Physique · Paramédical (ISPITS) — Soins infirmiers

Chute verticale d'un solide

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Chute libre : Un corps est en chute libre s'il n'est soumis qu'à son poids $\vec{P} = m\vec{g}$ $P = m g$ .
- Équation différentielle : $\frac{dv}{dt} = g$ .
- Vitesse : $v(t) = g \cdot t + v_0$ .
Chute avec frottement : Forces appliquées : Poids $\vec{P}$ $P$ , Poussée d'Archimède $\vec{F}_A$ $F_{A}$ , Frottement $\vec{f} = -k \cdot v^n \cdot \vec{k}$ $f = - k \cdot v^{n} \cdot k$ .
- Équation différentielle : $m \frac{dv}{dt} = m \cdot g - F_A - k \cdot v^n$ .
- Vitesse limite $v_{lim}$ : atteinte quand $\frac{dv}{dt} = 0$ , soit $v_{lim} = (\frac{m \cdot g - F_A}{k})^{1/n}$ .

Méthodes à maîtriser

Bilan des forces : Toujours projeter sur l'axe $(Oz)$ orienté vers le bas.
Établir l'équation différentielle : Appliquer la 2ème loi de Newton : $\sum \vec{F}_{ext} = m \vec{a}_G$ .
Déterminer $v_{lim}$ : Utiliser le graphique (asymptote) ou l'équation différentielle en posant $\frac{dv}{dt} = 0$ .

Exemples corrigés

Si $f = k \cdot v$ , l'équation est $\frac{dv}{dt} + \frac{k}{m}v = g(1 - \frac{\rho_{air}}{\rho_{solide}})$ .
La constante de temps $\tau = \frac{m}{k}$ permet de caractériser la durée du régime transitoire.

Erreurs fréquentes

Oublier la poussée d'Archimède si le fluide est l'air (souvent négligée, mais à vérifier dans l'énoncé).
Confondre le sens de l'axe $(Oz)$ avec le vecteur accélération.
Se tromper dans l'unité de $k$ (dépend de $n$ ).

L'essentiel du cours

Chute libre : Un corps est en chute libre s'il n'est soumis qu'à son poids $\vec{P} = m\vec{g}$.
- Équation différentielle : $\frac{dv}{dt} = g$.
- Vitesse : $v(t) = g \cdot t + v_0$.
Chute avec frottement : Forces appliquées : Poids $\vec{P}$, Poussée d'Archimède $\vec{F}_A$, Frottement $\vec{f} = -k \cdot v^n \cdot \vec{k}$.
- Équation différentielle : $m \frac{dv}{dt} = m \cdot g - F_A - k \cdot v^n$.
- Vitesse limite $v_{lim}$ : atteinte quand $\frac{dv}{dt} = 0$, soit $v_{lim} = (\frac{m \cdot g - F_A}{k})^{1/n}$.

Méthodes à maîtriser

Bilan des forces : Toujours projeter sur l'axe $(Oz)$ orienté vers le bas.
Établir l'équation différentielle : Appliquer la 2ème loi de Newton : $\sum \vec{F}_{ext} = m \vec{a}_G$.
Déterminer $v_{lim}$ : Utiliser le graphique (asymptote) ou l'équation différentielle en posant $\frac{dv}{dt} = 0$.

Exemples corrigés

Si $f = k \cdot v$, l'équation est $\frac{dv}{dt} + \frac{k}{m}v = g(1 - \frac{\rho_{air}}{\rho_{solide}})$.
La constante de temps $\tau = \frac{m}{k}$ permet de caractériser la durée du régime transitoire.

Erreurs fréquentes

Oublier la poussée d'Archimède si le fluide est l'air (souvent négligée, mais à vérifier dans l'énoncé).
Confondre le sens de l'axe $(Oz)$ avec le vecteur accélération.
Se tromper dans l'unité de $k$ (dépend de $n$).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Chute verticale d'un solide

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Lors d'une chute libre sans vitesse initiale, l'accélération est :

❓ Questions fréquentes

Kifach n7seb v{lim} ila 3tani ghir l'graphique ?

Chouf l'graphique dyal $v(t)$ .
9allab 3la l'blassa fin l'courbe kaywli horizontal (asymptote).
L'valeur dyal $v$ f dik l'blassa hiya $v_{lim}$ .

💡 À retenir : $v_{lim}$ hiya l'vitesse li katwli constante f l'nizam dda2im.

Chouf l'graphique dyal $v(t)$.
9allab 3la l'blassa fin l'courbe kaywli horizontal (asymptote).
L'valeur dyal $v$ f dik l'blassa hiya $v_{lim}$.

💡 À retenir : $v_{lim}$ hiya l'vitesse li katwli constante f l'nizam dda2im.

Wach dima FA katkon mouhimma ?

$F_A = \rho_{fluide} \cdot V_{solide} \cdot g$ .
Ila kan l'fluide howa l'hawa, $F_A$ katkon sghira bzaf 9dam $P$ , donc kndiro $P - F_A \approx P$ .
Ila kan l'fluide l'ma, $F_A$ katkon mouhimma.

💡 À retenir : Dima 9ra l'mou3tayat, ila 3tak $\rho_{air}$ w $\rho_{solide}$ , khassek tkhdem biha.

$F_A = \rho_{fluide} \cdot V_{solide} \cdot g$.
Ila kan l'fluide howa l'hawa, $F_A$ katkon sghira bzaf 9dam $P$, donc kndiro $P - F_A \approx P$.
Ila kan l'fluide l'ma, $F_A$ katkon mouhimma.

💡 À retenir : Dima 9ra l'mou3tayat, ila 3tak $\rho_{air}$ w $\rho_{solide}$, khassek tkhdem biha.

Kifach n7dd l'equation differentielle b 2ème loi de Newton ?

Ddir l'bilan des forces.
Applique $\sum \vec{F} = m \vec{a}$ .
Projette 3la l'axe $(Oz)$ li ghadi l't7t.
3awd $\vec{a}$ b $\frac{dv}{dt}$ .

💡 À retenir : L'projection hiya l'mouhimma, roud lbal l'signe dyal l'quwwa.

Ddir l'bilan des forces.
Applique $\sum \vec{F} = m \vec{a}$.
Projette 3la l'axe $(Oz)$ li ghadi l't7t.
3awd $\vec{a}$ b $\frac{dv}{dt}$.

💡 À retenir : L'projection hiya l'mouhimma, roud lbal l'signe dyal l'quwwa.

Quelle est la différence entre chute libre et chute avec frottement ?

La chute libre n'est soumise qu'au poids, l'accélération est constante ( $a=g$ ). La chute avec frottement subit une force opposée au mouvement, l'accélération diminue au cours du temps jusqu'à devenir nulle.

La chute libre n'est soumise qu'au poids, l'accélération est constante ($a=g$). La chute avec frottement subit une force opposée au mouvement, l'accélération diminue au cours du temps jusqu'à devenir nulle.

Comment déterminer la constante de temps tau graphiquement ?

Tracer la tangente à la courbe à l'origine ( $t=0$ ).
L'intersection de cette tangente avec l'asymptote horizontale donne l'abscisse $t = \tau$ .

💡 À retenir : $\tau$ représente la durée caractéristique du régime transitoire.

Tracer la tangente à la courbe à l'origine ($t=0$).
L'intersection de cette tangente avec l'asymptote horizontale donne l'abscisse $t = \tau$.

💡 À retenir : $\tau$ représente la durée caractéristique du régime transitoire.

Qu'est-ce que le régime permanent ?

C'est l'état où la vitesse devient constante ( $v = v_{lim}$ ) car la somme des forces devient nulle.

💡 À retenir : En régime permanent, $\frac{dv}{dt} = 0$ .

C'est l'état où la vitesse devient constante ($v = v_{lim}$) car la somme des forces devient nulle.

💡 À retenir : En régime permanent, $\frac{dv}{dt} = 0$.

Pourquoi la vitesse limite existe-t-elle ?

Car la force de frottement augmente avec la vitesse. Quand elle compense exactement le poids (et la poussée), la force résultante est nulle.

💡 À retenir : Équilibre des forces = vitesse constante.

Quelle est l'unité de la constante k si f = k cdot v ?

Puisque $f = k \cdot v$ , alors $k = f/v$ . L'unité est donc $N \cdot s \cdot m^{-1}$ ou $kg \cdot s^{-1}$ .

💡 À retenir : Toujours vérifier l'homogénéité dimensionnelle.

Puisque $f = k \cdot v$, alors $k = f/v$. L'unité est donc $N \cdot s \cdot m^{-1}$ ou $kg \cdot s^{-1}$.

💡 À retenir : Toujours vérifier l'homogénéité dimensionnelle.

L'accélération est-elle constante lors d'une chute avec frottement ?

Non, elle diminue au cours du temps car la force de frottement augmente avec la vitesse.

💡 À retenir : $a(t) = g - \frac{f(v)}{m}$ .

Non, elle diminue au cours du temps car la force de frottement augmente avec la vitesse.

💡 À retenir : $a(t) = g - \frac{f(v)}{m}$.

Comment varie la poussée d'Archimède avec la profondeur ?

Elle est constante si le fluide est homogène et le volume immergé ne change pas.

💡 À retenir : $F_A = \rho \cdot V \cdot g$ .

Elle est constante si le fluide est homogène et le volume immergé ne change pas.

💡 À retenir : $F_A = \rho \cdot V \cdot g$.

Quelle est la valeur de l'accélération à t=0 ?

À $t=0$ , $v=0$ , donc la force de frottement est nulle. L'accélération est maximale : $a_0 = g(1 - \frac{\rho_{fluide}}{\rho_{solide}})$ .

💡 À retenir : $a_0 = g$ si on néglige la poussée d'Archimède.

À $t=0$, $v=0$, donc la force de frottement est nulle. L'accélération est maximale : $a_0 = g(1 - \frac{\rho_{fluide}}{\rho_{solide}})$.

💡 À retenir : $a_0 = g$ si on néglige la poussée d'Archimède.

Peut-on utiliser les équations horaires de la chute libre pour la chute avec frottement ?

Non, les équations $v = gt$ et $z = 1/2 gt^2$ ne sont valables que si $f=0$ .

💡 À retenir : Avec frottement, il faut résoudre l'équation différentielle.

Non, les équations $v = gt$ et $z = 1/2 gt^2$ ne sont valables que si $f=0$.

💡 À retenir : Avec frottement, il faut résoudre l'équation différentielle.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une bille de masse $m = 20\,g$ tombe dans l'huile. On néglige la poussée d'Archimède. La force de frottement est $\vec{f} = -k\vec{v}$ avec $k = 0,1\,kg/s$ .

Établir l'équation différentielle.
Déterminer $v_{lim}$ .
Vérifier que $v(t) = v_{lim}(1 - e^{-t/\tau})$ est solution.

Exercice 1

Une bille de masse $m = 20,g$ tombe dans l'huile. On néglige la poussée d'Archimède. La force de frottement est $\vec{f} = -k\vec{v}$ avec $k = 0,1,kg/s$.

Établir l'équation différentielle.
Déterminer $v_{lim}$.
Vérifier que $v(t) = v_{lim}(1 - e^{-t/\tau})$ est solution.

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Exercice 2

Une bille tombe dans l'air. On donne $m = 50\,g$ , $g = 10\,m/s^2$ . L'équation différentielle est $\frac{dv}{dt} = 10 - 2v$ .

Quelle est la vitesse limite ?
Calculer l'accélération à $t=0$ .
Calculer l'accélération quand $v = 2\,m/s$ .

Exercice 2

Une bille tombe dans l'air. On donne $m = 50,g$, $g = 10,m/s^2$. L'équation différentielle est $\frac{dv}{dt} = 10 - 2v$.

Quelle est la vitesse limite ?
Calculer l'accélération à $t=0$.
Calculer l'accélération quand $v = 2,m/s$.

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Exercice 3

Un parachutiste de masse $m = 80\,kg$ chute. La force de frottement est $f = kv^2$ .

Écrire l'équation différentielle.
Exprimer $v_{lim}$ en fonction de $m, g, k$ .

Exercice 3

Un parachutiste de masse $m = 80,kg$ chute. La force de frottement est $f = kv^2$.

Écrire l'équation différentielle.
Exprimer $v_{lim}$ en fonction de $m, g, k$.

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