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Prépa concours Médecine · Médecine, pharmacie & dentaire

Nombres complexes

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

1. Formes d'un nombre complexe

  • Forme algébrique : $z = a + ib$ avec $a, b \in \mathbb{R}$.
  • Module : $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. Propriétés : $|z \cdot z'| = |z| \cdot |z'|$ et $|\frac{z}{z'}| = \frac{|z|}{|z'|}$.
  • Argument : $\arg(z) \equiv \theta \pmod{2\pi}$ tel que $\cos \theta = \frac{a}{|z|}$ et $\sin \theta = \frac{b}{|z|}$.
  • Forme trigonométrique : $z = r(\cos \theta + i\sin \theta)$ avec $r = |z|$.
  • Forme exponentielle : $z = re^{i\theta}$.

2. Équations du second degré dans $\mathbb{C}$

Pour $az^2 + bz + c = 0$ ($a, b, c \in \mathbb{R}$ et $a \neq 0$) :

  • Calcul de $\Delta = b^2 - 4ac$.
  • Si $\Delta > 0$ : deux racines réelles $z_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $z_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.
  • Si $\Delta = 0$ : une racine réelle double $z_0 = -\frac{b}{2a}$.
  • Si $\Delta < 0$ : deux racines complexes conjuguées $z_1 = \frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ et $z_2 = \bar{z_1} = \frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.

3. Géométrie et transformations

  • Distance $AB$ : $AB = |z_B - z_A|$.
  • Angle $(\vec{u}, \vec{AB})$ : $\arg(z_B - z_A) \pmod{2\pi}$.
  • Translation de vecteur $\vec{u}$ (affixe $b$) : $z' = z + b$.
  • Rotation de centre $\Omega(\omega)$ et d'angle $\theta$ : $z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)$.

4. Formules de Moivre et d'Euler

  • Moivre : $(\cos \theta + i\sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$.
  • Euler : $\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$.

Méthodes à maîtriser

  • Passer de la forme algébrique à la forme exponentielle en calculant d'abord le module.
  • Utiliser le conjugué pour rendre réel le dénominateur d'une fraction : $\frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}$.
  • Montrer qu'un triangle est équilatéral en vérifiant que $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = e^{\pm i\pi/3}$.
  • Déterminer l'ensemble des points $M(z)$ tel que $|z - z_A| = R$ (cercle) ou $|z - z_A| = |z - z_B|$ (médiatrice).

Exemples corrigés

  • Exemple 1 : Soit $z = 1 + i\sqrt{3}$. Module $|z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2$. Argument : $\cos \theta = 1/2, \sin \theta = \sqrt{3}/2 \Rightarrow \theta = \pi/3$. Forme exponentielle : $z = 2e^{i\pi/3}$.
  • Exemple 2 : Calculer $(1+i)^8$. On a $1+i = \sqrt{2}e^{i\pi/4}$. Donc $(1+i)^8 = (\sqrt{2})^8 e^{i8\pi/4} = 16 e^{i2\pi} = 16(1) = 16$.

Erreurs fréquentes

  • Confondre $\arg(z)$ et $\tan \theta = b/a$ sans vérifier le signe de $a$.
  • Oublier le $i$ au dénominateur dans la formule d'Euler pour le sinus.
  • Écrire $\sqrt{\Delta}$ quand $\Delta < 0$ (il faut écrire $i\sqrt{-\Delta}$).
  • Penser que $|z+z'| = |z| + |z'|$ (c'est faux, c'est l'inégalité triangulaire $|z+z'| \leq |z| + |z'|$).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 Nombres complexes

1/4

Soit $z = 1 - i$. Quelle est la forme exponentielle de $z^{4}$ ?

❓ Questions fréquentes

Pourquoi dit-on que i n'a pas de signe ?

Dans l'ensemble $\mathbb{C}$, il n'existe pas de relation d'ordre ($\leq$ ou $\geq$) compatible avec les opérations habituelles :

  1. On ne peut pas dire que $i > 0$ ou $i < 0$.
  2. Par conséquent, on ne peut jamais écrire $z_1 < z_2$ si ces nombres ne sont pas réels.
  3. Seuls les modules (qui sont réels) peuvent être comparés.

💡 À retenir : On ne compare jamais deux nombres complexes avec les symboles $<$ ou $>$.

Comment savoir si trois points A, B et C sont alignés ?

Pour montrer que les points $A, B$ et $C$ sont alignés, on suit ces étapes :

  1. On calcule le rapport $Z = \frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$.
  2. On vérifie si ce nombre $Z$ est un nombre réel ($Z \in \mathbb{R}$).
  3. Si $Z$ est réel, alors l'angle $(\vec{AB}, \vec{AC})$ est égal à $0$ ou $\pi$, ce qui prouve l'alignement.
  4. Alternativement, on peut montrer que $\arg(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}) \equiv 0 \pmod \pi$.

💡 À retenir : $A, B, C$ alignés $\iff \frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in \mathbb{R}$.

Kifach n7iyed i mn l-mou9am (dénominateur) ?

Pour supprimer $i$ du dénominateur, on utilise la technique du conjugué :

  1. Repère le dénominateur $z = c + id$.
  2. Multiplie le numérateur et le dénominateur par son conjugué $\bar{z} = c - id$.
  3. Au dénominateur, utilise l'identité remarquable : $(c+id)(c-id) = c^2 + d^2$.
  4. Le résultat au dénominateur sera un nombre réel pur, ce qui permet de séparer les parties réelle et imaginaire.

💡 À retenir : On multiplie en haut et en bas par le conjugué du bas.

Quelle est la différence entre |z|^2 et z^2 ?

Ce sont deux notions très différentes :

  1. $z^2$ est le carré du nombre complexe (un nouveau nombre complexe). Si $z=a+ib$, $z^2 = (a^2-b^2) + 2abi$.
  2. $|z|^2$ est le carré du module (toujours un nombre réel positif). $|z|^2 = a^2 + b^2$.
  3. La relation qui les lie est $|z|^2 = z \cdot \bar{z}$.

💡 À retenir : $|z|^2$ est réel, alors que $z^2$ peut être complexe.

Chno hiya l-3ala9a bin l-handassa o l-a3dad l-3oqadiya ?

Les nombres complexes sont un outil puissant pour la géométrie plane :

  1. Chaque point $M(x, y)$ est représenté par son affixe $z = x + iy$.
  2. La distance entre deux points est le module de la différence : $AB = |z_B - z_A|$.
  3. Les transformations (translation, rotation) s'écrivent comme des fonctions de $z$.
  4. Les angles entre vecteurs correspondent aux arguments des rapports d'affixes.

💡 À retenir : Le plan complexe permet de transformer des problèmes de géométrie en calculs algébriques.

Comment déterminer la nature d'un triangle ABC ?

On calcule souvent le rapport $R = \frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ :

  1. Si $R = i$ ou $R = -i$ : Triangle rectangle isocèle en $A$.
  2. Si $R = e^{i\pi/3}$ ou $e^{-i\pi/3}$ : Triangle équilatéral.
  3. Si $|R| = 1$ : Triangle isocèle en $A$.
  4. Si $R$ est imaginaire pur ($R = ki$) : Triangle rectangle en $A$.

💡 À retenir : La forme exponentielle du rapport des côtés donne la nature du triangle.

Kifach n7seb arg(z) ila kant a salba (négative) ?

Si $z = a + ib$ avec $a < 0$, la méthode directe de la calculatrice ou de $\arctan$ peut tromper.

  1. Calcule d'abord le module $r$.
  2. Résous $\cos \theta = a/r$ et $\sin \theta = b/r$.
  3. Si $a < 0$ et $b > 0$, l'angle est dans le 2ème quadrant ($\pi - \alpha$).
  4. Si $a < 0$ et $b < 0$, l'angle est dans le 3ème quadrant ($-\pi + \alpha$ ou $\pi + \alpha$).

💡 À retenir : Toujours placer le point dans le cercle trigonométrique pour vérifier l'argument.

Comment linéariser cos^2(x) avec Euler ?

La linéarisation consiste à enlever les puissances :

  1. Remplace $\cos x$ par $\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$.
  2. Élève au carré : $(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2})^2 = \frac{(e^{ix})^2 + 2e^{ix}e^{-ix} + (e^{-ix})^2}{4}$.
  3. Simplifie : $\frac{e^{i2x} + 2 + e^{-i2x}}{4}$.
  4. Regroupe pour retrouver un cosinus : $\frac{1}{2}(\frac{e^{i2x} + e^{-i2x}}{2}) + \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{2}$.

💡 À retenir : Les formules d'Euler transforment les puissances en sommes de fonctions circulaires.

Comment trouver l'ensemble des points tel que |z - a| = |z - b| ?
  1. Interprète géométriquement : $|z - z_A|$ est la distance $AM$ et $|z - z_B|$ est la distance $BM$.
  2. L'équation devient $AM = BM$.
  3. L'ensemble des points équidistants de $A$ et $B$ est la médiatrice du segment $[AB]$.

💡 À retenir : $|z - a| = |z - b|$ définit la médiatrice de $[AB]$.

Comment trouver l'ensemble des points tel que |z - omega| = R ?
  1. Interprète géométriquement : $|z - z_\Omega|$ est la distance $\Omega M$.
  2. L'équation devient $\Omega M = R$.
  3. L'ensemble des points situés à une distance fixe $R$ d'un centre $\Omega$ est le cercle de centre $\Omega$ et de rayon $R$.

💡 À retenir : $|z - \omega| = R$ définit le cercle $\mathcal{C}(\Omega, R)$.

C'est quoi l'écriture complexe d'une rotation ?

La rotation de centre $\Omega$ (affixe $\omega$) et d'angle $\theta$ transforme $M(z)$ en $M'(z')$ :

  1. La formule est : $z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)$.
  2. Pour trouver $z'$, on développe : $z' = e^{i\theta}(z - \omega) + \omega$.
  3. Si le centre est l'origine $O(0)$, alors $z' = e^{i\theta}z$.

💡 À retenir : La rotation multiplie la différence d'affixe par $e^{i\theta}$.

Comment calculer les racines carrées d'un nombre complexe Z = a + ib ?

On cherche $z = x + iy$ tel que $z^2 = Z$ :

  1. On pose le système :
    • $x^2 - y^2 = a$ (Partie réelle de $z^2$)
    • $2xy = b$ (Partie imaginaire de $z^2$)
    • $x^2 + y^2 = \sqrt{a^2 + b^2}$ (Module de $z^2$)
  2. On additionne/soustrait les lignes 1 et 3 pour trouver $x^2$ et $y^2$.
  3. On choisit les signes de $x$ et $y$ selon le signe de $b$ (ligne 2).

💡 À retenir : On utilise le module pour obtenir une troisième équation simple.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

  1. Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 - 4z + 8 = 0$.
  2. Soient les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A = 2 + 2i$ et $z_B = 2 - 2i$. a. Écrire $z_A$ sous forme exponentielle. b. Placer les points $A$ et $B$ dans un repère orthonormé. c. Déterminer l'affixe $z_C$ du point $C$ tel que $OACB$ soit un carré.
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Exercice 2

On considère la rotation $R$ de centre $\Omega(1)$ et d'angle $\pi/2$.

  1. Donner l'écriture complexe de la rotation $R$.
  2. Soit $A$ le point d'affixe $z_A = 2 + i$. Calculer l'affixe $z_B$ du point $B$ image de $A$ par $R$.
  3. Soit $C$ le point d'affixe $z_C = i$. Montrer que le triangle $\Omega AC$ est rectangle isocèle.
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Exercice 3

Soit $z$ un nombre complexe tel que $z \neq 1$. On pose $U = \frac{z + i}{z - 1}$.

  1. On pose $z = x + iy$. Exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de $U$ en fonction de $x$ et $y$.
  2. Déterminer l'ensemble $(E)$ des points $M(z)$ tels que $U$ soit un imaginaire pur.
  3. Déterminer l'ensemble $(F)$ des points $M(z)$ tels que $|U| = 1$.
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