Prépa concours Médecine · Médecine, pharmacie & dentaire

Limites et continuité

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Continuité en un point : $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ .
Continuité sur un intervalle : $f$ est continue sur $I$ si elle est continue en tout point de $I$ .
Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) : Si $f$ est continue sur $[a, b]$ , alors pour tout $\lambda$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , il existe au moins un $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = \lambda$ .
Corollaire du TVI : Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a, b]$ , alors l'équation $f(x) = \lambda$ admet une unique solution dans $[a, b]$ .
Opérations sur les limites : Somme, produit, quotient (attention aux formes indéterminées : $\infty - \infty$ , $0 \times \infty$ , $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ ).

Méthodes à maîtriser

Levée d'indétermination : Utiliser la factorisation par le terme de plus haut degré, la quantité conjuguée, ou le taux d'accroissement.
Continuité par morceaux : Vérifier la limite à gauche, la limite à droite et la valeur en $a$ .
Encadrement : Utiliser le théorème des gendarmes pour les fonctions trigonométriques ( $\sin, \cos$ ).

Exemples corrigés

Exemple 1 : $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = \lim_{x \to 0} 3 \frac{\sin(3x)}{3x} = 3 \times 1 = 3$ .
Exemple 2 : Soit $f(x) = x^3 + x - 1$ . $f$ est continue sur $[0, 1]$ . $f(0)=-1$ et $f(1)=1$ . Comme $0 \in [-1, 1]$ , il existe $c \in ]0, 1[$ tel que $f(c)=0$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la continuité avant d'appliquer le TVI.
Confondre $\lim_{x \to a} f(x) = L$ avec $f(a) = L$ .
Ne pas préciser le signe de la fonction dans le théorème des gendarmes.

L'essentiel du cours

Continuité en un point : $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.
Continuité sur un intervalle : $f$ est continue sur $I$ si elle est continue en tout point de $I$.
Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) : Si $f$ est continue sur $[a, b]$, alors pour tout $\lambda$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = \lambda$.
Corollaire du TVI : Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a, b]$, alors l'équation $f(x) = \lambda$ admet une unique solution dans $[a, b]$.
Opérations sur les limites : Somme, produit, quotient (attention aux formes indéterminées : $\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$).

Méthodes à maîtriser

Levée d'indétermination : Utiliser la factorisation par le terme de plus haut degré, la quantité conjuguée, ou le taux d'accroissement.
Continuité par morceaux : Vérifier la limite à gauche, la limite à droite et la valeur en $a$.
Encadrement : Utiliser le théorème des gendarmes pour les fonctions trigonométriques ($\sin, \cos$).

Exemples corrigés

Exemple 1 : $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = \lim_{x \to 0} 3 \frac{\sin(3x)}{3x} = 3 \times 1 = 3$.
Exemple 2 : Soit $f(x) = x^3 + x - 1$. $f$ est continue sur $[0, 1]$. $f(0)=-1$ et $f(1)=1$. Comme $0 \in [-1, 1]$, il existe $c \in ]0, 1[$ tel que $f(c)=0$.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la continuité avant d'appliquer le TVI.
Confondre $\lim_{x \to a} f(x) = L$ avec $f(a) = L$.
Ne pas préciser le signe de la fonction dans le théorème des gendarmes.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Limites et continuité

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Quelle est la valeur de $\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x}$ ?

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach l'fonction continue f point a wla la?

Pour vérifier la continuité en $a$ :

Calcule $\lim_{x \to a^+} f(x)$ .
Calcule $\lim_{x \to a^-} f(x)$ .
Vérifie si ces deux limites sont égales à $f(a)$ . Si $\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$ , alors $f$ est continue en $a$ .

💡 À retenir : La continuité exige que la limite à gauche, à droite et la valeur de la fonction soient identiques.

Pour vérifier la continuité en $a$ :

Calcule $\lim_{x \to a^+} f(x)$.
Calcule $\lim_{x \to a^-} f(x)$.
Vérifie si ces deux limites sont égales à $f(a)$. Si $\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$, alors $f$ est continue en $a$.

💡 À retenir : La continuité exige que la limite à gauche, à droite et la valeur de la fonction soient identiques.

Est-ce que le TVI permet de trouver la valeur exacte de la solution ?

Non, le TVI prouve uniquement l'existence d'au moins une solution. Il ne donne pas sa valeur exacte, sauf dans des cas très particuliers. Pour une valeur approchée, on utilise souvent la méthode de dichotomie.

💡 À retenir : Le TVI est un théorème d'existence, pas de calcul.

Chno hiya l'forme indéterminée frac{0}{0}?

C'est une forme où le numérateur et le dénominateur tendent vers 0. On ne peut pas conclure directement. Il faut transformer l'expression (factorisation, conjugaison ou taux d'accroissement) pour simplifier le terme qui pose problème.

💡 À retenir : $\frac{0}{0}$ ne signifie pas 0 ou 1, c'est une indétermination à lever.

Kifach n7seb lim x to infty dial fonction polynomiale?

Pour une fonction polynomiale, la limite en $\pm\infty$ est toujours égale à la limite de son terme de plus haut degré. Exemple : $\lim_{x \to +\infty} (3x^2 - 5x + 1) = \lim_{x \to +\infty} 3x^2 = +\infty$ .

💡 À retenir : Seul le terme de plus haut degré compte à l'infini.

Peut-on utiliser le TVI si la fonction n'est pas strictement monotone ?

Oui, le TVI classique (existence) ne nécessite pas la monotonie, juste la continuité. Par contre, pour l'unicité de la solution, la stricte monotonie est obligatoire.

💡 À retenir : Continuité = Existence ; Continuité + Stricte monotonie = Unicité.

Comment lever une indétermination avec une racine carrée ?

La méthode classique est de multiplier par la quantité conjuguée. Exemple : $\sqrt{x+1} - \sqrt{x} = \frac{(\sqrt{x+1} - \sqrt{x})(\sqrt{x+1} + \sqrt{x})}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}$ .

💡 À retenir : La quantité conjuguée transforme une différence en quotient.

Est-ce que la somme de deux fonctions continues est toujours continue ?

Oui, si $f$ et $g$ sont continues sur un intervalle $I$ , alors $f+g$ , $f \times g$ et $f/g$ (si $g \neq 0$ ) sont continues sur $I$ .

💡 À retenir : Les opérations usuelles conservent la continuité.

Oui, si $f$ et $g$ sont continues sur un intervalle $I$, alors $f+g$, $f \times g$ et $f/g$ (si $g \neq 0$) sont continues sur $I$.

💡 À retenir : Les opérations usuelles conservent la continuité.

Comment gérer les limites avec sin(x) quand x tend vers l'infini ?

On utilise souvent le théorème des gendarmes. Comme $-1 \leq \sin(x) \leq 1$ , on encadre la fonction par deux autres fonctions qui tendent vers la même limite.

💡 À retenir : Encadrement = Théorème des gendarmes.

On utilise souvent le théorème des gendarmes. Comme $-1 \leq \sin(x) \leq 1$, on encadre la fonction par deux autres fonctions qui tendent vers la même limite.

💡 À retenir : Encadrement = Théorème des gendarmes.

Pourquoi on dit que la fonction est continue sur un intervalle ouvert ?

Parce qu'en tout point de cet intervalle, la limite à gauche et à droite existe et est égale à la valeur de la fonction.

💡 À retenir : La continuité en un point est une condition locale.

Est-ce que la composée de deux fonctions continues est continue ?

Oui, si $g$ est continue en $a$ et $f$ est continue en $g(a)$ , alors $f \circ g$ est continue en $a$ .

💡 À retenir : La composition préserve la continuité.

Oui, si $g$ est continue en $a$ et $f$ est continue en $g(a)$, alors $f \circ g$ est continue en $a$.

💡 À retenir : La composition préserve la continuité.

Comment montrer qu'une équation f(x)=0 a une solution unique ?

Montrer que $f$ est continue sur l'intervalle.
Montrer que $f$ est strictement monotone (calculer la dérivée).
Vérifier que 0 est compris entre les bornes de $f(I)$ .

💡 À retenir : Utiliser le corollaire du TVI.

Montrer que $f$ est continue sur l'intervalle.
Montrer que $f$ est strictement monotone (calculer la dérivée).
Vérifier que 0 est compris entre les bornes de $f(I)$.

💡 À retenir : Utiliser le corollaire du TVI.

Quelle est la différence entre limite à droite et limite à gauche ?

La limite à droite ( $x \to a^+$ ) considère les valeurs de $x > a$ . La limite à gauche ( $x \to a^-$ ) considère les valeurs de $x < a$ .

💡 À retenir : Si elles sont différentes, la limite en $a$ n'existe pas.

La limite à droite ($x \to a^+$) considère les valeurs de $x > a$. La limite à gauche ($x \to a^-$) considère les valeurs de $x < a$.

💡 À retenir : Si elles sont différentes, la limite en $a$ n'existe pas.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie par : $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ si $x \neq 1$ $f(1) = 2$ Étudier la continuité de $f$ en $x_0 = 1$ .

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie par : $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ si $x \neq 1$ $f(1) = 2$ Étudier la continuité de $f$ en $x_0 = 1$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $f(x) = x^3 + 2x - 1$ . Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[0, 1]$ .

Exercice 2

Soit $f(x) = x^3 + 2x - 1$. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[0, 1]$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Calculer la limite suivante : $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x}$ .

Exercice 3

Calculer la limite suivante : $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x}$.

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