Physique · Paramédical (ISPITS) — Soins infirmiers

Systèmes oscillants

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Le système oscillant (pendule élastique) est constitué d'un solide de masse $m$ attaché à un ressort de raideur $k$ . L'équation différentielle du mouvement est : $\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m}x = 0$ La solution est $x(t) = X_m \cos\left(\frac{2\pi}{T_0}t + \varphi\right)$ . La période propre est $T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ .

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle par la deuxième loi de Newton.
Déterminer les constantes $X_m$ et $\varphi$ à partir des conditions initiales ( $t=0$ ).
Calculer la période $T_0$ à partir d'un graphe $x(t)$ .

Exemples corrigés

Si $m = 0,1$ kg et $k = 10$ N/m, alors $T_0 = 2\pi \sqrt{0,1/10} = 2\pi \sqrt{0,01} = 0,2\pi \approx 0,63$ s.

Erreurs fréquentes

Oublier de convertir la masse en kg.
Confondre la période $T_0$ avec la pseudo-période $T$ en présence de frottements.
Erreur de signe dans l'application de la deuxième loi de Newton.

L'essentiel du cours

Le système oscillant (pendule élastique) est constitué d'un solide de masse $m$ attaché à un ressort de raideur $k$. L'équation différentielle du mouvement est : $$\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m}x = 0$$ La solution est $x(t) = X_m \cos\left(\frac{2\pi}{T_0}t + \varphi\right)$. La période propre est $T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle par la deuxième loi de Newton.
Déterminer les constantes $X_m$ et $\varphi$ à partir des conditions initiales ($t=0$).
Calculer la période $T_0$ à partir d'un graphe $x(t)$.

Exemples corrigés

Si $m = 0,1$ kg et $k = 10$ N/m, alors $T_0 = 2\pi \sqrt{0,1/10} = 2\pi \sqrt{0,01} = 0,2\pi \approx 0,63$ s.

Erreurs fréquentes

Oublier de convertir la masse en kg.
Confondre la période $T_0$ avec la pseudo-période $T$ en présence de frottements.
Erreur de signe dans l'application de la deuxième loi de Newton.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Systèmes oscillants

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La période propre d'un pendule élastique dépend de :

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre période propre et pseudo-période ?

La période propre $T_0$ est celle d'un oscillateur sans frottements (système idéal).
La pseudo-période $T$ est celle observée quand il y a des frottements (amortissement).
On a toujours $T \approx T_0$ .

💡 À retenir : $T_0$ ne dépend que du système ( $m, k$ ), $T$ dépend aussi de l'amortissement.

La période propre $T_0$ est celle d'un oscillateur sans frottements (système idéal).
La pseudo-période $T$ est celle observée quand il y a des frottements (amortissement).
On a toujours $T \approx T_0$.

💡 À retenir : $T_0$ ne dépend que du système ($m, k$), $T$ dépend aussi de l'amortissement.

Kifach n7seb l-wa9t bach yewsel l-objet l-akbar wos3?

L'objet atteint l'amplitude maximale $X_m$ quand la fonction cosinus vaut 1 ou -1.
Il faut résoudre $\cos(\frac{2\pi}{T_0}t + \varphi) = \pm 1$ .
Souvent, cela correspond à $t = T_0/4$ ou $3T_0/4$ selon la phase initiale.

💡 À retenir : L'amplitude est atteinte aux quarts de période.

L'objet atteint l'amplitude maximale $X_m$ quand la fonction cosinus vaut 1 ou -1.
Il faut résoudre $\cos(\frac{2\pi}{T_0}t + \varphi) = \pm 1$.
Souvent, cela correspond à $t = T_0/4$ ou $3T_0/4$ selon la phase initiale.

💡 À retenir : L'amplitude est atteinte aux quarts de période.

Est-ce que la masse m change la période T0 ?

Oui, d'après la formule $T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ , si la masse augmente, la période augmente.

💡 À retenir : Plus le système est lourd, plus il oscille lentement.

Oui, d'après la formule $T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$, si la masse augmente, la période augmente.

💡 À retenir : Plus le système est lourd, plus il oscille lentement.

Chno hiya l-fayda d-l-mo3adala t-tafadoliya?

Elle décrit mathématiquement l'évolution de la position au cours du temps.
Elle permet de trouver la nature du mouvement (sinusoïdal).
Elle permet de calculer les paramètres du système ( $k, m$ ).

💡 À retenir : C'est la "carte d'identité" dynamique du système.

Elle décrit mathématiquement l'évolution de la position au cours du temps.
Elle permet de trouver la nature du mouvement (sinusoïdal).
Elle permet de calculer les paramètres du système ($k, m$).

💡 À retenir : C'est la "carte d'identité" dynamique du système.

Est-ce que l'amplitude dépend de la vitesse initiale ?

Oui, une vitesse initiale plus grande donne une énergie mécanique plus grande, donc une amplitude plus élevée.

💡 À retenir : $E_m = \frac{1}{2}kX_m^2$ , donc $X_m$ dépend de l'énergie totale.

Oui, une vitesse initiale plus grande donne une énergie mécanique plus grande, donc une amplitude plus élevée.

💡 À retenir : $E_m = \frac{1}{2}kX_m^2$, donc $X_m$ dépend de l'énergie totale.

Kifach n-3ref wach l-7araka khamida wla la?

Regarde le graphe $x(t)$ .
Si les sommets diminuent au cours du temps, c'est un régime pseudo-périodique (amorti).
Si les sommets restent constants, c'est un régime périodique (non amorti).

💡 À retenir : Amortissement = perte d'énergie = baisse de l'amplitude.

Regarde le graphe $x(t)$.
Si les sommets diminuent au cours du temps, c'est un régime pseudo-périodique (amorti).
Si les sommets restent constants, c'est un régime périodique (non amorti).

💡 À retenir : Amortissement = perte d'énergie = baisse de l'amplitude.

La raideur k est-elle toujours constante ?

Oui, pour un ressort idéal dans son domaine d'élasticité, $k$ est une constante caractéristique du ressort.

💡 À retenir : $k$ s'exprime en N/m.

Oui, pour un ressort idéal dans son domaine d'élasticité, $k$ est une constante caractéristique du ressort.

💡 À retenir : $k$ s'exprime en N/m.

Pourquoi on utilise la loi de Newton pour trouver l'équation différentielle ?

Parce que la somme des forces appliquées au solide est égale au produit de sa masse par son accélération ( $\sum \vec{F} = m\vec{a}$ ).

💡 À retenir : C'est la base de la mécanique classique.

Parce que la somme des forces appliquées au solide est égale au produit de sa masse par son accélération ($\sum \vec{F} = m\vec{a}$).

💡 À retenir : C'est la base de la mécanique classique.

Est-ce que la phase à l'origine varphi est toujours nulle ?

Non, elle dépend de la position et de la vitesse à l'instant $t=0$ .

💡 À retenir : Si on lâche le système sans vitesse initiale à $x=X_m$ , alors $\varphi = 0$ .

Non, elle dépend de la position et de la vitesse à l'instant $t=0$.

💡 À retenir : Si on lâche le système sans vitesse initiale à $x=X_m$, alors $\varphi = 0$.

Est-ce que le pendule simple est au programme ?

Oui, mais uniquement pour les petites oscillations où $\sin(\theta) \approx \theta$ .

💡 À retenir : Pour les grands angles, le mouvement n'est plus sinusoïdal.

Oui, mais uniquement pour les petites oscillations où $\sin(\theta) \approx \theta$.

💡 À retenir : Pour les grands angles, le mouvement n'est plus sinusoïdal.

Comment calculer la vitesse maximale v{max} ?

On sait que $v(t) = \frac{dx}{dt} = -X_m \frac{2\pi}{T_0} \sin(\frac{2\pi}{T_0}t + \varphi)$ .
La valeur maximale est donc $v_{max} = X_m \frac{2\pi}{T_0}$ .

💡 À retenir : $v_{max} = X_m \cdot \omega_0$ .

On sait que $v(t) = \frac{dx}{dt} = -X_m \frac{2\pi}{T_0} \sin(\frac{2\pi}{T_0}t + \varphi)$.
La valeur maximale est donc $v_{max} = X_m \frac{2\pi}{T_0}$.

💡 À retenir : $v_{max} = X_m \cdot \omega_0$.

La pulsation omega0 est-elle la même chose que la fréquence f ?

Non, $\omega_0 = 2\pi f = \frac{2\pi}{T_0}$ .

💡 À retenir : $\omega_0$ est en rad/s, $f$ est en Hz.

Non, $\omega_0 = 2\pi f = \frac{2\pi}{T_0}$.

💡 À retenir : $\omega_0$ est en rad/s, $f$ est en Hz.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un ressort de raideur $k = 20$ N/m est attaché à une masse $m = 0,2$ kg. On écarte le solide de $X_m = 0,05$ m et on le lâche sans vitesse initiale.

Établir l'équation différentielle.
Calculer la période propre $T_0$ .
Déterminer l'expression de $x(t)$ .

Exercice 1

Un ressort de raideur $k = 20$ N/m est attaché à une masse $m = 0,2$ kg. On écarte le solide de $X_m = 0,05$ m et on le lâche sans vitesse initiale.

Établir l'équation différentielle.
Calculer la période propre $T_0$.
Déterminer l'expression de $x(t)$.

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Exercice 2

Un système oscillant a une période $T_0 = 0,5$ s. À $t=0$ , $x(0) = 0$ et $v(0) > 0$ .

Déterminer la phase à l'origine $\varphi$ .
Si $X_m = 0,1$ m, écrire $x(t)$ .

Exercice 2

Un système oscillant a une période $T_0 = 0,5$ s. À $t=0$, $x(0) = 0$ et $v(0) > 0$.

Déterminer la phase à l'origine $\varphi$.
Si $X_m = 0,1$ m, écrire $x(t)$.

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Exercice 3

Un ressort est étiré de 2 cm sous l'effet d'une masse de 100 g. Calculer $k$ puis $T_0$ .

Exercice 3

Un ressort est étiré de 2 cm sous l'effet d'une masse de 100 g. Calculer $k$ puis $T_0$.

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