Prépa concours Médecine · Médecine, pharmacie & dentaire

Suites numériques

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Définition : Une suite $(u_n)_{n \in I}$ est une fonction définie sur une partie de $\mathbb{N}$ .
Suites arithmétiques : $u_{n+1} = u_n + r$ . Terme général : $u_n = u_p + (n-p)r$ . Somme : $S = \frac{\text{nombre de termes}}{2} (\text{premier} + \text{dernier})$ .
Suites géométriques : $u_{n+1} = q \cdot u_n$ . Terme général : $u_n = u_p \cdot q^{n-p}$ . Somme : $S = \text{premier} \cdot \frac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}$ ( $q \neq 1$ ).
Monotonie : On étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$ . Si $u_n > 0$ , on peut comparer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1.
Convergence : Une suite est convergente si elle admet une limite finie $l$ . Toute suite croissante et majorée est convergente.
Suites adjacentes : Si $(u_n)$ croissante, $(v_n)$ décroissante et $\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = 0$ , alors elles convergent vers la même limite.

Méthodes à maîtriser

Récurrence : Pour démontrer $P(n)$ , on vérifie l'initialisation, on suppose $P(n)$ vraie et on démontre $P(n+1)$ .
Limite de $f(u_n)$ : Si $u_{n+1} = f(u_n)$ , $f$ continue sur $I$ et $u_n \to l$ , alors $f(l) = l$ .
Théorème des gendarmes : Si $v_n \leq u_n \leq w_n$ et $\lim v_n = \lim w_n = l$ , alors $\lim u_n = l$ .

Exemples corrigés

Récurrence : Montrer $u_n \geq 1$ pour $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ . Initialisation : $u_0 \geq 1$ . Hérédité : $u_n \geq 1 \implies u_n+2 \geq 3 \implies \sqrt{u_n+2} \geq \sqrt{3} > 1$ .
Limite : Soit $u_n = \frac{2n^2+1}{n^2+3}$ . On factorise par le terme de plus haut degré : $u_n = \frac{n^2(2+1/n^2)}{n^2(1+3/n^2)} = \frac{2+1/n^2}{1+3/n^2} \to 2$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser que la fonction est continue pour utiliser $f(l)=l$ .
Confondre "majorée" et "convergente" (une suite majorée n'est pas forcément convergente, ex: $u_n = (-1)^n$ ).
Se tromper dans le nombre de termes d'une somme : de $p$ à $n$ , il y a $n-p+1$ termes.

L'essentiel du cours

Définition : Une suite $(u_n)_{n \in I}$ est une fonction définie sur une partie de $\mathbb{N}$.
Suites arithmétiques : $u_{n+1} = u_n + r$. Terme général : $u_n = u_p + (n-p)r$. Somme : $S = \frac{\text{nombre de termes}}{2} (\text{premier} + \text{dernier})$.
Suites géométriques : $u_{n+1} = q \cdot u_n$. Terme général : $u_n = u_p \cdot q^{n-p}$. Somme : $S = \text{premier} \cdot \frac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}$ ($q \neq 1$).
Monotonie : On étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$. Si $u_n > 0$, on peut comparer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1.
Convergence : Une suite est convergente si elle admet une limite finie $l$. Toute suite croissante et majorée est convergente.
Suites adjacentes : Si $(u_n)$ croissante, $(v_n)$ décroissante et $\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = 0$, alors elles convergent vers la même limite.

Méthodes à maîtriser

Récurrence : Pour démontrer $P(n)$, on vérifie l'initialisation, on suppose $P(n)$ vraie et on démontre $P(n+1)$.
Limite de $f(u_n)$ : Si $u_{n+1} = f(u_n)$, $f$ continue sur $I$ et $u_n \to l$, alors $f(l) = l$.
Théorème des gendarmes : Si $v_n \leq u_n \leq w_n$ et $\lim v_n = \lim w_n = l$, alors $\lim u_n = l$.

Exemples corrigés

Récurrence : Montrer $u_n \geq 1$ pour $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$. Initialisation : $u_0 \geq 1$. Hérédité : $u_n \geq 1 \implies u_n+2 \geq 3 \implies \sqrt{u_n+2} \geq \sqrt{3} > 1$.
Limite : Soit $u_n = \frac{2n^2+1}{n^2+3}$. On factorise par le terme de plus haut degré : $u_n = \frac{n^2(2+1/n^2)}{n^2(1+3/n^2)} = \frac{2+1/n^2}{1+3/n^2} \to 2$.

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser que la fonction est continue pour utiliser $f(l)=l$.
Confondre "majorée" et "convergente" (une suite majorée n'est pas forcément convergente, ex: $u_n = (-1)^n$).
Se tromper dans le nombre de termes d'une somme : de $p$ à $n$, il y a $n-p+1$ termes.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Suites numériques

1/4

La suite $u_n = (-1)^n \cdot n$ est-elle convergente ?

❓ Questions fréquentes

1. Comment savoir si une suite est arithmétique ou géométrique ?

Calcule $u_{n+1} - u_n$ . Si le résultat est une constante $r$ indépendante de $n$ , elle est arithmétique.
Calcule $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ (si $u_n \neq 0$ ). Si le résultat est une constante $q$ , elle est géométrique.

💡 À retenir : La différence constante définit l'arithmétique, le quotient constant définit la géométrique.

Calcule $u_{n+1} - u_n$. Si le résultat est une constante $r$ indépendante de $n$, elle est arithmétique.
Calcule $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ (si $u_n \neq 0$). Si le résultat est une constante $q$, elle est géométrique.

💡 À retenir : La différence constante définit l'arithmétique, le quotient constant définit la géométrique.

2. Kifach n7seb la limite dyal suite li fiha u{n+1} = f(un) ?

Vérifie d'abord que la suite est convergente (souvent en montrant qu'elle est monotone et bornée).
Résous l'équation $f(l) = l$ dans l'intervalle où se trouvent les termes de la suite.
La limite est la solution de cette équation.

💡 À retenir : Si $f$ est continue et $u_n \to l$ , alors $l$ est nécessairement un point fixe de $f$ .

Vérifie d'abord que la suite est convergente (souvent en montrant qu'elle est monotone et bornée).
Résous l'équation $f(l) = l$ dans l'intervalle où se trouvent les termes de la suite.
La limite est la solution de cette équation.

💡 À retenir : Si $f$ est continue et $u_n \to l$, alors $l$ est nécessairement un point fixe de $f$.

3. Est-ce qu'une suite bornée est toujours convergente ?

Non. Une suite bornée n'est pas forcément convergente. Exemple : $u_n = (-1)^n$ . Elle est bornée entre -1 et 1, mais elle oscille et n'admet pas de limite. Pour qu'une suite soit convergente, il faut qu'elle soit monotone ET bornée.

💡 À retenir : La convergence nécessite la monotonie en plus du caractère borné.

Non. Une suite bornée n'est pas forcément convergente. Exemple : $u_n = (-1)^n$. Elle est bornée entre -1 et 1, mais elle oscille et n'admet pas de limite. Pour qu'une suite soit convergente, il faut qu'elle soit monotone ET bornée.

💡 À retenir : La convergence nécessite la monotonie en plus du caractère borné.

4. Chno hiya l'utilité dyal l'istidlal bi taraju3 (récurrence) ?

L'istidlal bi taraju3 kankhedmouh bach nbayno chi khassiya (propriété) li kat3alla9 b $n$ (par exemple $u_n \geq 0$ ou $u_n \leq 2$ ).

Initialisation : kanbaynoha s7i7a l $n_0$ .
Hérédité : kanfardouha s7i7a l $n$ o kanbaynoha s7i7a l $n+1$ .

💡 À retenir : C'est l'outil indispensable pour manipuler les suites définies par récurrence.

L'istidlal bi taraju3 kankhedmouh bach nbayno chi khassiya (propriété) li kat3alla9 b $n$ (par exemple $u_n \geq 0$ ou $u_n \leq 2$).

Initialisation : kanbaynoha s7i7a l $n_0$.
Hérédité : kanfardouha s7i7a l $n$ o kanbaynoha s7i7a l $n+1$.

💡 À retenir : C'est l'outil indispensable pour manipuler les suites définies par récurrence.

5. Comment montrer qu'une suite est majorée par M ?

Par récurrence : Vérifie $u_0 \leq M$ , puis suppose $u_n \leq M$ et montre $u_{n+1} \leq M$ .
Par étude de fonction : Si $u_{n+1} = f(u_n)$ et $f$ est croissante, alors $u_n \leq M \implies f(u_n) \leq f(M)$ . Si $f(M) \leq M$ , alors $u_{n+1} \leq M$ .

💡 À retenir : La récurrence est la méthode la plus robuste.

Par récurrence : Vérifie $u_0 \leq M$, puis suppose $u_n \leq M$ et montre $u_{n+1} \leq M$.
Par étude de fonction : Si $u_{n+1} = f(u_n)$ et $f$ est croissante, alors $u_n \leq M \implies f(u_n) \leq f(M)$. Si $f(M) \leq M$, alors $u_{n+1} \leq M$.

💡 À retenir : La récurrence est la méthode la plus robuste.

6. Kifach n3ref wach suite tana9ousiya (décroissante) wla tzaidya (croissante) ?

Etudie le signe de $u_{n+1} - u_n$ .
Si $u_{n+1} - u_n \geq 0$ , alors la suite est croissante.
Si $u_{n+1} - u_n \leq 0$ , alors la suite est décroissante.

💡 À retenir : Le signe de la différence est la clé de la monotonie.

Etudie le signe de $u_{n+1} - u_n$.
Si $u_{n+1} - u_n \geq 0$, alors la suite est croissante.
Si $u_{n+1} - u_n \leq 0$, alors la suite est décroissante.

💡 À retenir : Le signe de la différence est la clé de la monotonie.

7. Quelle est la limite d'une suite géométrique q^n ?

Si $q > 1$ , $\lim q^n = +\infty$ .
Si $q = 1$ , $\lim q^n = 1$ .
Si $-1 < q < 1$ , $\lim q^n = 0$ .
Si $q \leq -1$ , la suite n'a pas de limite.

💡 À retenir : La raison $q$ détermine tout le comportement de la suite.

Si $q > 1$, $\lim q^n = +\infty$.
Si $q = 1$, $\lim q^n = 1$.
Si $-1 < q < 1$, $\lim q^n = 0$.
Si $q \leq -1$, la suite n'a pas de limite.

💡 À retenir : La raison $q$ détermine tout le comportement de la suite.

8. Comment calculer la somme des termes d'une suite arithmétique ?

La formule est : $S = \frac{\text{nombre de termes}}{2} \times (\text{premier terme} + \text{dernier terme})$ . Le nombre de termes est : $(\text{indice final} - \text{indice initial} + 1)$ .

💡 À retenir : Ne pas oublier le "+1" dans le calcul du nombre de termes.

La formule est : $S = \frac{\text{nombre de termes}}{2} \times (\text{premier terme} + \text{dernier terme})$. Le nombre de termes est : $(\text{indice final} - \text{indice initial} + 1)$.

💡 À retenir : Ne pas oublier le "+1" dans le calcul du nombre de termes.

9. C'est quoi une suite adjacente ?

Deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes si :

L'une est croissante et l'autre est décroissante.
La limite de leur différence est nulle : $\lim (u_n - v_n) = 0$ .

💡 À retenir : Elles convergent vers la même limite réelle.

Deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes si :

L'une est croissante et l'autre est décroissante.
La limite de leur différence est nulle : $\lim (u_n - v_n) = 0$.

💡 À retenir : Elles convergent vers la même limite réelle.

10. Peut-on utiliser la dérivée pour étudier une suite ?

Oui, si $u_{n+1} = f(u_n)$ . Si $f$ est dérivable, le signe de $f'(x)$ nous donne le sens de variation de $f$ . Si $f$ est croissante, alors $(u_n)$ est monotone (le sens dépend de $u_1 - u_0$ ).

💡 À retenir : L'étude de la fonction associée est très puissante.

Oui, si $u_{n+1} = f(u_n)$. Si $f$ est dérivable, le signe de $f'(x)$ nous donne le sens de variation de $f$. Si $f$ est croissante, alors $(u_n)$ est monotone (le sens dépend de $u_1 - u_0$).

💡 À retenir : L'étude de la fonction associée est très puissante.

11. Comment montrer qu'une suite est convergente sans calculer sa limite ?

Il suffit de montrer qu'elle est monotone et bornée. C'est le théorème de la convergence monotone.

💡 À retenir : Monotone + Bornée = Convergente.

12. Est-ce que lim{n to +infty} un = l implique lim{n to +infty} u{n+1} = l ?

Oui, car $u_{n+1}$ est juste la suite $u_n$ décalée d'un rang, ce qui ne change pas sa limite à l'infini.

💡 À retenir : Le comportement à l'infini est identique.

Oui, car $u_{n+1}$ est juste la suite $u_n$ décalée d'un rang, ce qui ne change pas sa limite à l'infini.

💡 À retenir : Le comportement à l'infini est identique.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1$ .

Calculer $u_1$ et $u_2$ .
Montrer par récurrence que $u_n < 2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .
Montrer que $(u_n)$ est croissante.
En déduire que $(u_n)$ converge et calculer sa limite.

Exercice 1

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1$.

Calculer $u_1$ et $u_2$.
Montrer par récurrence que $u_n < 2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Montrer que $(u_n)$ est croissante.
En déduire que $(u_n)$ converge et calculer sa limite.

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Exercice 2

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}$ .

Montrer que $0 \leq u_n \leq 3$ .
Montrer que $u_{n+1} - u_n = \frac{(3-u_n)(u_n+2)}{\sqrt{u_n+6} + u_n}$ .
Étudier la convergence de $(u_n)$ .

Exercice 2

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}$.

Montrer que $0 \leq u_n \leq 3$.
Montrer que $u_{n+1} - u_n = \frac{(3-u_n)(u_n+2)}{\sqrt{u_n+6} + u_n}$.
Étudier la convergence de $(u_n)$.

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Exercice 3

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_3 = 7$ et $u_8 = 22$ .

Calculer la raison $r$ et le premier terme $u_0$ .
Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .
Calculer la somme $S = u_0 + u_1 + \dots + u_{10}$ .

Exercice 3

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_3 = 7$ et $u_8 = 22$.

Calculer la raison $r$ et le premier terme $u_0$.
Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
Calculer la somme $S = u_0 + u_1 + \dots + u_{10}$.

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