Mathématiques · Prépa concours post-bac — ENA Architecture

Suites numériques

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Définition : Une suite $(u_n)_{n \in I}$ est une fonction définie sur une partie de $\mathbb{N}$ .
Suites arithmétiques : $u_{n+1} = u_n + r$ . Terme général : $u_n = u_p + (n-p)r$ .
Suites géométriques : $u_{n+1} = q \cdot u_n$ . Terme général : $u_n = u_p \cdot q^{n-p}$ .
Monotonie : Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ .
Convergence : Une suite convergente a une limite finie $L$ . Toute suite croissante et majorée est convergente.

Méthodes à maîtriser

Raisonnement par récurrence : Initialisation, Hérédité, Conclusion.
Calcul de limite : Utiliser les théorèmes de comparaison ou de convergence monotone.
Sommes : Utiliser les formules des sommes de termes consécutifs (arithmétique ou géométrique).

Exemples corrigés

Récurrence : Montrer que $u_n > 0$ . Initialisation : $u_0 > 0$ . Hérédité : Supposons $u_n > 0$ , alors $u_{n+1} = f(u_n) > 0$ .
Limite : Si $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ et $(u_n)$ convergente, alors $L = \sqrt{L+2} \implies L^2 - L - 2 = 0$ .

Erreurs fréquentes

Oublier l'initialisation dans la récurrence.
Confondre $u_n$ et $u_{n+1}$ dans le calcul de la monotonie.
Appliquer la formule de la somme sans vérifier le nombre de termes : $(n - p + 1)$ .

L'essentiel du cours

Définition : Une suite $(u_n)_{n \in I}$ est une fonction définie sur une partie de $\mathbb{N}$.
Suites arithmétiques : $u_{n+1} = u_n + r$. Terme général : $u_n = u_p + (n-p)r$.
Suites géométriques : $u_{n+1} = q \cdot u_n$. Terme général : $u_n = u_p \cdot q^{n-p}$.
Monotonie : Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$.
Convergence : Une suite convergente a une limite finie $L$. Toute suite croissante et majorée est convergente.

Méthodes à maîtriser

Raisonnement par récurrence : Initialisation, Hérédité, Conclusion.
Calcul de limite : Utiliser les théorèmes de comparaison ou de convergence monotone.
Sommes : Utiliser les formules des sommes de termes consécutifs (arithmétique ou géométrique).

Exemples corrigés

Récurrence : Montrer que $u_n > 0$. Initialisation : $u_0 > 0$. Hérédité : Supposons $u_n > 0$, alors $u_{n+1} = f(u_n) > 0$.
Limite : Si $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ et $(u_n)$ convergente, alors $L = \sqrt{L+2} \implies L^2 - L - 2 = 0$.

Erreurs fréquentes

Oublier l'initialisation dans la récurrence.
Confondre $u_n$ et $u_{n+1}$ dans le calcul de la monotonie.
Appliquer la formule de la somme sans vérifier le nombre de termes : $(n - p + 1)$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Suites numériques

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La suite $u_n = 5n^2 + 1$ est :

❓ Questions fréquentes

Comment démontrer qu'une suite est croissante ?

Calcule la différence $d = u_{n+1} - u_n$ .
Étudie le signe de $d$ .
Si $d \geq 0$ , alors la suite est croissante.

💡 À retenir : Si $u_n > 0$ , tu peux aussi comparer le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1.

Calcule la différence $d = u_{n+1} - u_n$.
Étudie le signe de $d$.
Si $d \geq 0$, alors la suite est croissante.

💡 À retenir : Si $u_n > 0$, tu peux aussi comparer le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1.

Kifach n-bino b'tara3 (récurrence) ?

Initialisation : Vérifie la propriété pour le premier terme (souvent $n=0$ ).
Hérédité : Suppose que la propriété est vraie pour $n$ , et montre qu'elle est vraie pour $n+1$ .
Conclusion : La propriété est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

💡 À retenir : N'oublie jamais de citer l'hypothèse de récurrence dans l'étape 2.

Initialisation : Vérifie la propriété pour le premier terme (souvent $n=0$).
Hérédité : Suppose que la propriété est vraie pour $n$, et montre qu'elle est vraie pour $n+1$.
Conclusion : La propriété est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$.

💡 À retenir : N'oublie jamais de citer l'hypothèse de récurrence dans l'étape 2.

C'est quoi une suite majorée ?

Une suite $(u_n)$ est majorée s'il existe un réel $M$ tel que pour tout $n$ , $u_n \leq M$ .

💡 À retenir : $M$ ne dépend pas de $n$ .

Une suite $(u_n)$ est majorée s'il existe un réel $M$ tel que pour tout $n$, $u_n \leq M$.

💡 À retenir : $M$ ne dépend pas de $n$.

Chno hiya l'farq bin suite arithmétique o géométrique ?

Arithmétique : On passe d'un terme au suivant en ajoutant une constante $r$ ( $u_{n+1} = u_n + r$ ).
Géométrique : On multiplie par une constante $q$ ( $u_{n+1} = u_n \times q$ ).

💡 À retenir : Arithmétique = Addition ; Géométrique = Multiplication.

Arithmétique : On passe d'un terme au suivant en ajoutant une constante $r$ ($u_{n+1} = u_n + r$).
Géométrique : On multiplie par une constante $q$ ($u_{n+1} = u_n \times q$).

💡 À retenir : Arithmétique = Addition ; Géométrique = Multiplication.

Comment calculer la limite d'une suite définie par u{n+1} = f(un) ?

Si la suite est convergente vers $L$ , alors $L$ est solution de l'équation $f(L) = L$ .
Vérifie que $f$ est continue sur l'intervalle où se trouve la suite.

💡 À retenir : Il faut d'abord prouver que la suite converge (souvent par le théorème de convergence monotone).

Si la suite est convergente vers $L$, alors $L$ est solution de l'équation $f(L) = L$.
Vérifie que $f$ est continue sur l'intervalle où se trouve la suite.

💡 À retenir : Il faut d'abord prouver que la suite converge (souvent par le théorème de convergence monotone).

Kifach n-7seb la somme dyal suite géométrique ?

Utilise la formule : $S = \text{premier terme} \times \frac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}$ .

💡 À retenir : Le nombre de termes est (dernier indice - premier indice + 1).

Utilise la formule : $S = \text{premier terme} \times \frac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}$.

💡 À retenir : Le nombre de termes est (dernier indice - premier indice + 1).

Une suite bornée est-elle toujours convergente ?

Non. Exemple : $u_n = (-1)^n$ . Elle est bornée entre -1 et 1, mais elle n'a pas de limite.

💡 À retenir : Pour converger, il faut être monotone ET bornée.

Non. Exemple : $u_n = (-1)^n$. Elle est bornée entre -1 et 1, mais elle n'a pas de limite.

💡 À retenir : Pour converger, il faut être monotone ET bornée.

Peut-on utiliser la dérivée pour étudier la monotonie d'une suite ?

Oui, si $u_n = f(n)$ , alors le sens de variation de la suite est celui de la fonction $f$ sur $[0, +\infty[$ .

💡 À retenir : Si $f'(x) > 0$ , alors la suite est croissante.

Oui, si $u_n = f(n)$, alors le sens de variation de la suite est celui de la fonction $f$ sur $[0, +\infty[$.

💡 À retenir : Si $f'(x) > 0$, alors la suite est croissante.

Comment montrer qu'une suite est géométrique ?

Calcule le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ . Si tu trouves une constante $q$ indépendante de $n$ , alors elle est géométrique.

💡 À retenir : Vérifie bien que $u_n \neq 0$ pour tout $n$ .

Calcule le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$. Si tu trouves une constante $q$ indépendante de $n$, alors elle est géométrique.

💡 À retenir : Vérifie bien que $u_n \neq 0$ pour tout $n$.

Qu'est-ce qu'une suite divergente ?

C'est une suite qui n'admet pas de limite finie (soit elle tend vers $\pm \infty$ , soit elle n'a pas de limite du tout).

💡 À retenir : La plupart des suites divergentes au BAC tendent vers l'infini.

C'est une suite qui n'admet pas de limite finie (soit elle tend vers $\pm \infty$, soit elle n'a pas de limite du tout).

💡 À retenir : La plupart des suites divergentes au BAC tendent vers l'infini.

Est-ce que un doit commencer par n=0 ?

Non, une suite peut commencer par n'importe quel entier $n_0$ (souvent $n=0$ ou $n=1$ ).

💡 À retenir : Adapte les formules de somme et de terme général selon l'indice de départ.

Non, une suite peut commencer par n'importe quel entier $n_0$ (souvent $n=0$ ou $n=1$).

💡 À retenir : Adapte les formules de somme et de terme général selon l'indice de départ.

Pourquoi on dit "suite convergente" ?

Parce que les termes de la suite "convergent" (se rapprochent) vers une valeur précise $L$ quand $n$ devient très grand.

💡 À retenir : Plus $n$ est grand, plus $u_n$ est proche de $L$ .

Parce que les termes de la suite "convergent" (se rapprochent) vers une valeur précise $L$ quand $n$ devient très grand.

💡 À retenir : Plus $n$ est grand, plus $u_n$ est proche de $L$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1$ .

Montrer par récurrence que $u_n < 2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .
Étudier la monotonie de $(u_n)$ .
En déduire que $(u_n)$ est convergente et calculer sa limite.

Exercice 1

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1$.

Montrer par récurrence que $u_n < 2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Étudier la monotonie de $(u_n)$.
En déduire que $(u_n)$ est convergente et calculer sa limite.

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Exercice 2

Soit $(v_n)$ une suite géométrique de raison $q = 3$ et $v_0 = 2$ .

Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ .
Calculer la somme $S_n = v_0 + v_1 + ... + v_n$ .

Exercice 2

Soit $(v_n)$ une suite géométrique de raison $q = 3$ et $v_0 = 2$.

Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
Calculer la somme $S_n = v_0 + v_1 + ... + v_n$.

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Exercice 3

Soit $(w_n)$ définie par $w_{n+1} = w_n + 2n + 3$ et $w_0 = 1$ . Calculer $w_1, w_2, w_3$ .

Exercice 3

Soit $(w_n)$ définie par $w_{n+1} = w_n + 2n + 3$ et $w_0 = 1$. Calculer $w_1, w_2, w_3$.

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