Mathématiques · Prépa concours post-bac — IAV & ENA Meknès

Déterminants et systèmes linéaires

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Le déterminant d'une matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est un scalaire noté $\det(A)$ .
Propriétés : $\det(AB) = \det(A)\det(B)$ , $\det(I_n) = 1$ , $\det(A^T) = \det(A)$ .
Une matrice est inversible si et seulement si $\det(A) \neq 0$ .
Formule de l'inverse : $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{com}(A)^T$ .
Un système $AX=B$ est de Cramer si $\det(A) \neq 0$ , il admet alors une solution unique $X = A^{-1}B$ .

Méthodes à maîtriser

Calculer un déterminant $3 \times 3$ par la règle de Sarrus ou le développement selon une ligne/colonne.
Utiliser les opérations élémentaires sur les lignes pour faire apparaître des zéros.
Résoudre un système par la méthode du pivot de Gauss.
Vérifier l'inversibilité d'une matrice avant de calculer son inverse.

Exemples corrigés

Calcul de $\det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = (1 \times 4) - (2 \times 3) = -2$ .
Système $AX=B$ avec $\det(A) \neq 0$ : on utilise $x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$ (Cramer).

Erreurs fréquentes

Oublier le signe $(-1)^{i+j}$ lors du développement d'un déterminant.
Confondre la transposée de la comatrice avec la comatrice elle-même.
Multiplier une ligne par un scalaire sans diviser le déterminant par ce même scalaire.

L'essentiel du cours

Le déterminant d'une matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est un scalaire noté $\det(A)$.
Propriétés : $\det(AB) = \det(A)\det(B)$, $\det(I_n) = 1$, $\det(A^T) = \det(A)$.
Une matrice est inversible si et seulement si $\det(A) \neq 0$.
Formule de l'inverse : $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{com}(A)^T$.
Un système $AX=B$ est de Cramer si $\det(A) \neq 0$, il admet alors une solution unique $X = A^{-1}B$.

Méthodes à maîtriser

Calculer un déterminant $3 \times 3$ par la règle de Sarrus ou le développement selon une ligne/colonne.
Utiliser les opérations élémentaires sur les lignes pour faire apparaître des zéros.
Résoudre un système par la méthode du pivot de Gauss.
Vérifier l'inversibilité d'une matrice avant de calculer son inverse.

Exemples corrigés

Calcul de $\det \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix} = (1 \times 4) - (2 \times 3) = -2$.
Système $AX=B$ avec $\det(A) \neq 0$ : on utilise $x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$ (Cramer).

Erreurs fréquentes

Oublier le signe $(-1)^{i+j}$ lors du développement d'un déterminant.
Confondre la transposée de la comatrice avec la comatrice elle-même.
Multiplier une ligne par un scalaire sans diviser le déterminant par ce même scalaire.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Déterminants et systèmes linéaires

1/4

Si $\det(A) = 5$ , alors $\det(A^2)$ vaut :

Si $\det(A) = 5$, alors $\det(A^2)$ vaut :

❓ Questions fréquentes

Kifach n7seb det dyal matrix 3x3?

Choisis la ligne ou la colonne qui contient le plus de zéros.
Développe selon cette ligne en utilisant les signes alternés $(+ - +)$ .
Calcule les déterminants $2 \times 2$ restants.

💡 À retenir : Le signe de l'élément $a_{i,j}$ est $(-1)^{i+j}$ .

Choisis la ligne ou la colonne qui contient le plus de zéros.
Développe selon cette ligne en utilisant les signes alternés $(+ - +)$.
Calcule les déterminants $2 \times 2$ restants.

💡 À retenir : Le signe de l'élément $a_{i,j}$ est $(-1)^{i+j}$.

Wach dima n-khdem b Cramer?

Non, Cramer est efficace pour les systèmes $3 \times 3$ avec paramètres. Pour des systèmes plus grands, le pivot de Gauss est beaucoup plus rapide.

💡 À retenir : Cramer est réservé aux systèmes de Cramer ( $det \neq 0$ ).

Non, Cramer est efficace pour les systèmes $3 \times 3$ avec paramètres. Pour des systèmes plus grands, le pivot de Gauss est beaucoup plus rapide.

💡 À retenir : Cramer est réservé aux systèmes de Cramer ($det \neq 0$).

Chno hiya l-3alaqa bin det(A) w det(kA)?

Si $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ , alors $\det(kA) = k^n \det(A)$ . Attention à ne pas oublier la puissance $n$ .

💡 À retenir : Le facteur $k$ sort $n$ fois, une fois par ligne.

Si $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, alors $\det(kA) = k^n \det(A)$. Attention à ne pas oublier la puissance $n$.

💡 À retenir : Le facteur $k$ sort $n$ fois, une fois par ligne.

Comment savoir si un système n'a pas de solution ?

Si $\det(A) = 0$ , le système n'est pas de Cramer. Il faut alors utiliser le pivot de Gauss pour voir si on obtient une ligne du type $0 = 1$ .

💡 À retenir : Si $0=k$ avec $k \neq 0$ , le système est impossible.

Si $\det(A) = 0$, le système n'est pas de Cramer. Il faut alors utiliser le pivot de Gauss pour voir si on obtient une ligne du type $0 = 1$.

💡 À retenir : Si $0=k$ avec $k \neq 0$, le système est impossible.

Est-ce que det(A+B) = det(A) + det(B) ?

C'est une erreur classique ! En général, $\det(A+B) \neq \det(A) + \det(B)$ .

💡 À retenir : Le déterminant est multilinéaire, pas linéaire par rapport à la matrice.

C'est une erreur classique ! En général, $\det(A+B) \neq \det(A) + \det(B)$.

💡 À retenir : Le déterminant est multilinéaire, pas linéaire par rapport à la matrice.

Comment calculer l'inverse d'une matrice 3 times 3 ?

Calculer $\det(A)$ . S'il est nul, pas d'inverse.
Calculer la comatrice $\text{com}(A)$ .
Transposer la comatrice.
Multiplier par $1/\det(A)$ .

💡 À retenir : $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} (\text{com}(A))^T$ .

Calculer $\det(A)$. S'il est nul, pas d'inverse.
Calculer la comatrice $\text{com}(A)$.
Transposer la comatrice.
Multiplier par $1/\det(A)$.

💡 À retenir : $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} (\text{com}(A))^T$.

Wach l-matrix li det dyalha 0 kat-inversa?

La, ila kan $\det(A) = 0$ , l-matrix ma-kat-inversach (non inversible).

💡 À retenir : Inversibilité $\iff \det(A) \neq 0$ .

La, ila kan $\det(A) = 0$, l-matrix ma-kat-inversach (non inversible).

💡 À retenir : Inversibilité $\iff \det(A) \neq 0$.

Pourquoi on utilise le pivot de Gauss ?

Pour transformer le système en un système triangulaire supérieur, ce qui permet de trouver les inconnues par substitution remontante.

💡 À retenir : C'est la méthode la plus robuste pour tout type de système.

Peut-on changer l'ordre des lignes dans un déterminant ?

Oui, mais chaque échange de deux lignes multiplie le déterminant par $-1$ .

💡 À retenir : Garde le compte des échanges effectués.

Oui, mais chaque échange de deux lignes multiplie le déterminant par $-1$.

💡 À retenir : Garde le compte des échanges effectués.

Qu'est-ce qu'une matrice singulière ?

C'est une matrice dont le déterminant est nul, donc elle n'est pas inversible.

💡 À retenir : Singulière = non inversible.

Comment vérifier si des vecteurs sont libres avec le déterminant ?

Si tu places tes vecteurs en colonnes dans une matrice, ils sont libres si et seulement si le déterminant de cette matrice est non nul.

💡 À retenir : $\det \neq 0 \iff$ famille libre.

Si tu places tes vecteurs en colonnes dans une matrice, ils sont libres si et seulement si le déterminant de cette matrice est non nul.

💡 À retenir : $\det \neq 0 \iff$ famille libre.

Le déterminant peut-il être négatif ?

Oui, le déterminant est un réel, il peut être positif, négatif ou nul.

💡 À retenir : Le signe n'a pas d'impact sur l'inversibilité, seul le fait d'être nul compte.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}$ .

Calculer $\det(A)$ .
La matrice $A$ est-elle inversible ?
Calculer $A^{-1}$ .

Exercice 1

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 2 \ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}$.

Calculer $\det(A)$.
La matrice $A$ est-elle inversible ?
Calculer $A^{-1}$.

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Exercice 2

Résoudre le système suivant par la méthode de Cramer : $x + y + z = 1$ $x + 2y + 3z = 2$ $x + 4y + 9z = 3$

Exercice 2

Résoudre le système suivant par la méthode de Cramer : $x + y + z = 1$ $x + 2y + 3z = 2$ $x + 4y + 9z = 3$

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Exercice 3

Soit $A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}$ . Pour quelles valeurs de $a$ la matrice est-elle non inversible ?

Exercice 3

Soit $A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \ 1 & a & 1 \ 1 & 1 & a \end{pmatrix}$. Pour quelles valeurs de $a$ la matrice est-elle non inversible ?

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