Mathématiques · Prépa concours post-bac — IAV & ENA Meknès

Fonctions usuelles (logarithmes, exponentielles, puissances)

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Fonction $\ln$ : Définie sur $]0, +\infty[$ , dérivable, $\ln'(x) = \frac{1}{x}$ . $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ , $\ln(a^n) = n\ln a$ .
Fonction $\exp$ : Définie sur $\mathbb{R}$ , $\exp'(x) = \exp(x)$ . $\exp(a+b) = \exp(a)\exp(b)$ .
Fonction puissance : Pour $a \in \mathbb{R}$ , $x^a = \exp(a \ln x)$ pour $x > 0$ .
Croissances comparées : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ pour $n > 0$ .

Méthodes à maîtriser

Résoudre des équations avec $\ln$ : Toujours commencer par déterminer le domaine de définition.
Étude de fonctions : Calculer la dérivée, étudier son signe, puis dresser le tableau de variations.
Utiliser les croissances comparées pour lever les formes indéterminées.

Exemples corrigés

Résoudre $\ln(x) + \ln(x-1) = \ln(2)$ : Domaine $x > 1$ . $\ln(x(x-1)) = \ln(2) \implies x^2-x-2=0$ . Solutions $x=2$ ou $x=-1$ . Seul $x=2$ convient.
Dérivée de $f(x) = x^x$ : $f(x) = \exp(x \ln x)$ . $f'(x) = (1 + \ln x)x^x$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le domaine de définition (ex: $\ln(x^2)$ n'est pas $2\ln x$ si $x < 0$ ).
Confondre $\ln(a+b)$ avec $\ln a + \ln b$ .
Se tromper dans le signe de la dérivée lors de l'étude de fonction.

L'essentiel du cours

Fonction $\ln$ : Définie sur $]0, +\infty[$, dérivable, $\ln'(x) = \frac{1}{x}$. $\ln(ab) = \ln a + \ln b$, $\ln(a^n) = n\ln a$.
Fonction $\exp$ : Définie sur $\mathbb{R}$, $\exp'(x) = \exp(x)$. $\exp(a+b) = \exp(a)\exp(b)$.
Fonction puissance : Pour $a \in \mathbb{R}$, $x^a = \exp(a \ln x)$ pour $x > 0$.
Croissances comparées : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ pour $n > 0$.

Méthodes à maîtriser

Résoudre des équations avec $\ln$ : Toujours commencer par déterminer le domaine de définition.
Étude de fonctions : Calculer la dérivée, étudier son signe, puis dresser le tableau de variations.
Utiliser les croissances comparées pour lever les formes indéterminées.

Exemples corrigés

Résoudre $\ln(x) + \ln(x-1) = \ln(2)$ : Domaine $x > 1$. $\ln(x(x-1)) = \ln(2) \implies x^2-x-2=0$. Solutions $x=2$ ou $x=-1$. Seul $x=2$ convient.
Dérivée de $f(x) = x^x$ : $f(x) = \exp(x \ln x)$. $f'(x) = (1 + \ln x)x^x$.

Erreurs fréquentes

Oublier le domaine de définition (ex: $\ln(x^2)$ n'est pas $2\ln x$ si $x < 0$).
Confondre $\ln(a+b)$ avec $\ln a + \ln b$.
Se tromper dans le signe de la dérivée lors de l'étude de fonction.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Fonctions usuelles (logarithmes, exponentielles, puissances)

1/4

Quel est le domaine de définition de $f(x) = \ln(1-x)$ ?

❓ Questions fréquentes

Kifach n7seb domaine de définition dyal ln(x^2-4) ?

Il faut que l'argument du $\ln$ soit strictement positif : $x^2 - 4 > 0$ .
Résoudre l'inéquation : $(x-2)(x+2) > 0$ .
Le tableau de signes donne $x \in ]-\infty, -2[ \cup ]2, +\infty[$ .

💡 À retenir : L'intérieur d'un $\ln$ doit toujours être strictement positif.

Il faut que l'argument du $\ln$ soit strictement positif : $x^2 - 4 > 0$.
Résoudre l'inéquation : $(x-2)(x+2) > 0$.
Le tableau de signes donne $x \in ]-\infty, -2[ \cup ]2, +\infty[$.

💡 À retenir : L'intérieur d'un $\ln$ doit toujours être strictement positif.

Est-ce que ln(x^2) = 2ln(x) est toujours vrai ?

Non, c'est faux.

$\ln(x^2)$ est défini pour tout $x \neq 0$ .
$2\ln(x)$ n'est défini que pour $x > 0$ .
Si $x < 0$ , $\ln(x^2) = 2\ln(|x|)$ .

💡 À retenir : $\ln(x^n) = n\ln(x)$ seulement si $x > 0$ .

Non, c'est faux.

$\ln(x^2)$ est défini pour tout $x \neq 0$.
$2\ln(x)$ n'est défini que pour $x > 0$.
Si $x < 0$, $\ln(x^2) = 2\ln(|x|)$.

💡 À retenir : $\ln(x^n) = n\ln(x)$ seulement si $x > 0$.

Chno hiya l'relation bin ln o exp ?

Ce sont des fonctions réciproques l'une de l'autre.

$\exp(\ln(x)) = x$ pour tout $x > 0$ .
$\ln(\exp(x)) = x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .

💡 À retenir : Elles s'annulent mutuellement.

Ce sont des fonctions réciproques l'une de l'autre.

$\exp(\ln(x)) = x$ pour tout $x > 0$.
$\ln(\exp(x)) = x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

💡 À retenir : Elles s'annulent mutuellement.

Comment lever une forme indéterminée infty - infty avec des exponentielles ?

Factoriser par le terme dominant.
Exemple : $e^{2x} - e^x = e^x(e^x - 1)$ .
Étudier la limite de chaque facteur.

💡 À retenir : La factorisation par le terme le plus fort est la clé.

Factoriser par le terme dominant.
Exemple : $e^{2x} - e^x = e^x(e^x - 1)$.
Étudier la limite de chaque facteur.

💡 À retenir : La factorisation par le terme le plus fort est la clé.

Kifach n3ref wach ln tzaida aw tna9sa ?

Calcule la dérivée : $f'(x) = 1/x$ .
Sur $]0, +\infty[$ , $1/x$ est toujours positif.
Donc $\ln$ est strictement croissante.

💡 À retenir : Une dérivée positive signifie une fonction croissante.

Calcule la dérivée : $f'(x) = 1/x$.
Sur $]0, +\infty[$, $1/x$ est toujours positif.
Donc $\ln$ est strictement croissante.

💡 À retenir : Une dérivée positive signifie une fonction croissante.

Quelle est la dérivée de a^x ?

On écrit $a^x = \exp(x \ln a)$ .
La dérivée est $(\ln a) \cdot \exp(x \ln a)$ .
Donc $(a^x)' = (\ln a) a^x$ .

💡 À retenir : Ne pas oublier le facteur $\ln a$ .

On écrit $a^x = \exp(x \ln a)$.
La dérivée est $(\ln a) \cdot \exp(x \ln a)$.
Donc $(a^x)' = (\ln a) a^x$.

💡 À retenir : Ne pas oublier le facteur $\ln a$.

Pourquoi lim{x to 0^+} x ln x = 0 ?

C'est une limite classique de croissance comparée. La puissance de $x$ l'emporte sur le logarithme au voisinage de 0.

💡 À retenir : À connaître par cœur pour les examens.

C'est une limite classique de croissance comparée. La puissance de $x$ l'emporte sur le logarithme au voisinage de 0.

💡 À retenir : À connaître par cœur pour les examens.

Est-ce qu'on peut utiliser ln pour les nombres négatifs ?

Non, la fonction $\ln$ n'est pas définie pour les réels négatifs ou nuls dans le programme de terminale/prépa.

💡 À retenir : $\ln(x)$ exige $x > 0$ .

Non, la fonction $\ln$ n'est pas définie pour les réels négatifs ou nuls dans le programme de terminale/prépa.

💡 À retenir : $\ln(x)$ exige $x > 0$.

Comment étudier le signe de e^x - 1 ?

$e^x - 1 = 0 \iff e^x = 1 \iff x = 0$ .
$e^x - 1 > 0 \iff e^x > 1 \iff x > 0$ .
$e^x - 1 < 0 \iff x < 0$ .

💡 À retenir : La fonction exponentielle est croissante.

$e^x - 1 = 0 \iff e^x = 1 \iff x = 0$.
$e^x - 1 > 0 \iff e^x > 1 \iff x > 0$.
$e^x - 1 < 0 \iff x < 0$.

💡 À retenir : La fonction exponentielle est croissante.

Quelle est la primitive de 1/x ?

La primitive est $\ln(|x|) + C$ .

💡 À retenir : Toujours mettre la valeur absolue pour le domaine de définition.

La primitive est $\ln(|x|) + C$.

💡 À retenir : Toujours mettre la valeur absolue pour le domaine de définition.

Est-ce que (ln x)^2 = ln(x^2) ?

Non, $(\ln x)^2$ est le carré du logarithme, tandis que $\ln(x^2)$ est le logarithme du carré de $x$ .

💡 À retenir : La position du carré change tout.

Non, $(\ln x)^2$ est le carré du logarithme, tandis que $\ln(x^2)$ est le logarithme du carré de $x$.

💡 À retenir : La position du carré change tout.

Comment simplifier e^{3ln 2} ?

$e^{3\ln 2} = e^{\ln(2^3)}$ .
$e^{\ln(8)} = 8$ .

💡 À retenir : Utiliser $n\ln a = \ln(a^n)$ avant d'appliquer l'exponentielle.

$e^{3\ln 2} = e^{\ln(2^3)}$.
$e^{\ln(8)} = 8$.

💡 À retenir : Utiliser $n\ln a = \ln(a^n)$ avant d'appliquer l'exponentielle.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$ .

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Étudier les variations de la fonction $f(x) = x - \ln x$ sur $]0, +\infty[$ .

Exercice 2

Étudier les variations de la fonction $f(x) = x - \ln x$ sur $]0, +\infty[$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Calculer $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^2}$ .

Exercice 3

Calculer $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^2}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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