Mathématiques · Prépa concours post-bac — ENA Architecture

Fonctions logarithmes et exponentielles

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Logarithme népérien ( $\ln$ ) : Fonction définie sur $]0, +\infty[$ , $\ln(1)=0$ , $\ln(e)=1$ . $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ et $\ln(a^r) = r \ln a$ .
Exponentielle ( $\exp$ ) : Fonction définie sur $\mathbb{R}$ , réciproque de $\ln$ . $e^0=1$ , $e^1=e$ . $e^{a+b} = e^a \times e^b$ et $(e^a)^b = e^{ab}$ .
Limites fondamentales : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ , $\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$ , $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$ , $\lim_{x \to -\infty} x e^x = 0$ .

Méthodes à maîtriser

Résoudre $e^{f(x)} = k$ en passant par $\ln$ : $f(x) = \ln k$ (si $k>0$ ).
Résoudre $\ln(f(x)) = k$ en passant par $\exp$ : $f(x) = e^k$ .
Étude de signe : Utiliser la croissance des fonctions pour comparer les expressions.

Exemples corrigés

Résoudre $\ln(x) + \ln(x-1) = \ln(2)$ : Domaine $x>1$ . $\ln(x(x-1)) = \ln(2) \Rightarrow x^2-x-2=0$ . Solutions $x=2$ ou $x=-1$ . Seul $x=2$ est valide.
Dérivée de $f(x) = e^{x^2}$ : $f'(x) = (x^2)' e^{x^2} = 2x e^{x^2}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le domaine de définition avant de résoudre une équation avec $\ln$ .
Confondre $\ln(a+b)$ avec $\ln a + \ln b$ (c'est faux !).
Oublier que $e^x$ est toujours strictement positif.

L'essentiel du cours

Logarithme népérien ($\ln$) : Fonction définie sur $]0, +\infty[$, $\ln(1)=0$, $\ln(e)=1$. $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ et $\ln(a^r) = r \ln a$.
Exponentielle ($\exp$) : Fonction définie sur $\mathbb{R}$, réciproque de $\ln$. $e^0=1$, $e^1=e$. $e^{a+b} = e^a \times e^b$ et $(e^a)^b = e^{ab}$.
Limites fondamentales : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$, $\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$, $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$, $\lim_{x \to -\infty} x e^x = 0$.

Méthodes à maîtriser

Résoudre $e^{f(x)} = k$ en passant par $\ln$ : $f(x) = \ln k$ (si $k>0$).
Résoudre $\ln(f(x)) = k$ en passant par $\exp$ : $f(x) = e^k$.
Étude de signe : Utiliser la croissance des fonctions pour comparer les expressions.

Exemples corrigés

Résoudre $\ln(x) + \ln(x-1) = \ln(2)$ : Domaine $x>1$. $\ln(x(x-1)) = \ln(2) \Rightarrow x^2-x-2=0$. Solutions $x=2$ ou $x=-1$. Seul $x=2$ est valide.
Dérivée de $f(x) = e^{x^2}$ : $f'(x) = (x^2)' e^{x^2} = 2x e^{x^2}$.

Erreurs fréquentes

Oublier le domaine de définition avant de résoudre une équation avec $\ln$.
Confondre $\ln(a+b)$ avec $\ln a + \ln b$ (c'est faux !).
Oublier que $e^x$ est toujours strictement positif.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Fonctions logarithmes et exponentielles

1/4

La valeur de $\ln(e^2)$ est :

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref domaine de définition dial ln(u(x)) ?

Il faut que l'expression à l'intérieur du logarithme soit strictement positive.
Tu dois résoudre l'inéquation $u(x) > 0$ .
L'ensemble des solutions est ton domaine de définition $D_f$ .

💡 À retenir : $\ln(u(x))$ existe si et seulement si $u(x) > 0$ .

Il faut que l'expression à l'intérieur du logarithme soit strictement positive.
Tu dois résoudre l'inéquation $u(x) > 0$.
L'ensemble des solutions est ton domaine de définition $D_f$.

💡 À retenir : $\ln(u(x))$ existe si et seulement si $u(x) > 0$.

Wach e^x katkon 3emmerha kat-sawi 0 ?

Non, la fonction exponentielle est strictement positive sur tout son domaine de définition $\mathbb{R}$ .
Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $e^x > 0$ .

💡 À retenir : L'équation $e^x = 0$ n'admet aucune solution réelle.

Non, la fonction exponentielle est strictement positive sur tout son domaine de définition $\mathbb{R}$.
Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $e^x > 0$.

💡 À retenir : L'équation $e^x = 0$ n'admet aucune solution réelle.

Kifach n-calculi lim{x to +infty} frac{e^x}{x^2} ?

Utilise les croissances comparées.
On sait que $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ pour tout $n > 0$ .
Ici $n=2$ , donc la limite est $+\infty$ .

💡 À retenir : L'exponentielle l'emporte toujours sur n'importe quelle puissance de $x$ au voisinage de $+\infty$ .

Utilise les croissances comparées.
On sait que $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ pour tout $n > 0$.
Ici $n=2$, donc la limite est $+\infty$.

💡 À retenir : L'exponentielle l'emporte toujours sur n'importe quelle puissance de $x$ au voisinage de $+\infty$.

Quelle est la dérivée de ln(x^2+1) ?

On utilise la formule $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ .
Ici $u = x^2+1$ , donc $u' = 2x$ .
La dérivée est $\frac{2x}{x^2+1}$ .

💡 À retenir : Toujours dériver l'intérieur du logarithme et le diviser par l'expression originale.

On utilise la formule $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$.
Ici $u = x^2+1$, donc $u' = 2x$.
La dérivée est $\frac{2x}{x^2+1}$.

💡 À retenir : Toujours dériver l'intérieur du logarithme et le diviser par l'expression originale.

Comment résoudre e^{2x} - 3e^x + 2 = 0 ?

Pose $X = e^x$ avec $X > 0$ .
L'équation devient $X^2 - 3X + 2 = 0$ .
Résous l'équation du second degré : $X=1$ ou $X=2$ .
Reviens à $x$ : $e^x = 1 \Rightarrow x=0$ et $e^x = 2 \Rightarrow x=\ln 2$ .

💡 À retenir : Le changement de variable transforme une équation exponentielle en équation polynomiale.

Pose $X = e^x$ avec $X > 0$.
L'équation devient $X^2 - 3X + 2 = 0$.
Résous l'équation du second degré : $X=1$ ou $X=2$.
Reviens à $x$ : $e^x = 1 \Rightarrow x=0$ et $e^x = 2 \Rightarrow x=\ln 2$.

💡 À retenir : Le changement de variable transforme une équation exponentielle en équation polynomiale.

Est-ce que ln(x^2) = 2ln x ?

C'est vrai seulement si $x > 0$ .
Si $x < 0$ , $x^2$ est positif mais $\ln x$ n'existe pas.
La formule générale est $\ln(x^2) = 2\ln|x|$ .

💡 À retenir : Attention au signe de $x$ lors de l'utilisation des propriétés des puissances.

C'est vrai seulement si $x > 0$.
Si $x < 0$, $x^2$ est positif mais $\ln x$ n'existe pas.
La formule générale est $\ln(x^2) = 2\ln|x|$.

💡 À retenir : Attention au signe de $x$ lors de l'utilisation des propriétés des puissances.

Quelle est la primitive de f(x) = frac{1}{x} ?

La primitive est $\ln|x| + C$ .
On met la valeur absolue car le domaine de définition de $1/x$ inclut les nombres négatifs.

💡 À retenir : Ne jamais oublier la valeur absolue pour la primitive de $1/x$ .

La primitive est $\ln|x| + C$.
On met la valeur absolue car le domaine de définition de $1/x$ inclut les nombres négatifs.

💡 À retenir : Ne jamais oublier la valeur absolue pour la primitive de $1/x$.

Comment étudier le signe de f(x) = x - ln x ?

Étudie les variations de $f$ en calculant $f'(x) = 1 - 1/x = \frac{x-1}{x}$ .
$f'(x) = 0$ pour $x=1$ .
Calcule le minimum $f(1) = 1 - \ln(1) = 1$ .
Comme le minimum est 1, alors $f(x) > 0$ pour tout $x > 0$ .

💡 À retenir : L'étude de fonction est l'outil le plus puissant pour déterminer le signe d'une expression.

Étudie les variations de $f$ en calculant $f'(x) = 1 - 1/x = \frac{x-1}{x}$.
$f'(x) = 0$ pour $x=1$.
Calcule le minimum $f(1) = 1 - \ln(1) = 1$.
Comme le minimum est 1, alors $f(x) > 0$ pour tout $x > 0$.

💡 À retenir : L'étude de fonction est l'outil le plus puissant pour déterminer le signe d'une expression.

Est-ce que ln(e^x) = x pour tout x ?

Oui, car $\ln$ et $\exp$ sont des fonctions réciproques.
La composée $\ln \circ \exp$ est l'identité sur $\mathbb{R}$ .

💡 À retenir : $\ln(e^x) = x$ et $e^{\ln x} = x$ (pour $x>0$ ).

Oui, car $\ln$ et $\exp$ sont des fonctions réciproques.
La composée $\ln \circ \exp$ est l'identité sur $\mathbb{R}$.

💡 À retenir : $\ln(e^x) = x$ et $e^{\ln x} = x$ (pour $x>0$).

Comment lever une indétermination du type infty - infty avec ln ?

Factorise par le terme dominant.
Exemple : $\ln x - x = x(\frac{\ln x}{x} - 1)$ .
Utilise la limite connue $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ .

💡 À retenir : La factorisation est la clé pour les formes indéterminées.

Factorise par le terme dominant.
Exemple : $\ln x - x = x(\frac{\ln x}{x} - 1)$.
Utilise la limite connue $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$.

💡 À retenir : La factorisation est la clé pour les formes indéterminées.

Est-ce que (ln x)^2 = ln(x^2) ?

Non. $(\ln x)^2$ est le carré du logarithme.
$\ln(x^2) = 2\ln x$ (pour $x>0$ ).

💡 À retenir : Ne confondez jamais la puissance de la fonction avec la puissance de l'argument.

Non. $(\ln x)^2$ est le carré du logarithme.
$\ln(x^2) = 2\ln x$ (pour $x>0$).

💡 À retenir : Ne confondez jamais la puissance de la fonction avec la puissance de l'argument.

Pourquoi lim{x to -infty} e^x = 0 ?

Car $e^x = \frac{1}{e^{-x}}$ .
Quand $x \to -\infty$ , $-x \to +\infty$ , donc $e^{-x} \to +\infty$ .
$1 / (+\infty)$ tend vers 0.

💡 À retenir : L'axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe de l'exponentielle en $-\infty$ .

Car $e^x = \frac{1}{e^{-x}}$.
Quand $x \to -\infty$, $-x \to +\infty$, donc $e^{-x} \to +\infty$.
$1 / (+\infty)$ tend vers 0.

💡 À retenir : L'axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe de l'exponentielle en $-\infty$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = x - \ln x$ .

Calculer les limites de $f$ aux bornes de son domaine.
Dresser le tableau de variations de $f$ .
Montrer que pour tout $x \in ]0, +\infty[$ , $f(x) \geq 1$ .

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = x - \ln x$.

Calculer les limites de $f$ aux bornes de son domaine.
Dresser le tableau de variations de $f$.
Montrer que pour tout $x \in ]0, +\infty[$, $f(x) \geq 1$.

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Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $e^{2x} - 4e^x + 3 = 0$ .

Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $e^{2x} - 4e^x + 3 = 0$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Déterminer la primitive $F$ de la fonction $f(x) = \frac{e^x}{e^x + 1}$ sur $\mathbb{R}$ telle que $F(0) = \ln 2$ .

Exercice 3

Déterminer la primitive $F$ de la fonction $f(x) = \frac{e^x}{e^x + 1}$ sur $\mathbb{R}$ telle que $F(0) = \ln 2$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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