📐 ⚡ Défi flash Mathématiques · Prépa concours post-bac — ENA Architecture
Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.
📘 Fiche de cours
Définition : Le produit scalaire de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est le réel $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos(\vec{u}, \vec{v})$.Propriétés : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}(|\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - |\vec{u}-\vec{v}|^2)$.Orthogonalité : $\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.Équation de plan : Un plan $(P)$ passant par $A$ de vecteur normal $\vec{n}(a,b,c)$ a pour équation $ax+by+cz+d=0$.Distance point-plan : $d(M_0, (P)) = \frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.
Calculer un produit scalaire avec les coordonnées dans une base orthonormée. Déterminer une équation cartésienne d'un plan à partir d'un point et d'un vecteur normal. Calculer la distance d'un point à un plan. Déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan.
Exemple 1 : Soient $\vec{u}(1, -2, 3)$ et $\vec{v}(0, 1, 1)$. Alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = 1(0) + (-2)(1) + 3(1) = 1$.Exemple 2 : Plan passant par $A(1,0,0)$ avec $\vec{n}(1,1,1)$. Équation : $1(x-1) + 1(y-0) + 1(z-0) = 0 \implies x+y+z-1=0$.
Confondre le produit scalaire (qui donne un réel) avec le produit vectoriel (qui donne un vecteur, hors programme). Oublier la valeur absolue dans la formule de la distance point-plan. Ne pas vérifier si le vecteur normal est bien orthogonal aux vecteurs directeurs du plan. 🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.
Tout en arabe Produit scalaire Touche pour traduire Vecteur normal Touche pour traduire Orthogonalité Touche pour traduire Norme Touche pour traduire Base orthonormée Touche pour traduire Représentation paramétrique Touche pour traduire Équation cartésienne Touche pour traduire Distance point-plan Touche pour traduire Projection orthogonale Touche pour traduire Vecteur directeur Touche pour traduire Angle orienté Touche pour traduire Cercle Touche pour traduire Sphère Touche pour traduire
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Ila kano 3andek les vecteurs $\vec{u}(x, y, z)$ et $\vec{v}(x', y', z')$.
La formule hiya : $\vec{u} \cdot \vec{v} = x \cdot x' + y \cdot y' + z \cdot z'$.
Kaddir l'produit dyal les abscisses, tzid 3lihom l'produit dyal les ordonnées, tzid 3lihom l'produit dyal les cotes.
💡 À retenir : L'produit scalaire f'l'espace f'base orthonormée kayt7seb b'somme dyal les produits dyal les coordonnées.
Chno hiya l'farq bin l'vecteur normal o l'vecteur directeur?
L'vecteur directeur kaykoun "f'west" l'mostaqim aw l'plan (mouazi lih).
L'vecteur normal kaykoun "3amoudi" 3la l'plan.
F'l'équation cartésienne $ax+by+cz+d=0$, les coefficients $(a, b, c)$ homa les coordonnées dyal l'vecteur normal.
💡 À retenir : L'vecteur normal kaykoun 3amoudi 3la ay vecteur kayn f'l'plan.
Kifach n3ref wach wahed l'mostaqim 3amoudi 3la wahed l'plan?
Khoud l'vecteur directeur dyal l'mostaqim $\vec{u}$.
Khoud l'vecteur normal dyal l'plan $\vec{n}$.
Ila kan $\vec{u}$ mouazi l' $\vec{n}$ (ya3ni $\vec{u} = k \cdot \vec{n}$), rah l'mostaqim 3amoudi 3la l'plan.
💡 À retenir : Mostaqim 3amoudi 3la plan ila kan vecteur directeur dyalou colinéaire m3a vecteur normal dyal l'plan.
Est-ce que le produit scalaire est commutatif ? Oui, $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$. C'est une propriété fondamentale du produit scalaire dans l'espace.
💡 À retenir : L'ordre des vecteurs ne change pas le résultat du produit scalaire.
Comment démontrer que deux plans sont parallèles ?
Déterminer les vecteurs normaux $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ des deux plans.
Vérifier s'ils sont colinéaires ($\vec{n_1} = k \vec{n_2}$).
Si oui, les plans sont parallèles.
💡 À retenir : Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.
Peut-on calculer le produit scalaire avec des angles ? Oui, en utilisant la formule $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos(\theta)$, où $\theta$ est l'angle entre les deux vecteurs.
💡 À retenir : Cette formule est utile quand on connaît les longueurs et l'angle, mais pas les coordonnées.
Quelle est la condition pour qu'une équation x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0 soit une sphère ? Il faut que le rayon $R^2 = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2 + (\frac{c}{2})^2 - d$ soit strictement positif.
💡 À retenir : Si $R^2 > 0$, c'est une sphère. Si $R^2 = 0$, c'est un point. Si $R^2 < 0$, c'est l'ensemble vide.
Comment trouver l'intersection d'une droite et d'un plan ?
Remplacer les coordonnées paramétriques de la droite $(x=x_0+at, y=y_0+bt, z=z_0+ct)$ dans l'équation du plan.
Résoudre l'équation obtenue pour trouver $t$.
Remplacer $t$ dans les équations de la droite pour trouver les coordonnées du point d'intersection.
💡 À retenir : L'intersection est un point unique si la droite n'est pas parallèle au plan.
Est-ce que le produit scalaire peut être négatif ? Oui, le produit scalaire est un nombre réel. Il est négatif si l'angle entre les deux vecteurs est obtus (entre 90° et 180°).
💡 À retenir : $\vec{u} \cdot \vec{v} < 0 \iff \cos(\theta) < 0$.
Comment calculer la distance d'un point à une droite ? (à vérifier par le professeur) : On utilise la formule $d(A, (D)) = \frac{|\vec{AM} \wedge \vec{u}|}{|\vec{u}|}$ où $M \in (D)$ et $\vec{u}$ est un vecteur directeur.
💡 À retenir : Cette méthode nécessite le produit vectoriel, souvent abordé en complément ou selon les manuels.
Est-ce que |vec{u} + vec{v}|^2 = |vec{u}|^2 + |vec{v}|^2 ? Non, en général. La formule exacte est $|\vec{u} + \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v}$.
💡 À retenir : L'égalité n'est vraie que si les vecteurs sont orthogonaux ($\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$).
Comment prouver que trois points A, B et C sont alignés ? Il faut montrer que les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires (il existe $k$ tel que $\vec{AB} = k\vec{AC}$).
💡 À retenir : La colinéarité des vecteurs est la clé pour l'alignement.
✍️ Exercices type examen national Exercice 1
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(1, 0, 1)$, $B(2, 1, 0)$ et $C(0, 1, 2)$.
Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
Soit $(P)$ le plan d'équation $x + y + z - 3 = 0$. Montrer que $(ABC) = (P)$.
Exercice 3
Soit $(D)$ la droite passant par $A(1, 1, 1)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(1, -1, 2)$.
Donner une représentation paramétrique de $(D)$.
Déterminer le point d'intersection de $(D)$ avec le plan $(P) : x+y+z-3=0$.
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Définition : Le produit scalaire de deux vecteurs u ⃗ \vec{u} u v ⃗ \vec{v} v u ⃗ ⋅ v ⃗ = ∥ u ⃗ ∥ ∥ v ⃗ ∥ cos ( u ⃗ , v ⃗ ) \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos(\vec{u}, \vec{v}) u ⋅ v = ∥ u ∥∥ v ∥ cos ( u , v ) Propriétés : u ⃗ ⋅ v ⃗ = 1 2 ( ∥ u ⃗ ∥ 2 + ∥ v ⃗ ∥ 2 − ∥ u ⃗ − v ⃗ ∥ 2 ) \vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}(\|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}-\vec{v}\|^2) u ⋅ v = 2 1 ( ∥ u ∥ 2 + ∥ v ∥ 2 − ∥ u − v ∥ 2 ) Orthogonalité : u ⃗ ⊥ v ⃗ ⟺ u ⃗ ⋅ v ⃗ = 0 \vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 u ⊥ v ⟺ u ⋅ v = 0 Équation de plan : Un plan ( P ) (P) ( P ) A A A n ⃗ ( a , b , c ) \vec{n}(a,b,c) n ( a , b , c ) a x + b y + c z + d = 0 ax+by+cz+d=0 a x + b y + cz + d = 0 Distance point-plan : d ( M 0 , ( P ) ) = ∣ a x 0 + b y 0 + c z 0 + d ∣ a 2 + b 2 + c 2 d(M_0, (P)) = \frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} d ( M 0 , ( P )) = a 2 + b 2 + c 2 ∣ a x 0 + b y 0 + c z 0 + d ∣
Calculer un produit scalaire avec les coordonnées dans une base orthonormée. Déterminer une équation cartésienne d'un plan à partir d'un point et d'un vecteur normal. Calculer la distance d'un point à un plan. Déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan.
Exemple 1 : Soient u ⃗ ( 1 , − 2 , 3 ) \vec{u}(1, -2, 3) u ( 1 , − 2 , 3 ) v ⃗ ( 0 , 1 , 1 ) \vec{v}(0, 1, 1) v ( 0 , 1 , 1 ) u ⃗ ⋅ v ⃗ = 1 ( 0 ) + ( − 2 ) ( 1 ) + 3 ( 1 ) = 1 \vec{u} \cdot \vec{v} = 1(0) + (-2)(1) + 3(1) = 1 u ⋅ v = 1 ( 0 ) + ( − 2 ) ( 1 ) + 3 ( 1 ) = 1 Exemple 2 : Plan passant par A ( 1 , 0 , 0 ) A(1,0,0) A ( 1 , 0 , 0 ) n ⃗ ( 1 , 1 , 1 ) \vec{n}(1,1,1) n ( 1 , 1 , 1 ) 1 ( x − 1 ) + 1 ( y − 0 ) + 1 ( z − 0 ) = 0 ⟹ x + y + z − 1 = 0 1(x-1) + 1(y-0) + 1(z-0) = 0 \implies x+y+z-1=0 1 ( x − 1 ) + 1 ( y − 0 ) + 1 ( z − 0 ) = 0 ⟹ x + y + z − 1 = 0
Confondre le produit scalaire (qui donne un réel) avec le produit vectoriel (qui donne un vecteur, hors programme). Oublier la valeur absolue dans la formule de la distance point-plan. Ne pas vérifier si le vecteur normal est bien orthogonal aux vecteurs directeurs du plan. Le produit scalaire u ⃗ ⋅ v ⃗ \vec{u} \cdot \vec{v} u ⋅ v u ⃗ ( 1 , 2 , 3 ) \vec{u}(1, 2, 3) u ( 1 , 2 , 3 ) v ⃗ ( − 1 , 1 , 0 ) \vec{v}(-1, 1, 0) v ( − 1 , 1 , 0 )
Ila kano 3andek les vecteurs u ⃗ ( x , y , z ) \vec{u}(x, y, z) u ( x , y , z ) v ⃗ ( x ′ , y ′ , z ′ ) \vec{v}(x', y', z') v ( x ′ , y ′ , z ′ )
La formule hiya : u ⃗ ⋅ v ⃗ = x ⋅ x ′ + y ⋅ y ′ + z ⋅ z ′ \vec{u} \cdot \vec{v} = x \cdot x' + y \cdot y' + z \cdot z' u ⋅ v = x ⋅ x ′ + y ⋅ y ′ + z ⋅ z ′
Kaddir l'produit dyal les abscisses, tzid 3lihom l'produit dyal les ordonnées, tzid 3lihom l'produit dyal les cotes.
💡 À retenir : L'produit scalaire f'l'espace f'base orthonormée kayt7seb b'somme dyal les produits dyal les coordonnées.
L'vecteur directeur kaykoun "f'west" l'mostaqim aw l'plan (mouazi lih).
L'vecteur normal kaykoun "3amoudi" 3la l'plan.
F'l'équation cartésienne a x + b y + c z + d = 0 ax+by+cz+d=0 a x + b y + cz + d = 0 ( a , b , c ) (a, b, c) ( a , b , c )
💡 À retenir : L'vecteur normal kaykoun 3amoudi 3la ay vecteur kayn f'l'plan.
Khoud l'vecteur directeur dyal l'mostaqim u ⃗ \vec{u} u
Khoud l'vecteur normal dyal l'plan n ⃗ \vec{n} n
Ila kan u ⃗ \vec{u} u n ⃗ \vec{n} n u ⃗ = k ⋅ n ⃗ \vec{u} = k \cdot \vec{n} u = k ⋅ n
💡 À retenir : Mostaqim 3amoudi 3la plan ila kan vecteur directeur dyalou colinéaire m3a vecteur normal dyal l'plan.
Oui, u ⃗ ⋅ v ⃗ = v ⃗ ⋅ u ⃗ \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u} u ⋅ v = v ⋅ u
💡 À retenir : L'ordre des vecteurs ne change pas le résultat du produit scalaire.
Déterminer les vecteurs normaux n 1 ⃗ \vec{n_1} n 1 n 2 ⃗ \vec{n_2} n 2
Vérifier s'ils sont colinéaires (n 1 ⃗ = k n 2 ⃗ \vec{n_1} = k \vec{n_2} n 1 = k n 2
Si oui, les plans sont parallèles.
💡 À retenir : Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.
Oui, en utilisant la formule u ⃗ ⋅ v ⃗ = ∥ u ⃗ ∥ ∥ v ⃗ ∥ cos ( θ ) \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos(\theta) u ⋅ v = ∥ u ∥∥ v ∥ cos ( θ ) θ \theta θ
💡 À retenir : Cette formule est utile quand on connaît les longueurs et l'angle, mais pas les coordonnées.
Il faut que le rayon R 2 = ( a 2 ) 2 + ( b 2 ) 2 + ( c 2 ) 2 − d R^2 = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2 + (\frac{c}{2})^2 - d R 2 = ( 2 a ) 2 + ( 2 b ) 2 + ( 2 c ) 2 − d
💡 À retenir : Si R 2 > 0 R^2 > 0 R 2 > 0 R 2 = 0 R^2 = 0 R 2 = 0 R 2 < 0 R^2 < 0 R 2 < 0
Remplacer les coordonnées paramétriques de la droite ( x = x 0 + a t , y = y 0 + b t , z = z 0 + c t ) (x=x_0+at, y=y_0+bt, z=z_0+ct) ( x = x 0 + a t , y = y 0 + b t , z = z 0 + c t )
Résoudre l'équation obtenue pour trouver t t t
Remplacer t t t
💡 À retenir : L'intersection est un point unique si la droite n'est pas parallèle au plan.
Oui, le produit scalaire est un nombre réel. Il est négatif si l'angle entre les deux vecteurs est obtus (entre 90° et 180°).
💡 À retenir : u ⃗ ⋅ v ⃗ < 0 ⟺ cos ( θ ) < 0 \vec{u} \cdot \vec{v} < 0 \iff \cos(\theta) < 0 u ⋅ v < 0 ⟺ cos ( θ ) < 0
(à vérifier par le professeur) : On utilise la formule d ( A , ( D ) ) = ∥ A M ⃗ ∧ u ⃗ ∥ ∥ u ⃗ ∥ d(A, (D)) = \frac{\|\vec{AM} \wedge \vec{u}\|}{\|\vec{u}\|} d ( A , ( D )) = ∥ u ∥ ∥ A M ∧ u ∥ M ∈ ( D ) M \in (D) M ∈ ( D ) u ⃗ \vec{u} u
💡 À retenir : Cette méthode nécessite le produit vectoriel, souvent abordé en complément ou selon les manuels.
Non, en général. La formule exacte est ∥ u ⃗ + v ⃗ ∥ 2 = ∥ u ⃗ ∥ 2 + ∥ v ⃗ ∥ 2 + 2 u ⃗ ⋅ v ⃗ \|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} ∥ u + v ∥ 2 = ∥ u ∥ 2 + ∥ v ∥ 2 + 2 u ⋅ v
💡 À retenir : L'égalité n'est vraie que si les vecteurs sont orthogonaux (u ⃗ ⋅ v ⃗ = 0 \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 u ⋅ v = 0
Il faut montrer que les vecteurs A B ⃗ \vec{AB} A B A C ⃗ \vec{AC} A C k k k A B ⃗ = k A C ⃗ \vec{AB} = k\vec{AC} A B = k A C
💡 À retenir : La colinéarité des vecteurs est la clé pour l'alignement.
Exercice 1
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé ( O , i ⃗ , j ⃗ , k ⃗ ) (O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) ( O , i , j , k ) A ( 1 , 0 , 1 ) A(1, 0, 1) A ( 1 , 0 , 1 ) B ( 2 , 1 , 0 ) B(2, 1, 0) B ( 2 , 1 , 0 ) C ( 0 , 1 , 2 ) C(0, 1, 2) C ( 0 , 1 , 2 )
Déterminer une équation cartésienne du plan ( A B C ) (ABC) ( A B C )
Soit ( P ) (P) ( P ) x + y + z − 3 = 0 x + y + z - 3 = 0 x + y + z − 3 = 0 ( A B C ) = ( P ) (ABC) = (P) ( A B C ) = ( P )
Exercice 2
Soit ( S ) (S) ( S ) Ω ( 1 , − 1 , 0 ) \Omega(1, -1, 0) Ω ( 1 , − 1 , 0 ) R = 3 R=3 R = 3
Donner l'équation cartésienne de ( S ) (S) ( S )
Déterminer la distance du point O ( 0 , 0 , 0 ) O(0,0,0) O ( 0 , 0 , 0 ) ( S ) (S) ( S )
Exercice 3
Soit ( D ) (D) ( D ) A ( 1 , 1 , 1 ) A(1, 1, 1) A ( 1 , 1 , 1 ) u ⃗ ( 1 , − 1 , 2 ) \vec{u}(1, -1, 2) u ( 1 , − 1 , 2 )
Donner une représentation paramétrique de ( D ) (D) ( D )
Déterminer le point d'intersection de ( D ) (D) ( D ) ( P ) : x + y + z − 3 = 0 (P) : x+y+z-3=0 ( P ) : x + y + z − 3 = 0