Mathématiques · Prépa concours post-bac — ENA Architecture

Nombres complexes

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Définition : Un nombre complexe s'écrit $z = a + ib$ où $a, b \in \mathbb{R}$ et $i^2 = -1$ .
Module et Argument : $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$ et $\arg(z) \equiv \theta [2\pi]$ .
Formes :
- Algébrique : $z = a + ib$
- Trigonométrique : $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$
- Exponentielle : $z = re^{i\theta}$
Propriétés : $\overline{z_1+z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$ ; $|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$ ; $\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2) [2\pi]$ .

Méthodes à maîtriser

Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique (calculer le module, factoriser par $r$ ).
Résoudre $az^2 + bz + c = 0$ avec $\Delta < 0$ : les solutions sont $z = \frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$ .
Interprétation géométrique : $AB = |z_B - z_A|$ et $(\vec{u}, \vec{AB}) \equiv \arg\left(\frac{z_B - z_A}{z_A}\right) [2\pi]$ .

Exemples corrigés

Résolution : $z^2 - 2z + 2 = 0$ . $\Delta = 4 - 8 = -4 = (2i)^2$ . Solutions : $z_1 = \frac{2+2i}{2} = 1+i$ et $z_2 = 1-i$ .
Module : $|3+4i| = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25} = 5$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le $i$ dans la solution de l'équation du second degré quand $\Delta < 0$ .
Confondre $\arg(z_1 + z_2)$ avec $\arg(z_1) + \arg(z_2)$ (ce qui est faux).
Ne pas mettre le modulo $2\pi$ dans l'argument.

L'essentiel du cours

Définition : Un nombre complexe s'écrit $z = a + ib$ où $a, b \in \mathbb{R}$ et $i^2 = -1$.
Module et Argument : $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$ et $\arg(z) \equiv \theta [2\pi]$.
Formes :
- Algébrique : $z = a + ib$
- Trigonométrique : $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$
- Exponentielle : $z = re^{i\theta}$
Propriétés : $\overline{z_1+z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$ ; $|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$ ; $\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2) [2\pi]$.

Méthodes à maîtriser

Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique (calculer le module, factoriser par $r$).
Résoudre $az^2 + bz + c = 0$ avec $\Delta < 0$ : les solutions sont $z = \frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$.
Interprétation géométrique : $AB = |z_B - z_A|$ et $(\vec{u}, \vec{AB}) \equiv \arg\left(\frac{z_B - z_A}{z_A}\right) [2\pi]$.

Exemples corrigés

Résolution : $z^2 - 2z + 2 = 0$. $\Delta = 4 - 8 = -4 = (2i)^2$. Solutions : $z_1 = \frac{2+2i}{2} = 1+i$ et $z_2 = 1-i$.
Module : $|3+4i| = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25} = 5$.

Erreurs fréquentes

Oublier le $i$ dans la solution de l'équation du second degré quand $\Delta < 0$.
Confondre $\arg(z_1 + z_2)$ avec $\arg(z_1) + \arg(z_2)$ (ce qui est faux).
Ne pas mettre le modulo $2\pi$ dans l'argument.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Nombres complexes

1/4

Le module de $z = -3i$ est :

❓ Questions fréquentes

Kifach n7seb l-module dyal chi 3adad mo3a9ad?

Écris ton nombre sous la forme $z = a + ib$ .
Applique la formule $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ .
Exemple : si $z = 3 - 4i$ , alors $|z| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ .

💡 À retenir : Le module est toujours un nombre réel positif.

Écris ton nombre sous la forme $z = a + ib$.
Applique la formule $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.
Exemple : si $z = 3 - 4i$, alors $|z| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

💡 À retenir : Le module est toujours un nombre réel positif.

Est-ce que le conjugué d'un nombre complexe est toujours égal à son opposé ?

Non, c'est une erreur classique. Le conjugué de $z = a + ib$ est $\bar{z} = a - ib$ , alors que l'opposé est $-z = -a - ib$ . Ils ne sont égaux que si $a=0$ et $b=0$ .

💡 À retenir : Le conjugué change le signe de la partie imaginaire uniquement.

Non, c'est une erreur classique. Le conjugué de $z = a + ib$ est $\bar{z} = a - ib$, alors que l'opposé est $-z = -a - ib$. Ils ne sont égaux que si $a=0$ et $b=0$.

💡 À retenir : Le conjugué change le signe de la partie imaginaire uniquement.

Chno hiya l-far9 bin l-chakl l-jabri o l-chakl l-motallathi?

Le forme algébrique ( $a+ib$ ) est utile pour les additions et soustractions.
La forme trigonométrique ( $r(\cos \theta + i \sin \theta)$ ) est indispensable pour les multiplications, divisions et puissances.

💡 À retenir : Utilise la forme algébrique pour calculer, et la forme trigo pour interpréter géométriquement.

Le forme algébrique ($a+ib$) est utile pour les additions et soustractions.
La forme trigonométrique ($r(\cos \theta + i \sin \theta)$) est indispensable pour les multiplications, divisions et puissances.

💡 À retenir : Utilise la forme algébrique pour calculer, et la forme trigo pour interpréter géométriquement.

Comment déterminer l'argument d'un nombre complexe z = a + ib ?

Calcule le module $r = |z|$ .
Résous le système : $\cos \theta = \frac{a}{r}$ et $\sin \theta = \frac{b}{r}$ .
Cherche l'angle $\theta$ correspondant sur le cercle trigonométrique.

💡 À retenir : Vérifie toujours le signe de $\cos$ et $\sin$ pour placer l'angle dans le bon quadrant.

Calcule le module $r = |z|$.
Résous le système : $\cos \theta = \frac{a}{r}$ et $\sin \theta = \frac{b}{r}$.
Cherche l'angle $\theta$ correspondant sur le cercle trigonométrique.

💡 À retenir : Vérifie toujours le signe de $\cos$ et $\sin$ pour placer l'angle dans le bon quadrant.

Kifach n-biyen bli wa7d l-motallath motasawi l-adla3?

Pour montrer que $ABC$ est équilatéral, il faut montrer que $|z_B - z_A| = |z_C - z_A|$ et que l'angle $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv \pm \frac{\pi}{3} [2\pi]$ .

💡 À retenir : Utilise le rapport $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = e^{\pm i\pi/3}$ .

Pour montrer que $ABC$ est équilatéral, il faut montrer que $|z_B - z_A| = |z_C - z_A|$ et que l'angle $(\vec{AB}, \vec{AC}) \equiv \pm \frac{\pi}{3} [2\pi]$.

💡 À retenir : Utilise le rapport $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = e^{\pm i\pi/3}$.

Peut-on diviser par un nombre complexe ?

Oui, pour diviser par $z = a + ib$ , on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué $\bar{z} = a - ib$ pour rendre le dénominateur réel.

💡 À retenir : $z \cdot \bar{z} = |z|^2 = a^2 + b^2$ .

Oui, pour diviser par $z = a + ib$, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué $\bar{z} = a - ib$ pour rendre le dénominateur réel.

💡 À retenir : $z \cdot \bar{z} = |z|^2 = a^2 + b^2$.

Qu'est-ce qu'une rotation dans le plan complexe ?

C'est une transformation qui associe à tout point $M$ d'affixe $z$ , un point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)$ , où $\omega$ est l'affixe du centre et $\theta$ l'angle.

💡 À retenir : Le module de $e^{i\theta}$ est toujours 1.

C'est une transformation qui associe à tout point $M$ d'affixe $z$, un point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)$, où $\omega$ est l'affixe du centre et $\theta$ l'angle.

💡 À retenir : Le module de $e^{i\theta}$ est toujours 1.

Comment calculer i^{2026} ?

On sait que $i^4 = 1$ .
On divise l'exposant par 4 : $2026 = 4 \times 506 + 2$ .
Donc $i^{2026} = (i^4)^{506} \times i^2 = 1^{506} \times (-1) = -1$ .

💡 À retenir : Les puissances de $i$ sont cycliques : $i, -1, -i, 1$ .

On sait que $i^4 = 1$.
On divise l'exposant par 4 : $2026 = 4 \times 506 + 2$.
Donc $i^{2026} = (i^4)^{506} \times i^2 = 1^{506} \times (-1) = -1$.

💡 À retenir : Les puissances de $i$ sont cycliques : $i, -1, -i, 1$.

Est-ce que |z1 + z2| = |z1| + |z2| est toujours vrai ?

Non, c'est faux en général. C'est l'inégalité triangulaire : $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ .

💡 À retenir : L'égalité n'a lieu que si les vecteurs sont colinéaires et de même sens.

Non, c'est faux en général. C'est l'inégalité triangulaire : $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$.

💡 À retenir : L'égalité n'a lieu que si les vecteurs sont colinéaires et de même sens.

Comment trouver l'affixe du milieu d'un segment ?

Si $A$ a pour affixe $z_A$ et $B$ a pour affixe $z_B$ , le milieu $I$ a pour affixe $z_I = \frac{z_A + z_B}{2}$ .

💡 À retenir : C'est la moyenne arithmétique des affixes.

Si $A$ a pour affixe $z_A$ et $B$ a pour affixe $z_B$, le milieu $I$ a pour affixe $z_I = \frac{z_A + z_B}{2}$.

💡 À retenir : C'est la moyenne arithmétique des affixes.

Pourquoi on utilise les nombres complexes en architecture ?

Ils permettent de modéliser facilement les rotations et les symétries, essentielles pour les calculs de structures complexes et les tracés géométriques.

💡 À retenir : La géométrie plane est simplifiée par l'outil complexe.

Comment résoudre z^2 = -4 ?

On sait que $-1 = i^2$ .
Donc $z^2 = 4i^2$ .
$z = \sqrt{4}i$ ou $z = -\sqrt{4}i$ , soit $z = 2i$ ou $z = -2i$ .

💡 À retenir : Une équation du second degré a toujours 2 solutions dans $\mathbb{C}$ .

On sait que $-1 = i^2$.
Donc $z^2 = 4i^2$.
$z = \sqrt{4}i$ ou $z = -\sqrt{4}i$, soit $z = 2i$ ou $z = -2i$.

💡 À retenir : Une équation du second degré a toujours 2 solutions dans $\mathbb{C}$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $z_1 = 1 + i\sqrt{3}$ et $z_2 = 1 - i$ .

Calculer le module et un argument de $z_1$ et $z_2$ .
En déduire le module et un argument de $Z = \frac{z_1}{z_2}$ .

Exercice 1

Soit $z_1 = 1 + i\sqrt{3}$ et $z_2 = 1 - i$.

Calculer le module et un argument de $z_1$ et $z_2$.
En déduire le module et un argument de $Z = \frac{z_1}{z_2}$.

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Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 - 4z + 13 = 0$ .

Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 - 4z + 13 = 0$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Dans le plan complexe, on considère les points $A(1+i)$ , $B(3-i)$ et $C(2+2i)$ . Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ .

Exercice 3

Dans le plan complexe, on considère les points $A(1+i)$, $B(3-i)$ et $C(2+2i)$. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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