Mathématiques · Prépa concours post-bac — IAV & ENA Meknès

Variables aléatoires discrètes

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une variable aléatoire $X$ est une application de l'univers $\Omega$ vers $\mathbb{R}$ .

Loi de probabilité : C'est l'ensemble des couples $(x_i, P(X=x_i))$ tels que $\sum P(X=x_i) = 1$ .
Espérance : $E(X) = \sum_{i=1}^n x_i P(X=x_i)$ .
Variance : $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ avec $E(X^2) = \sum x_i^2 P(X=x_i)$ .
Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ .
Loi Binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ : $P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$ .

Méthodes à maîtriser

Construction du tableau : Lister toutes les valeurs possibles de $X$ avant de calculer les probabilités.
Calcul de l'espérance : Toujours vérifier que la somme des probabilités vaut 1.
Loi binomiale : Identifier $n$ (nombre d'épreuves) et $p$ (probabilité de succès).

Exemples corrigés

Exemple : Une urne contient 3 boules rouges et 2 blanches. On tire 2 boules simultanément. $X$ est le nombre de boules rouges.

$P(X=0) = \frac{C_2^2}{C_5^2} = \frac{1}{10}$ .
$P(X=1) = \frac{C_3^1 \times C_2^1}{C_5^2} = \frac{6}{10}$ .
$P(X=2) = \frac{C_3^2}{C_5^2} = \frac{3}{10}$ . $E(X) = 0(0,1) + 1(0,6) + 2(0,3) = 1,2$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que $P(X=x_i)$ doit être compris entre 0 et 1.
Confondre tirage avec remise (loi binomiale) et sans remise (dénombrement classique).
Oublier la racine carrée pour l'écart-type.

L'essentiel du cours

Une variable aléatoire $X$ est une application de l'univers $\Omega$ vers $\mathbb{R}$.

Loi de probabilité : C'est l'ensemble des couples $(x_i, P(X=x_i))$ tels que $\sum P(X=x_i) = 1$.
Espérance : $E(X) = \sum_{i=1}^n x_i P(X=x_i)$.
Variance : $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ avec $E(X^2) = \sum x_i^2 P(X=x_i)$.
Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.
Loi Binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ : $P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$.

Méthodes à maîtriser

Construction du tableau : Lister toutes les valeurs possibles de $X$ avant de calculer les probabilités.
Calcul de l'espérance : Toujours vérifier que la somme des probabilités vaut 1.
Loi binomiale : Identifier $n$ (nombre d'épreuves) et $p$ (probabilité de succès).

Exemples corrigés

Exemple : Une urne contient 3 boules rouges et 2 blanches. On tire 2 boules simultanément. $X$ est le nombre de boules rouges.

$P(X=0) = \frac{C_2^2}{C_5^2} = \frac{1}{10}$.
$P(X=1) = \frac{C_3^1 \times C_2^1}{C_5^2} = \frac{6}{10}$.
$P(X=2) = \frac{C_3^2}{C_5^2} = \frac{3}{10}$. $E(X) = 0(0,1) + 1(0,6) + 2(0,3) = 1,2$.

Erreurs fréquentes

Oublier que $P(X=x_i)$ doit être compris entre 0 et 1.
Confondre tirage avec remise (loi binomiale) et sans remise (dénombrement classique).
Oublier la racine carrée pour l'écart-type.

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🎯 Variables aléatoires discrètes

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Pour une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ , quelle est la formule de l'espérance ?

Pour une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$, quelle est la formule de l'espérance ?

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre une variable aléatoire et un événement ?

Un événement est un sous-ensemble de l'univers (il est réalisé ou non).
Une variable aléatoire est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue de l'univers.

💡 À retenir : L'événement est le "quoi", la variable aléatoire est le "combien".

Kifach n7seb l'espérance ila kan l'jadwal fih l'qiyam saliba ?

La méthode ne change pas : tu multiplies chaque valeur (même négative) par sa probabilité.
Tu fais la somme algébrique de ces produits.

💡 À retenir : $E(X)$ peut être négative, c'est une moyenne pondérée.

La méthode ne change pas : tu multiplies chaque valeur (même négative) par sa probabilité.
Tu fais la somme algébrique de ces produits.

💡 À retenir : $E(X)$ peut être négative, c'est une moyenne pondérée.

Chno hiya l'far9 bin tirage successif avec remise et sans remise ?

Avec remise : les probabilités restent constantes, on utilise la loi binomiale.
Sans remise : les probabilités changent à chaque tirage, on utilise le dénombrement (arrangements/combinaisons).

💡 À retenir : Avec remise = Indépendance ; Sans remise = Dépendance.

Est-ce que la variance peut être négative ?

Non, la variance est une somme de carrés pondérés, elle est toujours positive ou nulle.

💡 À retenir : Si tu trouves un résultat négatif, vérifie ton calcul de $E(X^2)$ .

Non, la variance est une somme de carrés pondérés, elle est toujours positive ou nulle.

💡 À retenir : Si tu trouves un résultat négatif, vérifie ton calcul de $E(X^2)$.

Kifach n3ref wach nst3mel loi binomiale wla la ?

Vérifie si tu as une répétition de la même épreuve $n$ fois.
Vérifie si chaque épreuve a deux issues : succès ou échec.
Vérifie si les épreuves sont indépendantes.

💡 À retenir : Si ces 3 conditions sont réunies, c'est une loi binomiale.

Vérifie si tu as une répétition de la même épreuve $n$ fois.
Vérifie si chaque épreuve a deux issues : succès ou échec.
Vérifie si les épreuves sont indépendantes.

💡 À retenir : Si ces 3 conditions sont réunies, c'est une loi binomiale.

Pourquoi la somme des probabilités doit être égale à 1 ?

Parce que la variable aléatoire doit prendre l'une des valeurs possibles de l'univers, et la probabilité de l'univers est 1 (événement certain).

💡 À retenir : C'est un excellent moyen de vérifier tes calculs.

Comment interpréter l'écart-type ?

Il mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance. Plus il est petit, plus les valeurs sont proches de la moyenne.

💡 À retenir : Un écart-type faible signifie une grande régularité.

Est-ce que E(aX + b) = aE(X) + b ?

Oui, l'espérance est un opérateur linéaire.

💡 À retenir : Cette propriété est très utile pour simplifier les calculs complexes.

Est-ce que V(aX + b) = aV(X) + b ?

Non, $V(aX + b) = a^2 V(X)$ . La constante $b$ disparaît car elle ne modifie pas la dispersion.

💡 À retenir : Attention, le $a$ devient $a^2$ dans la variance.

Non, $V(aX + b) = a^2 V(X)$. La constante $b$ disparaît car elle ne modifie pas la dispersion.

💡 À retenir : Attention, le $a$ devient $a^2$ dans la variance.

Si P(X=xi) = 0, est-ce que cette valeur compte dans l'espérance ?

Mathématiquement, elle compte pour zéro, donc elle n'influence pas le résultat final.

💡 À retenir : Tu peux l'ignorer dans tes calculs de somme.

Comment calculer P(X geq 1) ?

Il est souvent plus simple de calculer $1 - P(X < 1)$ , c'est-à-dire $1 - P(X=0)$ .

💡 À retenir : Pense toujours à l'événement contraire pour gagner du temps.

Il est souvent plus simple de calculer $1 - P(X < 1)$, c'est-à-dire $1 - P(X=0)$.

💡 À retenir : Pense toujours à l'événement contraire pour gagner du temps.

Est-ce que l'ordre des valeurs dans le tableau de loi de probabilité est important ?

Non, l'ordre n'a pas d'importance, mais il est préférable de les ranger par ordre croissant pour plus de clarté.

💡 À retenir : La rigueur facilite la relecture et évite les erreurs.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une urne contient 4 boules noires et 2 boules blanches. On tire 3 boules successivement avec remise. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches tirées.

Déterminer la loi de probabilité de $X$ .
Calculer l'espérance $E(X)$ .

Exercice 1

Une urne contient 4 boules noires et 2 boules blanches. On tire 3 boules successivement avec remise. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches tirées.

Déterminer la loi de probabilité de $X$.
Calculer l'espérance $E(X)$.

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Exercice 2

Un jeu consiste à lancer un dé équilibré. Si on obtient 6, on gagne 10 DH. Si on obtient un nombre pair autre que 6, on gagne 2 DH. Sinon, on perd 5 DH.

Déterminer la loi de probabilité de $X$ (gain).
Calculer l'espérance. Est-ce un jeu équitable ?

Exercice 2

Un jeu consiste à lancer un dé équilibré. Si on obtient 6, on gagne 10 DH. Si on obtient un nombre pair autre que 6, on gagne 2 DH. Sinon, on perd 5 DH.

Déterminer la loi de probabilité de $X$ (gain).
Calculer l'espérance. Est-ce un jeu équitable ?

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Exercice 3

Soit $X$ une variable aléatoire telle que $P(X=0)=0,2$ , $P(X=1)=0,5$ et $P(X=2)=0,3$ . Calculer la variance $V(X)$ .

Exercice 3

Soit $X$ une variable aléatoire telle que $P(X=0)=0,2$, $P(X=1)=0,5$ et $P(X=2)=0,3$. Calculer la variance $V(X)$.

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