Mathématiques · 1ère Année Bac — Sciences Mathématiques

Calcul trigonométrique

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Cercle trigonométrique : Tout nombre réel $x$ est associé à un point $M$ sur le cercle. L'abscisse curviligne principale appartient à $]-\pi, \pi]$ .
Formules d'addition :
- $\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$
- $\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$
- $\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$
- $\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$
Formules de duplication : $\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$ et $\sin(2a) = 2\sin a \cos a$ .
Transformation de sommes en produits : $\cos p + \cos q = 2\cos\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos\left(\frac{p-q}{2}\right)$ , etc.

Méthodes à maîtriser

Déterminer la mesure principale : Diviser par $2\pi$ et encadrer le reste dans $]-\pi, \pi]$ .
Résoudre des équations : Utiliser le cercle trigonométrique pour visualiser les solutions.
Linéariser : Utiliser les formules d'Euler ou les formules de duplication pour abaisser les puissances.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Résoudre $\cos(x) = \frac{1}{2}$ . Solutions : $x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ ou $x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi$ .
Exemple 2 : Calculer $\cos(\frac{\pi}{12})$ . On utilise $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}$ et la formule de $\cos(a-b)$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le $+ 2k\pi$ dans les solutions des équations.
Confondre les signes dans les formules d'addition.
Ne pas vérifier si la mesure trouvée est bien la mesure principale (appartenance à $]-\pi, \pi]$ ).

L'essentiel du cours

Cercle trigonométrique : Tout nombre réel $x$ est associé à un point $M$ sur le cercle. L'abscisse curviligne principale appartient à $]-\pi, \pi]$.
Formules d'addition :
- $\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$
- $\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$
- $\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$
- $\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$
Formules de duplication : $\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$ et $\sin(2a) = 2\sin a \cos a$.
Transformation de sommes en produits : $\cos p + \cos q = 2\cos\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos\left(\frac{p-q}{2}\right)$, etc.

Méthodes à maîtriser

Déterminer la mesure principale : Diviser par $2\pi$ et encadrer le reste dans $]-\pi, \pi]$.
Résoudre des équations : Utiliser le cercle trigonométrique pour visualiser les solutions.
Linéariser : Utiliser les formules d'Euler ou les formules de duplication pour abaisser les puissances.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Résoudre $\cos(x) = \frac{1}{2}$. Solutions : $x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ ou $x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi$.
Exemple 2 : Calculer $\cos(\frac{\pi}{12})$. On utilise $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}$ et la formule de $\cos(a-b)$.

Erreurs fréquentes

Oublier le $+ 2k\pi$ dans les solutions des équations.
Confondre les signes dans les formules d'addition.
Ne pas vérifier si la mesure trouvée est bien la mesure principale (appartenance à $]-\pi, \pi]$).

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🎯 Calcul trigonométrique

1/4

Quelle est la mesure principale de $13\pi/4$ ?

❓ Questions fréquentes

Comment trouver la mesure principale d'un angle ?

Soit $x$ la mesure donnée. On cherche un entier $k$ tel que $-\pi < x - 2k\pi \leq \pi$ .
On divise $x$ par $2\pi$ pour trouver $k$ .
On calcule $x' = x - 2k\pi$ .

💡 À retenir : La mesure principale est unique et appartient toujours à l'intervalle $]-\pi, \pi]$ .

Soit $x$ la mesure donnée. On cherche un entier $k$ tel que $-\pi < x - 2k\pi \leq \pi$.
On divise $x$ par $2\pi$ pour trouver $k$.
On calcule $x' = x - 2k\pi$.

💡 À retenir : La mesure principale est unique et appartient toujours à l'intervalle $]-\pi, \pi]$.

Kifach n7seb cos(7pi/6) bla ma nst3ml l'calculatrice ?

On cherche la mesure principale : $7\pi/6 = \pi + \pi/6$ .
On utilise les angles associés : $\cos(\pi + \theta) = -\cos(\theta)$ .
Donc $\cos(7\pi/6) = -\cos(\pi/6) = -\sqrt{3}/2$ .

💡 À retenir : Utilise toujours le cercle trigonométrique pour retrouver les relations entre angles associés.

On cherche la mesure principale : $7\pi/6 = \pi + \pi/6$.
On utilise les angles associés : $\cos(\pi + \theta) = -\cos(\theta)$.
Donc $\cos(7\pi/6) = -\cos(\pi/6) = -\sqrt{3}/2$.

💡 À retenir : Utilise toujours le cercle trigonométrique pour retrouver les relations entre angles associés.

Est-ce que les formules de linéarisation sont obligatoires ?

Oui, surtout en Sciences Mathématiques, car elles sont indispensables pour intégrer des fonctions trigonométriques ou étudier des suites.

💡 À retenir : La linéarisation permet de transformer des puissances en sommes, ce qui simplifie énormément les calculs.

Chno hiya l'far9 bin l'angle orienté o l'angle géométrique ?

L'angle géométrique est toujours positif et compris entre 0 et $\pi$ .
L'angle orienté possède un sens (positif ou négatif) et peut être supérieur à $2\pi$ (on parle de mesures).

💡 À retenir : L'angle orienté est défini par un couple de vecteurs, ce qui lui donne une direction.

L'angle géométrique est toujours positif et compris entre 0 et $\pi$.
L'angle orienté possède un sens (positif ou négatif) et peut être supérieur à $2\pi$ (on parle de mesures).

💡 À retenir : L'angle orienté est défini par un couple de vecteurs, ce qui lui donne une direction.

Comment résoudre sin(x) = cos(x) ?

Diviser par $\cos(x)$ (si $\cos(x) \neq 0$ ) pour obtenir $\tan(x) = 1$ .
Résoudre $\tan(x) = 1$ , ce qui donne $x = \pi/4 + k\pi$ .

💡 À retenir : Vérifie toujours si les valeurs qui annulent le cosinus sont solutions ou non.

Diviser par $\cos(x)$ (si $\cos(x) \neq 0$) pour obtenir $\tan(x) = 1$.
Résoudre $\tan(x) = 1$, ce qui donne $x = \pi/4 + k\pi$.

💡 À retenir : Vérifie toujours si les valeurs qui annulent le cosinus sont solutions ou non.

Kifach nkhdem b relation de Chasles f les angles orientés ?

La relation est : $(\vec{u}, \vec{v}) + (\vec{v}, \vec{w}) \equiv (\vec{u}, \vec{w}) [2\pi]$ .
Elle permet de décomposer un angle complexe en angles connus.

💡 À retenir : L'ordre des vecteurs est crucial pour le signe de l'angle.

La relation est : $(\vec{u}, \vec{v}) + (\vec{v}, \vec{w}) \equiv (\vec{u}, \vec{w}) [2\pi]$.
Elle permet de décomposer un angle complexe en angles connus.

💡 À retenir : L'ordre des vecteurs est crucial pour le signe de l'angle.

Pourquoi on utilise 2kpi ?

Parce que les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période $2\pi$ . Cela signifie que le point sur le cercle revient à la même position après chaque tour complet.

💡 À retenir : $k$ est un entier relatif ( $k \in \mathbb{Z}$ ).

Parce que les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période $2\pi$. Cela signifie que le point sur le cercle revient à la même position après chaque tour complet.

💡 À retenir : $k$ est un entier relatif ($k \in \mathbb{Z}$).

Comment linéariser cos^2(x) ?

Utiliser la formule $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$ .
Isoler $\cos^2(x)$ : $\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$ .

💡 À retenir : La linéarisation est l'inverse de la duplication.

Utiliser la formule $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$.
Isoler $\cos^2(x)$ : $\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$.

💡 À retenir : La linéarisation est l'inverse de la duplication.

Est-ce que tan(x) est définie pour tout x ?

Non, $\tan(x) = \sin(x)/\cos(x)$ n'est définie que si $\cos(x) \neq 0$ , c'est-à-dire $x \neq \pi/2 + k\pi$ .

💡 À retenir : Toujours préciser le domaine de définition avant de résoudre une équation avec tangente.

Non, $\tan(x) = \sin(x)/\cos(x)$ n'est définie que si $\cos(x) \neq 0$, c'est-à-dire $x \neq \pi/2 + k\pi$.

💡 À retenir : Toujours préciser le domaine de définition avant de résoudre une équation avec tangente.

Comment simplifier sin(x + pi/2) ?

Utiliser la formule $\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$ .
$\sin(x + \pi/2) = \sin(x)\cos(\pi/2) + \cos(x)\sin(\pi/2) = \sin(x) \cdot 0 + \cos(x) \cdot 1 = \cos(x)$ .

💡 À retenir : Apprendre les angles associés par cœur aide à gagner du temps.

Utiliser la formule $\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$.
$\sin(x + \pi/2) = \sin(x)\cos(\pi/2) + \cos(x)\sin(\pi/2) = \sin(x) \cdot 0 + \cos(x) \cdot 1 = \cos(x)$.

💡 À retenir : Apprendre les angles associés par cœur aide à gagner du temps.

Est-ce que la parité change la résolution d'une inéquation ?

Oui, car elle permet de réduire l'intervalle d'étude. Si la fonction est paire, on étudie sur $[0, \pi]$ et on déduit par symétrie.

💡 À retenir : La parité est un outil puissant pour réduire le travail.

Oui, car elle permet de réduire l'intervalle d'étude. Si la fonction est paire, on étudie sur $[0, \pi]$ et on déduit par symétrie.

💡 À retenir : La parité est un outil puissant pour réduire le travail.

Comment savoir si une équation trigonométrique n'a pas de solution ?

Si on obtient $\cos(x) = a$ ou $\sin(x) = a$ avec $|a| > 1$ , alors l'équation n'a aucune solution réelle.

💡 À retenir : Le sinus et le cosinus sont toujours compris entre -1 et 1.

Si on obtient $\cos(x) = a$ ou $\sin(x) = a$ avec $|a| > 1$, alors l'équation n'a aucune solution réelle.

💡 À retenir : Le sinus et le cosinus sont toujours compris entre -1 et 1.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $\cos(x) + \sqrt{3}\sin(x) = 1$ .

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $\cos(x) + \sqrt{3}\sin(x) = 1$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Linéariser $\sin^3(x)$ .

Exercice 2

Linéariser $\sin^3(x)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $x \in ]0, \pi/2[$ . Montrer que $\frac{\sin(3x)}{\sin(x)} - \frac{\cos(3x)}{\cos(x)} = 2$ .

Exercice 3

Soit $x \in ]0, \pi/2[$. Montrer que $\frac{\sin(3x)}{\sin(x)} - \frac{\cos(3x)}{\cos(x)} = 2$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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