Mathématiques · Prépa concours post-bac — ENA Architecture

Dénombrement et probabilités

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Cardinal d'un ensemble : Nombre d'éléments d'un ensemble fini $E$ , noté $card(E)$ .
Principe multiplicatif : Si une expérience se décompose en $k$ étapes, le nombre total est le produit des possibilités de chaque étape.
Arrangements : $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ (ordre important, sans répétition).
Combinaisons : $C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ (ordre non important).
Probabilité : $P(A) = \frac{card(A)}{card(\Omega)}$ .
Propriétés : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ , $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .
Probabilité conditionnelle : $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ avec $P(A) > 0$ .

Méthodes à maîtriser

Choisir le modèle : Tirage successif avec remise (puissance), sans remise (arrangement), simultané (combinaison).
Utiliser l'événement contraire : Très utile quand on voit "au moins un".
Arbre de probabilités : Indispensable pour les probabilités conditionnelles.
Formule des probabilités totales : $P(B) = P(B \cap A) + P(B \cap \bar{A}) = P(A)P_A(B) + P(\bar{A})P_{\bar{A}}(B)$ .

Exemples corrigés

Tirage de 3 boules parmi 10 simultanément : $card(\Omega) = C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ .
Probabilité d'avoir au moins une boule blanche : $P(A) = 1 - P(\bar{A})$ où $\bar{A}$ est l'événement "aucune boule blanche".

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^k$ et $C_n^k$ (l'ordre compte-t-il ?).
Oublier de diviser par $card(\Omega)$ dans le calcul de probabilité.
Utiliser $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ sans vérifier si les événements sont indépendants.

L'essentiel du cours

Cardinal d'un ensemble : Nombre d'éléments d'un ensemble fini $E$, noté $card(E)$.
Principe multiplicatif : Si une expérience se décompose en $k$ étapes, le nombre total est le produit des possibilités de chaque étape.
Arrangements : $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ (ordre important, sans répétition).
Combinaisons : $C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ (ordre non important).
Probabilité : $P(A) = \frac{card(A)}{card(\Omega)}$.
Propriétés : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$, $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
Probabilité conditionnelle : $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ avec $P(A) > 0$.

Méthodes à maîtriser

Choisir le modèle : Tirage successif avec remise (puissance), sans remise (arrangement), simultané (combinaison).
Utiliser l'événement contraire : Très utile quand on voit "au moins un".
Arbre de probabilités : Indispensable pour les probabilités conditionnelles.
Formule des probabilités totales : $P(B) = P(B \cap A) + P(B \cap \bar{A}) = P(A)P_A(B) + P(\bar{A})P_{\bar{A}}(B)$.

Exemples corrigés

Tirage de 3 boules parmi 10 simultanément : $card(\Omega) = C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$.
Probabilité d'avoir au moins une boule blanche : $P(A) = 1 - P(\bar{A})$ où $\bar{A}$ est l'événement "aucune boule blanche".

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^k$ et $C_n^k$ (l'ordre compte-t-il ?).
Oublier de diviser par $card(\Omega)$ dans le calcul de probabilité.
Utiliser $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ sans vérifier si les événements sont indépendants.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Dénombrement et probabilités

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❓ Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un tirage simultané ?

Un tirage simultané signifie qu'on prend plusieurs objets en même temps. L'ordre n'a aucune importance. On utilise toujours les combinaisons ( $C_n^k$ ).

💡 À retenir : Simultané = Combinaison = Pas d'ordre.

Un tirage simultané signifie qu'on prend plusieurs objets en même temps. L'ordre n'a aucune importance. On utilise toujours les combinaisons ($C_n^k$).

💡 À retenir : Simultané = Combinaison = Pas d'ordre.

Kifach n3ref wach nst3mel An^k wla Cn^k ?

Chouf wach l-ordre mhm (exemple: l-awwal, t-tani, l-talit) -> $A_n^k$ .
Chouf wach l-ordre ma mhmch (exemple: ghir majmo3a) -> $C_n^k$ .

💡 À retenir : L'ordre est la clé : "Arrangement" = "Ordre".

Chouf wach l-ordre mhm (exemple: l-awwal, t-tani, l-talit) -> $A_n^k$.
Chouf wach l-ordre ma mhmch (exemple: ghir majmo3a) -> $C_n^k$.

💡 À retenir : L'ordre est la clé : "Arrangement" = "Ordre".

C'est quoi la différence entre tirage avec et sans remise ?

Avec remise : Le nombre de choix reste constant à chaque étape ( $n^k$ ).
Sans remise : Le nombre de choix diminue à chaque étape ( $A_n^k$ ).

💡 À retenir : Avec remise = puissance ; Sans remise = factorielle/arrangement.

Avec remise : Le nombre de choix reste constant à chaque étape ($n^k$).
Sans remise : Le nombre de choix diminue à chaque étape ($A_n^k$).

💡 À retenir : Avec remise = puissance ; Sans remise = factorielle/arrangement.

Chno hiya l-far9 bin l-i7timal l-3adi w l-i7timal l-chorti ?

L-i7timal l-3adi kayt7seb 3la l-univers kaml. L-i7timal l-chorti kayt7seb ghir 3la wa7d l-joz' mn l-univers (li 3arfino wo9e3).

💡 À retenir : Conditionnel = on réduit l'univers de départ.

Comment calculer la probabilité d'un événement contraire ?

Il suffit de calculer $1 - P(A)$ . C'est souvent plus rapide quand l'énoncé contient "au moins un".

💡 À retenir : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ .

Il suffit de calculer $1 - P(A)$. C'est souvent plus rapide quand l'énoncé contient "au moins un".

💡 À retenir : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.

Kifach nkhdem b chajara dyal l-i7timalat ?

Dir l-ghosn l-awwal b l-i7timalat dyal l-tajriba l-awla.
Dir l-ghosn t-tani b l-i7timalat dyal t-tajriba t-tanya (li katkon chortiya).
Darb l-i7timalat f tri9 wa7d.

💡 À retenir : Les branches se multiplient, les nœuds s'additionnent.

Est-ce que P(A cap B) = P(A) times P(B) est toujours vrai ?

Non, seulement si les événements sont indépendants. Sinon, il faut utiliser $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ .

💡 À retenir : Indépendance = Multiplication directe.

Non, seulement si les événements sont indépendants. Sinon, il faut utiliser $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$.

💡 À retenir : Indépendance = Multiplication directe.

C'est quoi le cardinal de l'univers ?

C'est le nombre total de résultats possibles de l'expérience aléatoire. On le note $card(\Omega)$ .

💡 À retenir : C'est le dénominateur dans la formule de probabilité.

C'est le nombre total de résultats possibles de l'expérience aléatoire. On le note $card(\Omega)$.

💡 À retenir : C'est le dénominateur dans la formule de probabilité.

Chno hiya l-formula dyal l-i7timalat l-koliya ?

$P(B) = P(A) \times P_A(B) + P(\bar{A}) \times P_{\bar{A}}(B)$ . On l'utilise quand $B$ dépend de deux cas incompatibles $A$ et $\bar{A}$ .

💡 À retenir : C'est la somme des chemins qui mènent à $B$ .

$P(B) = P(A) \times P_A(B) + P(\bar{A}) \times P_{\bar{A}}(B)$. On l'utilise quand $B$ dépend de deux cas incompatibles $A$ et $\bar{A}$.

💡 À retenir : C'est la somme des chemins qui mènent à $B$.

Pourquoi on utilise n! ?

$n!$ représente le nombre de façons de ranger $n$ objets distincts dans un ordre précis.

💡 À retenir : $n! = n \times (n-1) \times ... \times 1$ .

$n!$ représente le nombre de façons de ranger $n$ objets distincts dans un ordre précis.

💡 À retenir : $n! = n \times (n-1) \times ... \times 1$.

Est-ce que l'ordre des boules tirées compte dans un tirage simultané ?

Non, car on les prend toutes en même temps, donc on ne peut pas dire laquelle est la première ou la deuxième.

💡 À retenir : Simultané = Combinaison.

Kifach n7seb Cn^k ila kan k n ?

C'est impossible, donc $C_n^k = 0$ . On ne peut pas choisir plus d'objets qu'il n'y en a dans l'urne.

💡 À retenir : $k \leq n$ toujours.

C'est impossible, donc $C_n^k = 0$. On ne peut pas choisir plus d'objets qu'il n'y en a dans l'urne.

💡 À retenir : $k \leq n$ toujours.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules bleues. On tire simultanément 3 boules.

Calculer le nombre de tirages possibles.
Calculer la probabilité d'obtenir 2 boules rouges et 1 boule bleue.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Une urne contient 4 boules blanches et 2 boules noires. On tire 2 boules successivement sans remise.

Calculer la probabilité d'obtenir deux boules de même couleur.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Un sac contient 3 jetons numérotés 1, 2, 3. On tire deux jetons successivement avec remise.

Déterminer l'univers $\Omega$ .
Calculer la probabilité que la somme des jetons soit paire.

Exercice 3

Un sac contient 3 jetons numérotés 1, 2, 3. On tire deux jetons successivement avec remise.

Déterminer l'univers $\Omega$.
Calculer la probabilité que la somme des jetons soit paire.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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