Prépa concours Médecine · Médecine, pharmacie & dentaire

Dénombrement et probabilités

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Principe multiplicatif : Si une opération se fait en $n$ étapes, le nombre total de choix est le produit des choix à chaque étape.
Arrangements : Nombre de façons de choisir et ordonner $k$ éléments parmi $n$ : $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ .
Permutations : Nombre de façons d'ordonner $n$ éléments : $P_n = n!$ .
Combinaisons : Nombre de façons de choisir $k$ éléments parmi $n$ sans ordre : $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ .
Probabilité : $P(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$ dans le cas d'équiprobabilité.
Propriétés : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ et $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .

Méthodes à maîtriser

Identifier l'ordre : Si l'ordre compte (ex: podium, code), utiliser $A_n^k$ ou $n^k$ . Si l'ordre ne compte pas (ex: main de cartes, comité), utiliser $C_n^k$ .
Tirage simultané : Toujours utiliser $C_n^k$ .
Tirage successif sans remise : Utiliser $A_n^k$ .
Tirage successif avec remise : Utiliser $n^k$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Tirer 3 boules parmi 10 simultanément. $\text{card}(\Omega) = C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ .
Exemple 2 : Probabilité d'avoir 2 boules rouges parmi 5 rouges et 5 blanches (tirage de 3 boules). $P = \frac{C_5^2 \times C_5^1}{C_{10}^3} = \frac{10 \times 5}{120} = \frac{50}{120} = \frac{5}{12}$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^k$ et $C_n^k$ : Rappelez-vous que $C_n^k$ est toujours plus petit.
Oublier le cas "au moins un" : Pensez toujours à passer par l'événement contraire $1 - P(\text{aucun})$ .
Mal définir l'univers $\Omega$ : Vérifiez toujours si le tirage est avec ou sans remise.

L'essentiel du cours

Principe multiplicatif : Si une opération se fait en $n$ étapes, le nombre total de choix est le produit des choix à chaque étape.
Arrangements : Nombre de façons de choisir et ordonner $k$ éléments parmi $n$ : $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
Permutations : Nombre de façons d'ordonner $n$ éléments : $P_n = n!$.
Combinaisons : Nombre de façons de choisir $k$ éléments parmi $n$ sans ordre : $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Probabilité : $P(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$ dans le cas d'équiprobabilité.
Propriétés : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ et $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Méthodes à maîtriser

Identifier l'ordre : Si l'ordre compte (ex: podium, code), utiliser $A_n^k$ ou $n^k$. Si l'ordre ne compte pas (ex: main de cartes, comité), utiliser $C_n^k$.
Tirage simultané : Toujours utiliser $C_n^k$.
Tirage successif sans remise : Utiliser $A_n^k$.
Tirage successif avec remise : Utiliser $n^k$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Tirer 3 boules parmi 10 simultanément. $\text{card}(\Omega) = C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$.
Exemple 2 : Probabilité d'avoir 2 boules rouges parmi 5 rouges et 5 blanches (tirage de 3 boules). $P = \frac{C_5^2 \times C_5^1}{C_{10}^3} = \frac{10 \times 5}{120} = \frac{50}{120} = \frac{5}{12}$.

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^k$ et $C_n^k$ : Rappelez-vous que $C_n^k$ est toujours plus petit.
Oublier le cas "au moins un" : Pensez toujours à passer par l'événement contraire $1 - P(\text{aucun})$.
Mal définir l'univers $\Omega$ : Vérifiez toujours si le tirage est avec ou sans remise.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Dénombrement et probabilités

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Combien de façons d'ordonner 3 livres sur une étagère ?

❓ Questions fréquentes

Quelle est la différence entre tirage simultané et successif sans remise ?

Mathématiquement, pour le dénombrement, ils sont identiques. Dans les deux cas, on utilise les combinaisons ( $C_n^k$ ) car l'ordre n'est pas pris en compte pour le résultat final.

💡 À retenir : Simultané = Sans remise = Combinaisons.

Mathématiquement, pour le dénombrement, ils sont identiques. Dans les deux cas, on utilise les combinaisons ($C_n^k$) car l'ordre n'est pas pris en compte pour le résultat final.

💡 À retenir : Simultané = Sans remise = Combinaisons.

Est-ce que Cn^n = 1 ?

Oui, car il n'y a qu'une seule façon de choisir tous les éléments d'un ensemble. De même, $C_n^0 = 1$ (choisir aucun élément).

💡 À retenir : $C_n^n = C_n^0 = 1$ .

Oui, car il n'y a qu'une seule façon de choisir tous les éléments d'un ensemble. De même, $C_n^0 = 1$ (choisir aucun élément).

💡 À retenir : $C_n^n = C_n^0 = 1$.

Kifach n3ref wach nst3ml Cn^k wla An^k ?

Pose-toi la question : est-ce que l'ordre des éléments choisis change le résultat ?
Si oui (ex: un classement, un numéro de téléphone), c'est un arrangement ( $A_n^k$ ).
Si non (ex: une équipe, une main de cartes), c'est une combinaison ( $C_n^k$ ).

💡 À retenir : Ordre important = Arrangement ; Ordre non important = Combinaison.

Pose-toi la question : est-ce que l'ordre des éléments choisis change le résultat ?
Si oui (ex: un classement, un numéro de téléphone), c'est un arrangement ($A_n^k$).
Si non (ex: une équipe, une main de cartes), c'est une combinaison ($C_n^k$).

💡 À retenir : Ordre important = Arrangement ; Ordre non important = Combinaison.

Chno hiya "l'équiprobabilité" f l'examen ?

C'est quand tous les résultats possibles (les issues) ont la même chance de se produire. Par exemple, un dé non pipé ou un tirage au hasard dans une urne. Si cette condition est vérifiée, on peut utiliser la formule $P(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$ .

💡 À retenir : Sans équiprobabilité, on ne peut pas utiliser le rapport des cardinaux.

Kifach n7seb l'événement "au moins un" ?

Identifie l'événement contraire : "au moins un" devient "aucun".
Calcule la probabilité de l'événement contraire $P(\bar{A})$ .
Utilise la formule $P(A) = 1 - P(\bar{A})$ .

💡 À retenir : "Au moins un" = $1 - P(\text{aucun})$ .

Identifie l'événement contraire : "au moins un" devient "aucun".
Calcule la probabilité de l'événement contraire $P(\bar{A})$.
Utilise la formule $P(A) = 1 - P(\bar{A})$.

💡 À retenir : "Au moins un" = $1 - P(\text{aucun})$.

Comment calculer la probabilité de l'intersection P(A cap B) ?

Si les événements sont indépendants, $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ .
Sinon, on utilise le dénombrement : $P(A \cap B) = \frac{\text{card}(A \cap B)}{\text{card}(\Omega)}$ .

💡 À retenir : L'indépendance est la clé pour simplifier le calcul.

Si les événements sont indépendants, $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
Sinon, on utilise le dénombrement : $P(A \cap B) = \frac{\text{card}(A \cap B)}{\text{card}(\Omega)}$.

💡 À retenir : L'indépendance est la clé pour simplifier le calcul.

Que signifie n! (factorielle) ?

C'est le produit des entiers de 1 à $n$ . Par exemple, $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ .

💡 À retenir : $n! = n \times (n-1)!$ et $0! = 1$ .

C'est le produit des entiers de 1 à $n$. Par exemple, $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

💡 À retenir : $n! = n \times (n-1)!$ et $0! = 1$.

Est-ce que la somme des probabilités est toujours égale à 1 ?

Oui, la somme des probabilités de tous les événements élémentaires de l'univers $\Omega$ est égale à 1. C'est la condition de normalisation.

💡 À retenir : $\sum P(\omega_i) = 1$ .

Oui, la somme des probabilités de tous les événements élémentaires de l'univers $\Omega$ est égale à 1. C'est la condition de normalisation.

💡 À retenir : $\sum P(\omega_i) = 1$.

Comment traiter un tirage avec remise ?

Dans ce cas, le nombre de choix à chaque étape reste constant ( $n$ ). Pour $k$ tirages, le nombre total de possibilités est $n^k$ .

💡 À retenir : Avec remise = puissance ( $n^k$ ).

Dans ce cas, le nombre de choix à chaque étape reste constant ($n$). Pour $k$ tirages, le nombre total de possibilités est $n^k$.

💡 À retenir : Avec remise = puissance ($n^k$).

Est-ce qu'on peut avoir une probabilité supérieure à 1 ?

Non, une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 inclus. Si tu trouves un résultat supérieur à 1, c'est qu'il y a une erreur de calcul.

💡 À retenir : $0 \leq P(A) \leq 1$ .

Non, une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 inclus. Si tu trouves un résultat supérieur à 1, c'est qu'il y a une erreur de calcul.

💡 À retenir : $0 \leq P(A) \leq 1$.

Comment calculer P(A cup B) ?

On utilise la formule : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .

💡 À retenir : Ne pas oublier de soustraire l'intersection pour ne pas compter deux fois les éléments communs.

On utilise la formule : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

💡 À retenir : Ne pas oublier de soustraire l'intersection pour ne pas compter deux fois les éléments communs.

Est-ce que le tirage successif avec remise est un arrangement ?

Non, ce n'est pas un arrangement car les éléments peuvent se répéter. On utilise $n^k$ et non $A_n^k$ .

💡 À retenir : Arrangement = sans répétition.

Non, ce n'est pas un arrangement car les éléments peuvent se répéter. On utilise $n^k$ et non $A_n^k$.

💡 À retenir : Arrangement = sans répétition.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules blanches. On tire simultanément 3 boules.

Calculer le nombre de tirages possibles.
Calculer la probabilité d'obtenir 2 boules rouges et 1 boule blanche.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

On lance un dé équilibré à 6 faces deux fois de suite.

Quel est le nombre de résultats possibles ?
Quelle est la probabilité que la somme des deux lancers soit égale à 4 ?

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Exercice 3

Une urne contient 4 boules noires et 6 boules blanches. On tire 3 boules successivement sans remise.

Calculer la probabilité d'obtenir au moins une boule noire.

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