' = az + b$ :

Si $a = 1$ , c'est une translation.
Si $a \neq 1$ et $|a| = 1$ , c'est une rotation.
Si $|a| \neq 1$ , ce n'est pas une rotation (c'est une similitude).

💡 À retenir : Le module du coefficient devant $z$ doit être strictement égal à 1.

Pour une transformation définie par $z' = az + b$ :

Si $a = 1$, c'est une translation.
Si $a \neq 1$ et $|a| = 1$, c'est une rotation.
Si $|a| \neq 1$, ce n'est pas une rotation (c'est une similitude).

💡 À retenir : Le module du coefficient devant $z$ doit être strictement égal à 1.

kifach n7seb l'angle dyal dawaran ila 3touni l'écriture complexe ?

L'écriture complexe est sous la forme $z' = az + b$ .
Le coefficient $a$ est un nombre complexe de module 1.
L'angle $\alpha$ est l'argument de $a$ , soit $\alpha \equiv \arg(a) \pmod{2\pi}$ .

💡 À retenir : $\alpha = \arg(a)$ .

L'écriture complexe est sous la forme $z' = az + b$.
Le coefficient $a$ est un nombre complexe de module 1.
L'angle $\alpha$ est l'argument de $a$, soit $\alpha \equiv \arg(a) \pmod{2\pi}$.

💡 À retenir : $\alpha = \arg(a)$.

Est-ce que la rotation conserve les distances ?

Oui, la rotation est une isométrie. Cela signifie que pour tous points $M$ et $N$ d'images $M'$ et $N'$ , on a $M'N' = MN$ .

💡 À retenir : La rotation préserve les longueurs et les angles orientés.

Oui, la rotation est une isométrie. Cela signifie que pour tous points $M$ et $N$ d'images $M'$ et $N'$, on a $M'N' = MN$.

💡 À retenir : La rotation préserve les longueurs et les angles orientés.

chno hiya l3ala9a bin l'angle dyal dawaran w l'angle dyal l'image ?

Si $R$ est une rotation d'angle $\alpha$ , alors pour tout segment $[AB]$ d'image $[A'B']$ , l'angle entre les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{A'B'}$ est égal à $\alpha$ .

💡 À retenir : $(\vec{AB}, \vec{A'B'}) \equiv \alpha \pmod{2\pi}$ .

Si $R$ est une rotation d'angle $\alpha$, alors pour tout segment $[AB]$ d'image $[A'B']$, l'angle entre les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{A'B'}$ est égal à $\alpha$.

💡 À retenir : $(\vec{AB}, \vec{A'B'}) \equiv \alpha \pmod{2\pi}$.

Comment trouver le centre d'une rotation si on connaît l'angle et un point avec son image ?

Soit $\Omega$ le centre d'affixe $\omega$ . On a $z' - \omega = e^{i\alpha}(z - \omega)$ .
Isolez $\omega$ : $\omega(1 - e^{i\alpha}) = z' - e^{i\alpha}z$ .
Calculez $\omega = \frac{z' - e^{i\alpha}z}{1 - e^{i\alpha}}$ .

💡 À retenir : Le centre est le point invariant par la rotation.

Soit $\Omega$ le centre d'affixe $\omega$. On a $z' - \omega = e^{i\alpha}(z - \omega)$.
Isolez $\omega$ : $\omega(1 - e^{i\alpha}) = z' - e^{i\alpha}z$.
Calculez $\omega = \frac{z' - e^{i\alpha}z}{1 - e^{i\alpha}}$.

💡 À retenir : Le centre est le point invariant par la rotation.

wach l'image dyal triangle b dawaran kyb9a nafss l'aire ?

Oui, car la rotation est une isométrie. Elle conserve les distances, donc elle conserve les périmètres et les aires des figures géométriques.

💡 À retenir : Une rotation ne déforme pas la figure.

kifach n7seb soura dyal no9ta b dawaran ila 3touni l'angle b darajat (degrés) ?

Il faut convertir les degrés en radians : $\alpha_{rad} = \alpha_{deg} \times \frac{\pi}{180}$ .
Utilisez la formule $z' = e^{i\alpha}(z - \omega) + \omega$ .

💡 À retenir : Toujours travailler en radians dans les formules complexes.

Il faut convertir les degrés en radians : $\alpha_{rad} = \alpha_{deg} \times \frac{\pi}{180}$.
Utilisez la formule $z' = e^{i\alpha}(z - \omega) + \omega$.

💡 À retenir : Toujours travailler en radians dans les formules complexes.

Est-ce que la composée de deux rotations est toujours une rotation ?

Pas forcément. Si la somme des angles est un multiple de $2\pi$ , la composée peut être une translation. Sinon, c'est bien une rotation.

💡 À retenir : La composée de deux rotations est une rotation ou une translation.

Pas forcément. Si la somme des angles est un multiple de $2\pi$, la composée peut être une translation. Sinon, c'est bien une rotation.

💡 À retenir : La composée de deux rotations est une rotation ou une translation.

Qu'est-ce qu'un point invariant ?

C'est un point $M$ tel que son image $M'$ est identique à $M$ . Pour une rotation, le seul point invariant est le centre $\Omega$ .

💡 À retenir : $R(M) = M \iff M = \Omega$ .

C'est un point $M$ tel que son image $M'$ est identique à $M$. Pour une rotation, le seul point invariant est le centre $\Omega$.

💡 À retenir : $R(M) = M \iff M = \Omega$.

Est-ce que l'ordre dans la composition des rotations est important ?

Oui, la composition des applications n'est pas commutative en général. $R_1 \circ R_2$ n'est pas forcément égal à $R_2 \circ R_1$ .

💡 À retenir : L'ordre compte, sauf cas particuliers.

Oui, la composition des applications n'est pas commutative en général. $R_1 \circ R_2$ n'est pas forcément égal à $R_2 \circ R_1$.

💡 À retenir : L'ordre compte, sauf cas particuliers.

Comment démontrer qu'un triangle est équilatéral avec la rotation ?

Il suffit de montrer que l'un des sommets est l'image d'un autre par une rotation de centre le troisième sommet et d'angle $\pm \pi/3$ .

💡 À retenir : $R(A, \pi/3)(B) = C \implies AB=AC$ et $\widehat{BAC} = 60^\circ$ .

Il suffit de montrer que l'un des sommets est l'image d'un autre par une rotation de centre le troisième sommet et d'angle $\pm \pi/3$.

💡 À retenir : $R(A, \pi/3)(B) = C \implies AB=AC$ et $\widehat{BAC} = 60^\circ$.

wach l'image dyal l'moustakim b dawaran kyb9a moustakim ?

Oui, la rotation transforme une droite en une autre droite. Si la droite passe par le centre, elle est transformée en elle-même (mais les points sont déplacés).

💡 À retenir : La rotation conserve l'alignement.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $R$ la rotation de centre $\Omega(1+i)$ et d'angle $\pi/2$ .

Déterminer l'écriture complexe de $R$ .
Soit $A(2+i)$ . Déterminer l'affixe de $A' = R(A)$ .
Montrer que $\Omega A A'$ est un triangle rectangle isocèle.

Exercice 1

Soit $R$ la rotation de centre $\Omega(1+i)$ et d'angle $\pi/2$.

Déterminer l'écriture complexe de $R$.
Soit $A(2+i)$. Déterminer l'affixe de $A' = R(A)$.
Montrer que $\Omega A A'$ est un triangle rectangle isocèle.

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Exercice 2

Soit $R$ la transformation d'écriture complexe $z' = e^{i2\pi/3}z + 1$ .

Montrer que $R$ est une rotation et préciser ses éléments.
Soit $M$ un point d'affixe $z$ . Montrer que $M, R(M), R(R(M))$ forment un triangle équilatéral.

Exercice 2

Soit $R$ la transformation d'écriture complexe $z' = e^{i2\pi/3}z + 1$.

Montrer que $R$ est une rotation et préciser ses éléments.
Soit $M$ un point d'affixe $z$. Montrer que $M, R(M), R(R(M))$ forment un triangle équilatéral.

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Exercice 3

Soit $ABCD$ un carré direct. Soit $R$ la rotation de centre $A$ et d'angle $\pi/2$ .

Déterminer $R(B)$ et $R(D)$ .
Soit $I$ le milieu de $[BD]$ . Déterminer l'image de $I$ par $R$ .

Exercice 3

Soit $ABCD$ un carré direct. Soit $R$ la rotation de centre $A$ et d'angle $\pi/2$.

Déterminer $R(B)$ et $R(D)$.
Soit $I$ le milieu de $[BD]$. Déterminer l'image de $I$ par $R$.

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