Mathématiques · Prépa concours post-bac — ENA Architecture

Limites et continuité

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Continuité en un point : $f$ est continue en $x_0$ si $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ .
Continuité sur un intervalle : $f$ est continue sur $I$ si elle est continue en tout point de $I$ .
Opérations : La somme, le produit et le quotient (si dénominateur $\neq 0$ ) de fonctions continues sont continus.
TVI : Si $f$ est continue sur $[a, b]$ , alors pour tout $y$ entre $f(a)$ et $f(b)$ , il existe au moins un $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = y$ .
Fonction réciproque : Si $f$ est continue et strictement monotone sur $I$ , alors $f$ réalise une bijection de $I$ vers $J=f(I)$ .

Méthodes à maîtriser

Calcul de limites : Utiliser les taux d'accroissement, la factorisation ou les quantités conjuguées pour lever les formes indéterminées.
Étude de continuité : Vérifier toujours les limites à gauche et à droite si la fonction est définie par morceaux.
Existence de solutions : Pour montrer que $f(x)=0$ admet une solution, utiliser le TVI (continuité + changement de signe).

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ pour $x \neq 1$ et $f(1)=2$ . $f$ est continue en 1 car $\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = 2 = f(1)$ .
Exemple 2 : $f(x) = x^3 + x - 1$ . $f(0)=-1$ et $f(1)=1$ . Comme $f$ est continue et strictement croissante, il existe une unique solution $\alpha \in ]0, 1[$ telle que $f(\alpha)=0$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la continuité avant d'appliquer le TVI.
Confondre la limite en $x_0$ avec la valeur $f(x_0)$ .
Mal manipuler les domaines de définition lors de la composition de fonctions.

L'essentiel du cours

Continuité en un point : $f$ est continue en $x_0$ si $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.
Continuité sur un intervalle : $f$ est continue sur $I$ si elle est continue en tout point de $I$.
Opérations : La somme, le produit et le quotient (si dénominateur $\neq 0$) de fonctions continues sont continus.
TVI : Si $f$ est continue sur $[a, b]$, alors pour tout $y$ entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = y$.
Fonction réciproque : Si $f$ est continue et strictement monotone sur $I$, alors $f$ réalise une bijection de $I$ vers $J=f(I)$.

Méthodes à maîtriser

Calcul de limites : Utiliser les taux d'accroissement, la factorisation ou les quantités conjuguées pour lever les formes indéterminées.
Étude de continuité : Vérifier toujours les limites à gauche et à droite si la fonction est définie par morceaux.
Existence de solutions : Pour montrer que $f(x)=0$ admet une solution, utiliser le TVI (continuité + changement de signe).

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ pour $x \neq 1$ et $f(1)=2$. $f$ est continue en 1 car $\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = 2 = f(1)$.
Exemple 2 : $f(x) = x^3 + x - 1$. $f(0)=-1$ et $f(1)=1$. Comme $f$ est continue et strictement croissante, il existe une unique solution $\alpha \in ]0, 1[$ telle que $f(\alpha)=0$.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la continuité avant d'appliquer le TVI.
Confondre la limite en $x_0$ avec la valeur $f(x_0)$.
Mal manipuler les domaines de définition lors de la composition de fonctions.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Limites et continuité

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La limite $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}$ est égale à :

❓ Questions fréquentes

Est-ce qu'une fonction continue est forcément dérivable ?

Non, une fonction peut être continue en un point sans y être dérivable. Exemple classique : la fonction valeur absolue $f(x) = |x|$ est continue en 0, mais elle n'est pas dérivable en 0 (les pentes à gauche et à droite sont différentes).

💡 À retenir : La continuité est une condition nécessaire mais pas suffisante pour la dérivabilité.

Kifach n3ref wach l'fonction 3ndha fonction réciproque ?

Pour qu'une fonction $f$ admette une fonction réciproque $f^{-1}$ , il faut deux conditions :

$f$ doit être continue sur l'intervalle $I$ .
$f$ doit être strictement monotone (soit strictement croissante, soit strictement décroissante) sur $I$ .

💡 À retenir : Continuité + Monotonie stricte = Bijection (donc fonction réciproque).

Pour qu'une fonction $f$ admette une fonction réciproque $f^{-1}$, il faut deux conditions :

$f$ doit être continue sur l'intervalle $I$.
$f$ doit être strictement monotone (soit strictement croissante, soit strictement décroissante) sur $I$.

💡 À retenir : Continuité + Monotonie stricte = Bijection (donc fonction réciproque).

Chno hiya l'forme indéterminée ?

C'est une situation où on ne peut pas conclure directement sur la limite. Les 4 formes principales sont :

$\frac{0}{0}$
$\frac{\infty}{\infty}$
$0 \times \infty$
$+\infty - \infty$

💡 À retenir : Il faut transformer l'expression (factoriser, multiplier par le conjugué) pour lever l'indétermination.

C'est une situation où on ne peut pas conclure directement sur la limite. Les 4 formes principales sont :

$\frac{0}{0}$
$\frac{\infty}{\infty}$
$0 \times \infty$
$+\infty - \infty$

💡 À retenir : Il faut transformer l'expression (factoriser, multiplier par le conjugué) pour lever l'indétermination.

Wach ila kant l'limite f x0 katssawi f(x0), safi l'fonction continue ?

Oui, c'est la définition même de la continuité en un point $x_0$ . Si $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ , alors la courbe ne présente pas de "saut" ou de "trou" en ce point.

💡 À retenir : La continuité est une propriété locale au point $x_0$ .

Oui, c'est la définition même de la continuité en un point $x_0$. Si $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$, alors la courbe ne présente pas de "saut" ou de "trou" en ce point.

💡 À retenir : La continuité est une propriété locale au point $x_0$.

Comment montrer qu'une équation f(x)=k a une solution unique ?

Il faut utiliser le corollaire du TVI :

Montrer que $f$ est continue.
Montrer que $f$ est strictement monotone sur l'intervalle donné.
Vérifier que $k$ appartient à l'intervalle image $f(I)$ .

💡 À retenir : La stricte monotonie garantit l'unicité de la solution.

Il faut utiliser le corollaire du TVI :

Montrer que $f$ est continue.
Montrer que $f$ est strictement monotone sur l'intervalle donné.
Vérifier que $k$ appartient à l'intervalle image $f(I)$.

💡 À retenir : La stricte monotonie garantit l'unicité de la solution.

Kifach n7seb l'limite f l'infini dyal fonction rationnelle ?

Pour une fonction rationnelle (polynôme sur polynôme), la limite en $\pm \infty$ est toujours égale à la limite du rapport des termes de plus haut degré.

Identifie le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur.
Simplifie le rapport.
Calcule la limite.

💡 À retenir : Seuls les termes de plus haut degré comptent en $\pm \infty$ .

Pour une fonction rationnelle (polynôme sur polynôme), la limite en $\pm \infty$ est toujours égale à la limite du rapport des termes de plus haut degré.

Identifie le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur.
Simplifie le rapport.
Calcule la limite.

💡 À retenir : Seuls les termes de plus haut degré comptent en $\pm \infty$.

Est-ce que la somme de deux fonctions discontinues est toujours discontinue ?

Non, pas forcément. Exemple : $f(x) = 1$ si $x \geq 0$ et $-1$ si $x < 0$ . $g(x) = -1$ si $x \geq 0$ et $1$ si $x < 0$ . Les deux sont discontinues en 0, mais leur somme $f+g = 0$ est une fonction constante, donc continue.

💡 À retenir : La somme de deux fonctions discontinues peut être continue.

Non, pas forcément. Exemple : $f(x) = 1$ si $x \geq 0$ et $-1$ si $x < 0$. $g(x) = -1$ si $x \geq 0$ et $1$ si $x < 0$. Les deux sont discontinues en 0, mais leur somme $f+g = 0$ est une fonction constante, donc continue.

💡 À retenir : La somme de deux fonctions discontinues peut être continue.

Qu'est-ce qu'un prolongement par continuité ?

Si une fonction $f$ n'est pas définie en $x_0$ mais que $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ , on peut créer une nouvelle fonction $g$ telle que $g(x)=f(x)$ pour $x \neq x_0$ et $g(x_0)=L$ . $g$ est alors le prolongement par continuité de $f$ en $x_0$ .

💡 À retenir : On "bouche le trou" de la courbe.

Si une fonction $f$ n'est pas définie en $x_0$ mais que $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$, on peut créer une nouvelle fonction $g$ telle que $g(x)=f(x)$ pour $x \neq x_0$ et $g(x_0)=L$. $g$ est alors le prolongement par continuité de $f$ en $x_0$.

💡 À retenir : On "bouche le trou" de la courbe.

Wach l'fonction f(x) = tan(x) continue f mathbb{R} ?

Non, elle n'est pas continue sur $\mathbb{R}$ car elle n'est pas définie en $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ . Elle est continue sur chaque intervalle de son domaine de définition.

💡 À retenir : Une fonction est continue sur son domaine de définition.

Non, elle n'est pas continue sur $\mathbb{R}$ car elle n'est pas définie en $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$. Elle est continue sur chaque intervalle de son domaine de définition.

💡 À retenir : Une fonction est continue sur son domaine de définition.

Comment justifier la continuité d'une fonction composée ?

Si $g$ est continue en $x_0$ et $f$ est continue en $g(x_0)$ , alors la fonction composée $f \circ g$ est continue en $x_0$ .

💡 À retenir : La continuité se conserve par composition.

Si $g$ est continue en $x_0$ et $f$ est continue en $g(x_0)$, alors la fonction composée $f \circ g$ est continue en $x_0$.

💡 À retenir : La continuité se conserve par composition.

Est-ce que l'image d'un intervalle ouvert par une fonction continue est un intervalle ouvert ?

Oui, si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle ouvert $I$ , alors $f(I)$ est un intervalle ouvert.

💡 À retenir : La continuité préserve la nature des intervalles (ouverts ou fermés).

Oui, si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle ouvert $I$, alors $f(I)$ est un intervalle ouvert.

💡 À retenir : La continuité préserve la nature des intervalles (ouverts ou fermés).

Pourquoi on utilise le TVI ?

Le TVI est un outil puissant pour prouver l'existence de solutions à des équations complexes sans avoir besoin de calculer la valeur exacte de la solution.

💡 À retenir : Le TVI est un théorème d'existence, pas de calcul.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x^3 + 2x - 1$

Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ .
Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha \in ]0, 1[$ .

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x^3 + 2x - 1$

Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.
Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha \in ]0, 1[$.

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Exercice 2

Soit $f$ définie par $f(x) = \frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$ pour $x \neq 0$ et $f(0) = a$ . Déterminer la valeur de $a$ pour que $f$ soit continue en 0.

Exercice 2

Soit $f$ définie par $f(x) = \frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$ pour $x \neq 0$ et $f(0) = a$. Déterminer la valeur de $a$ pour que $f$ soit continue en 0.

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Exercice 3

Soit $f(x) = x^2 - 2x$ . Montrer que $f$ réalise une bijection de $[1, +\infty[$ vers un intervalle $J$ à déterminer.

Exercice 3

Soit $f(x) = x^2 - 2x$. Montrer que $f$ réalise une bijection de $[1, +\infty[$ vers un intervalle $J$ à déterminer.

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