Mathématiques · Prépa concours post-bac — ENA Architecture

Primitives et calcul intégral

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F'(x) = f(x)$ pour tout $x \in I$ .
Si $F$ est une primitive de $f$ , alors toutes les primitives sont de la forme $F(x) + c$ avec $c \in \mathbb{R}$ .
L'intégrale de $a$ à $b$ de $f$ est $\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$ .
Relation de Chasles : $\int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx = \int_a^c f(x) dx$ .

Méthodes à maîtriser

Recherche de primitives : Utiliser le tableau des primitives usuelles et les formes composées ( $u'u^n$ , $u'/u$ , $u'e^u$ ).
Intégration par parties : $\int_a^b u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x) dx$ .
Calcul d'aire : $\mathcal{A} = \int_a^b |f(x)| dx$ en unités d'aire (u.a.).

Exemples corrigés

Primitive de $f(x) = 2x + \cos(x)$ est $F(x) = x^2 + \sin(x) + c$ .
$\int_0^1 x e^{x^2} dx$ : Poser $u = x^2$ , $du = 2x dx$ . On obtient $\frac{1}{2} [e^{x^2}]_0^1 = \frac{e-1}{2}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $c$ lors de la recherche de primitives.
Inverser les bornes de l'intégrale sans changer le signe.
Confondre la dérivée et la primitive (ex: primitive de $\ln(x)$ n'est pas $1/x$ ).

L'essentiel du cours

Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F'(x) = f(x)$ pour tout $x \in I$.
Si $F$ est une primitive de $f$, alors toutes les primitives sont de la forme $F(x) + c$ avec $c \in \mathbb{R}$.
L'intégrale de $a$ à $b$ de $f$ est $\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$.
Relation de Chasles : $\int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx = \int_a^c f(x) dx$.

Méthodes à maîtriser

Recherche de primitives : Utiliser le tableau des primitives usuelles et les formes composées ($u'u^n$, $u'/u$, $u'e^u$).
Intégration par parties : $\int_a^b u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x) dx$.
Calcul d'aire : $\mathcal{A} = \int_a^b |f(x)| dx$ en unités d'aire (u.a.).

Exemples corrigés

Primitive de $f(x) = 2x + \cos(x)$ est $F(x) = x^2 + \sin(x) + c$.
$\int_0^1 x e^{x^2} dx$ : Poser $u = x^2$, $du = 2x dx$. On obtient $\frac{1}{2} [e^{x^2}]_0^1 = \frac{e-1}{2}$.

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $c$ lors de la recherche de primitives.
Inverser les bornes de l'intégrale sans changer le signe.
Confondre la dérivée et la primitive (ex: primitive de $\ln(x)$ n'est pas $1/x$).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Primitives et calcul intégral

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La primitive de $f(x) = \cos(x)$ est :

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach ndir l-moukamala b-l-ajza2 wla tghyir l-moutaghayir ?

L'intégration par parties est privilégiée quand tu as un produit de deux fonctions de natures différentes (ex: polynôme $\times$ exponentielle).
Le changement de variable est utile quand tu vois une fonction et sa dérivée (ou une partie de sa dérivée) dans l'expression.

💡 À retenir : Utilise la règle "LPET" (Logarithme, Polynôme, Exponentielle, Trigonométrique) pour choisir $u(x)$ dans l'IPP.

L'intégration par parties est privilégiée quand tu as un produit de deux fonctions de natures différentes (ex: polynôme $\times$ exponentielle).
Le changement de variable est utile quand tu vois une fonction et sa dérivée (ou une partie de sa dérivée) dans l'expression.

💡 À retenir : Utilise la règle "LPET" (Logarithme, Polynôme, Exponentielle, Trigonométrique) pour choisir $u(x)$ dans l'IPP.

Wach l-misa7a khassha dima tkoun moujaba ?

Oui, l'aire géométrique est toujours positive. Si la fonction est négative sur $[a, b]$ , l'intégrale sera négative, donc l'aire est $-\int_a^b f(x) dx$ .

💡 À retenir : $\mathcal{A} = \int_a^b |f(x)| dx$ .

Oui, l'aire géométrique est toujours positive. Si la fonction est négative sur $[a, b]$, l'intégrale sera négative, donc l'aire est $-\int_a^b f(x) dx$.

💡 À retenir : $\mathcal{A} = \int_a^b |f(x)| dx$.

Chno hiya l-qima l-moutawassita ?

C'est la valeur moyenne d'une fonction sur $[a, b]$ , notée $\mu = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$ .

💡 À retenir : Elle représente la hauteur du rectangle ayant la même aire que la courbe.

C'est la valeur moyenne d'une fonction sur $[a, b]$, notée $\mu = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$.

💡 À retenir : Elle représente la hauteur du rectangle ayant la même aire que la courbe.

Comment calculer la primitive de f(x) = tan(x) ?

Écris $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ .
Remarque que $\sin(x) = -(\cos(x))'$ .
La forme est $- \frac{u'}{u}$ , donc la primitive est $-\ln(|\cos(x)|) + c$ .

💡 À retenir : Toujours transformer les fonctions trigo en $\sin$ et $\cos$ si besoin.

Écris $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$.
Remarque que $\sin(x) = -(\cos(x))'$.
La forme est $- \frac{u'}{u}$, donc la primitive est $-\ln(|\cos(x)|) + c$.

💡 À retenir : Toujours transformer les fonctions trigo en $\sin$ et $\cos$ si besoin.

Est-ce que inta^b f(x)g(x) dx = inta^b f(x) dx times inta^b g(x) dx ?

Non, c'est une erreur grave. L'intégrale d'un produit n'est pas le produit des intégrales.

💡 À retenir : Seule la linéarité (somme et multiplication par un scalaire) est permise.

Kifach n7seb l-misa7a bin man7ana w l-ma7war dyal l-afasil ?

Résous $f(x) = 0$ pour trouver les points d'intersection.
Étudie le signe de $f(x)$ sur les intervalles.
Calcule l'intégrale sur chaque intervalle en changeant le signe si $f(x) < 0$ .

💡 À retenir : L'aire totale est la somme des aires sur chaque intervalle.

Résous $f(x) = 0$ pour trouver les points d'intersection.
Étudie le signe de $f(x)$ sur les intervalles.
Calcule l'intégrale sur chaque intervalle en changeant le signe si $f(x) < 0$.

💡 À retenir : L'aire totale est la somme des aires sur chaque intervalle.

Quelle est la primitive de 1/x ?

C'est $\ln(|x|) + c$ . Attention, le domaine de définition est important.

💡 À retenir : Ne pas oublier la valeur absolue.

C'est $\ln(|x|) + c$. Attention, le domaine de définition est important.

💡 À retenir : Ne pas oublier la valeur absolue.

Comment utiliser la relation de Chasles ?

Si tu as un point $c$ entre $a$ et $b$ , tu peux écrire $\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b$ . C'est utile quand la fonction change d'expression en $c$ .

💡 À retenir : Très utile pour les fonctions définies par morceaux.

Si tu as un point $c$ entre $a$ et $b$, tu peux écrire $\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b$. C'est utile quand la fonction change d'expression en $c$.

💡 À retenir : Très utile pour les fonctions définies par morceaux.

Est-ce que l'intégrale d'une fonction impaire sur [-a, a] est nulle ?

Oui, car l'aire à gauche de l'axe des ordonnées compense exactement l'aire à droite.

💡 À retenir : Vérifie toujours la parité avant de calculer sur un intervalle symétrique.

Comment intégrer e^{ax+b} ?

La primitive est $\frac{1}{a} e^{ax+b} + c$ .

💡 À retenir : Ne pas oublier de diviser par la dérivée de l'exposant.

La primitive est $\frac{1}{a} e^{ax+b} + c$.

💡 À retenir : Ne pas oublier de diviser par la dérivée de l'exposant.

Wach n9der nkhrej l-3adad t-tabit mn t-takamul ?

Oui, c'est la propriété de linéarité : $\int_a^b k f(x) dx = k \int_a^b f(x) dx$ .

💡 À retenir : $k$ doit être une constante réelle.

Oui, c'est la propriété de linéarité : $\int_a^b k f(x) dx = k \int_a^b f(x) dx$.

💡 À retenir : $k$ doit être une constante réelle.

Pourquoi on ajoute + c ?

Parce qu'il existe une infinité de primitives qui diffèrent d'une constante. La dérivée d'une constante est nulle.

💡 À retenir : $F'(x) = (F(x) + c)' = F'(x) + 0 = f(x)$ .

Parce qu'il existe une infinité de primitives qui diffèrent d'une constante. La dérivée d'une constante est nulle.

💡 À retenir : $F'(x) = (F(x) + c)' = F'(x) + 0 = f(x)$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Calculer l'intégrale suivante : $I = \int_0^1 x e^x dx$ .

Exercice 1

Calculer l'intégrale suivante : $I = \int_0^1 x e^x dx$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Déterminer la primitive $F$ de la fonction $f(x) = \frac{2x}{x^2+1}$ telle que $F(0) = 3$ .

Exercice 2

Déterminer la primitive $F$ de la fonction $f(x) = \frac{2x}{x^2+1}$ telle que $F(0) = 3$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de $f(x) = x^2 - 1$ , l'axe des abscisses et les droites $x=0$ et $x=2$ .

Exercice 3

Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de $f(x) = x^2 - 1$, l'axe des abscisses et les droites $x=0$ et $x=2$.

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