Mathématiques · Prépa concours post-bac — ENA Architecture

Transformations du plan

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Les transformations du plan étudiées sont :

Translation $t_{\vec{u}}$ : $M' = t_{\vec{u}}(M) \iff \vec{MM'} = \vec{u}$ .
Homothétie $h(\Omega, k)$ : $M' = h(M) \iff \vec{\Omega M'} = k\vec{\Omega M}$ .
Rotation $r(\Omega, \theta)$ : $M' = r(M) \iff \Omega M = \Omega M'$ et $(\vec{\Omega M}, \vec{\Omega M'}) \equiv \theta [2\pi]$ .
Réflexion $s_{\Delta}$ : $M'$ est le symétrique de $M$ par rapport à la droite $\Delta$ .

Méthodes à maîtriser

Utiliser les complexes : $z' = z + b$ (translation), $z' = az + b$ (homothétie/rotation).
Déterminer la nature d'une transformation à partir de son écriture complexe $z' = az + b$ .
Composer deux transformations : appliquer l'une après l'autre.

Exemples corrigés

Soit $r$ la rotation de centre $\Omega(1+i)$ et d'angle $\pi/2$ . L'image de $M(z)$ est $z' - \omega = e^{i\pi/2}(z - \omega)$ .
$z' = i(z - (1+i)) + (1+i) = iz - i + 1 + 1 + i = iz + 2$ .

Erreurs fréquentes

Confondre le centre et le point invariant.
Oublier le modulo $2\pi$ dans les angles de rotation.
Inverser l'ordre dans la composée $f \circ g$ (on applique $g$ d'abord).

L'essentiel du cours

Les transformations du plan étudiées sont :

Translation $t_{\vec{u}}$ : $M' = t_{\vec{u}}(M) \iff \vec{MM'} = \vec{u}$.
Homothétie $h(\Omega, k)$ : $M' = h(M) \iff \vec{\Omega M'} = k\vec{\Omega M}$.
Rotation $r(\Omega, \theta)$ : $M' = r(M) \iff \Omega M = \Omega M'$ et $(\vec{\Omega M}, \vec{\Omega M'}) \equiv \theta [2\pi]$.
Réflexion $s_{\Delta}$ : $M'$ est le symétrique de $M$ par rapport à la droite $\Delta$.

Méthodes à maîtriser

Utiliser les complexes : $z' = z + b$ (translation), $z' = az + b$ (homothétie/rotation).
Déterminer la nature d'une transformation à partir de son écriture complexe $z' = az + b$.
Composer deux transformations : appliquer l'une après l'autre.

Exemples corrigés

Soit $r$ la rotation de centre $\Omega(1+i)$ et d'angle $\pi/2$. L'image de $M(z)$ est $z' - \omega = e^{i\pi/2}(z - \omega)$.
$z' = i(z - (1+i)) + (1+i) = iz - i + 1 + 1 + i = iz + 2$.

Erreurs fréquentes

Confondre le centre et le point invariant.
Oublier le modulo $2\pi$ dans les angles de rotation.
Inverser l'ordre dans la composée $f \circ g$ (on applique $g$ d'abord).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Transformations du plan

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L'écriture complexe $z' = z + 2 + 3i$ représente :

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach l-écriture z' = az + b hiya rotation awla homothétie ?

Ila kan $|a| = 1$ et $a \neq 1$ , c'est une rotation d'angle $\text{arg}(a)$ .
Ila kan $a \in \mathbb{R} \setminus \{1\}$ , c'est une homothétie de rapport $a$ .
Ila kan $a = 1$ , c'est une translation.

💡 À retenir : Le module de $a$ détermine la nature de la similitude directe.

Ila kan $|a| = 1$ et $a \neq 1$, c'est une rotation d'angle $\text{arg}(a)$.
Ila kan $a \in \mathbb{R} \setminus {1}$, c'est une homothétie de rapport $a$.
Ila kan $a = 1$, c'est une translation.

💡 À retenir : Le module de $a$ détermine la nature de la similitude directe.

Chno hiya l-farq bin l-homothétie o l-rotation ?

L-homothétie katbeddel l-masafa b-rapport $k$ (kibqa l-ittijah nafso awla l-3aks).
L-rotation katbeddel l-ittijah b-zawya $\theta$ (katbqa l-masafa bin l-markaz o l-noqta tabta).

💡 À retenir : L'homothétie conserve les directions, la rotation les change.

L-homothétie katbeddel l-masafa b-rapport $k$ (kibqa l-ittijah nafso awla l-3aks).
L-rotation katbeddel l-ittijah b-zawya $\theta$ (katbqa l-masafa bin l-markaz o l-noqta tabta).

💡 À retenir : L'homothétie conserve les directions, la rotation les change.

Kifach n-lqa l-markaz dyal chi transformation z' = az + b ?

L-markaz $\Omega$ howa l-noqta li kat-t-bqa f blast-ha, ya3ni $z_{\Omega} = az_{\Omega} + b$ .
7el l-mo3adala $z(1-a) = b$ .
$z_{\Omega} = \frac{b}{1-a}$ .

💡 À retenir : Le point invariant vérifie toujours $f(z) = z$ .

L-markaz $\Omega$ howa l-noqta li kat-t-bqa f blast-ha, ya3ni $z_{\Omega} = az_{\Omega} + b$.
7el l-mo3adala $z(1-a) = b$.
$z_{\Omega} = \frac{b}{1-a}$.

💡 À retenir : Le point invariant vérifie toujours $f(z) = z$.

Quelle est l'image d'une droite par une homothétie ?

L'image d'une droite par une homothétie est une droite parallèle à la droite initiale.

💡 À retenir : L'homothétie conserve le parallélisme.

Comment composer deux translations ?

La composée de deux translations de vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est une translation de vecteur $\vec{u} + \vec{v}$ .

💡 À retenir : La somme des vecteurs donne le vecteur résultant.

La composée de deux translations de vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est une translation de vecteur $\vec{u} + \vec{v}$.

💡 À retenir : La somme des vecteurs donne le vecteur résultant.

Est-ce qu'une rotation conserve les aires ?

Oui, la rotation est une isométrie, donc elle conserve les distances, les angles et les aires.

💡 À retenir : Les isométries ne déforment pas les figures.

Comment trouver l'angle d'une rotation à partir de z' = az + b ?

Écrire $a$ sous forme exponentielle $a = |a|e^{i\theta}$ .
Comme c'est une rotation, $|a|=1$ , donc $a = e^{i\theta}$ .
L'angle est $\theta$ .

💡 À retenir : L'argument du coefficient $a$ est l'angle de la rotation.

Écrire $a$ sous forme exponentielle $a = |a|e^{i\theta}$.
Comme c'est une rotation, $|a|=1$, donc $a = e^{i\theta}$.
L'angle est $\theta$.

💡 À retenir : L'argument du coefficient $a$ est l'angle de la rotation.

Est-ce que la composée de deux rotations est toujours une rotation ?

Pas forcément. Si la somme des angles est un multiple de $2\pi$ , la composée peut être une translation.

💡 À retenir : Vérifiez toujours la somme des angles.

Pas forcément. Si la somme des angles est un multiple de $2\pi$, la composée peut être une translation.

💡 À retenir : Vérifiez toujours la somme des angles.

Qu'est-ce qu'un point invariant ?

C'est un point $M$ tel que $f(M) = M$ . Il ne bouge pas lors de la transformation.

💡 À retenir : Le centre d'une rotation ou d'une homothétie est son unique point invariant.

C'est un point $M$ tel que $f(M) = M$. Il ne bouge pas lors de la transformation.

💡 À retenir : Le centre d'une rotation ou d'une homothétie est son unique point invariant.

Comment démontrer qu'un triangle est équilatéral avec les transformations ?

Il suffit de montrer qu'il existe une rotation de centre l'un des sommets et d'angle $\pi/3$ ou $-\pi/3$ qui transforme un sommet en un autre.

💡 À retenir : La rotation de $60^\circ$ transforme un côté en un autre de même longueur.

Il suffit de montrer qu'il existe une rotation de centre l'un des sommets et d'angle $\pi/3$ ou $-\pi/3$ qui transforme un sommet en un autre.

💡 À retenir : La rotation de $60^\circ$ transforme un côté en un autre de même longueur.

Est-ce que l'homothétie de rapport -1 est une symétrie centrale ?

Oui, l'homothétie de rapport -1 et de centre $\Omega$ est la symétrie centrale de centre $\Omega$ .

💡 À retenir : $h(\Omega, -1) = s_{\Omega}$ .

Oui, l'homothétie de rapport -1 et de centre $\Omega$ est la symétrie centrale de centre $\Omega$.

💡 À retenir : $h(\Omega, -1) = s_{\Omega}$.

Comment calculer l'image d'un cercle par une homothétie ?

L'image d'un cercle de centre $O$ et de rayon $R$ par $h(\Omega, k)$ est un cercle de centre $O' = h(O)$ et de rayon $R' = |k|R$ .

💡 À retenir : Le rayon est multiplié par la valeur absolue du rapport.

L'image d'un cercle de centre $O$ et de rayon $R$ par $h(\Omega, k)$ est un cercle de centre $O' = h(O)$ et de rayon $R' = |k|R$.

💡 À retenir : Le rayon est multiplié par la valeur absolue du rapport.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ l'application qui à tout point $M(z)$ associe $M'(z')$ tel que $z' = iz + 1 - i$ .

Déterminer la nature de $f$ et ses éléments caractéristiques.
Déterminer l'image du point $A(1+i)$ par $f$ .

Exercice 1

Soit $f$ l'application qui à tout point $M(z)$ associe $M'(z')$ tel que $z' = iz + 1 - i$.

Déterminer la nature de $f$ et ses éléments caractéristiques.
Déterminer l'image du point $A(1+i)$ par $f$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $h$ l'homothétie de centre $\Omega(i)$ et de rapport $k = -2$ .

Donner l'écriture complexe de $h$ .
Soit $B$ le point d'affixe $1$ . Calculer l'affixe de $B' = h(B)$ .

Exercice 2

Soit $h$ l'homothétie de centre $\Omega(i)$ et de rapport $k = -2$.

Donner l'écriture complexe de $h$.
Soit $B$ le point d'affixe $1$. Calculer l'affixe de $B' = h(B)$.

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Exercice 3

Soit $t$ la translation de vecteur $\vec{u}$ d'affixe $1+2i$ .

Donner l'expression de $t(z)$ .
Soit $D$ la droite d'équation $x - y + 1 = 0$ . Déterminer l'équation de $D' = t(D)$ .

Exercice 3

Soit $t$ la translation de vecteur $\vec{u}$ d'affixe $1+2i$.

Donner l'expression de $t(z)$.
Soit $D$ la droite d'équation $x - y + 1 = 0$. Déterminer l'équation de $D' = t(D)$.

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