Mathématiques · Prépa concours post-bac — IAV & ENA Meknès

Applications linéaires et matrices

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels. Une application $f: E \to F$ est linéaire si : $\forall (u, v) \in E^2, \forall \lambda \in \mathbb{K}, f(u+v) = f(u)+f(v)$ et $f(\lambda u) = \lambda f(u)$ .

Le noyau $\ker(f) = \{x \in E / f(x) = 0_F\}$ est un sous-espace vectoriel de $E$ .
L'image $\text{Im}(f) = \{f(x) / x \in E\}$ est un sous-espace vectoriel de $F$ .
Théorème du rang : Si $E$ est de dimension finie, $\dim(E) = \dim(\ker(f)) + \dim(\text{Im}(f))$ .
Une matrice $A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ représente une application linéaire dans des bases données.

Méthodes à maîtriser

Démontrer qu'une application est linéaire : Vérifier $f(0)=0$ et la linéarité par combinaison linéaire.
Déterminer le noyau : Résoudre le système $f(x,y,z) = (0,0,0)$ .
Calcul matriciel : Maîtriser le produit $A \times B$ (ligne par colonne).
Inverser une matrice : Utiliser la méthode de Gauss-Jordan ou le déterminant (à vérifier par le professeur).

Exemples corrigés

Soit $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(x,y) = (x+y, 2x)$ . Matrice dans la base canonique : $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ .
Calcul de $A^2$ : $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que $f(0)$ doit être $0_F$ .
Confondre le produit matriciel $AB$ et $BA$ (non commutatif).
Croire que toute matrice est inversible (seules celles de déterminant non nul le sont).

L'essentiel du cours

Le noyau $\ker(f) = {x \in E / f(x) = 0_F}$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
L'image $\text{Im}(f) = {f(x) / x \in E}$ est un sous-espace vectoriel de $F$.
Théorème du rang : Si $E$ est de dimension finie, $\dim(E) = \dim(\ker(f)) + \dim(\text{Im}(f))$.
Une matrice $A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ représente une application linéaire dans des bases données.

Méthodes à maîtriser

Démontrer qu'une application est linéaire : Vérifier $f(0)=0$ et la linéarité par combinaison linéaire.
Déterminer le noyau : Résoudre le système $f(x,y,z) = (0,0,0)$.
Calcul matriciel : Maîtriser le produit $A \times B$ (ligne par colonne).
Inverser une matrice : Utiliser la méthode de Gauss-Jordan ou le déterminant (à vérifier par le professeur).

Exemples corrigés

Soit $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(x,y) = (x+y, 2x)$. Matrice dans la base canonique : $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 2 & 0 \end{pmatrix}$.
Calcul de $A^2$ : $\begin{pmatrix} 1 & 1 \ 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \ 2 & 2 \end{pmatrix}$.

Erreurs fréquentes

Oublier que $f(0)$ doit être $0_F$.
Confondre le produit matriciel $AB$ et $BA$ (non commutatif).
Croire que toute matrice est inversible (seules celles de déterminant non nul le sont).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Applications linéaires et matrices

1/4

Laquelle de ces propriétés est vraie pour une application linéaire $f$ ?

❓ Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une application linéaire ?

C'est une fonction qui respecte la structure d'espace vectoriel. Elle transforme une somme en somme et multiplie les vecteurs par un scalaire sans changer leur direction relative.

Elle conserve l'addition : $f(u+v) = f(u)+f(v)$ .
Elle conserve la multiplication par un scalaire : $f(\lambda u) = \lambda f(u)$ .

💡 À retenir : Une application linéaire envoie toujours le vecteur nul sur le vecteur nul.

C'est une fonction qui respecte la structure d'espace vectoriel. Elle transforme une somme en somme et multiplie les vecteurs par un scalaire sans changer leur direction relative.

Elle conserve l'addition : $f(u+v) = f(u)+f(v)$.
Elle conserve la multiplication par un scalaire : $f(\lambda u) = \lambda f(u)$.

💡 À retenir : Une application linéaire envoie toujours le vecteur nul sur le vecteur nul.

Kifach n7seb l-noyau dyal wahed l-tatbiq khatti ?

Pour trouver le noyau $\ker(f)$ , tu dois résoudre l'équation $f(x, y, z) = (0, 0, 0)$ .

Écris les coordonnées du vecteur image en fonction de $(x, y, z)$ .
Pose un système d'équations égal à zéro.
Résous le système pour exprimer les variables les unes en fonction des autres.
Écris l'ensemble des solutions sous forme de combinaison linéaire de vecteurs.

💡 À retenir : Le noyau est l'ensemble des vecteurs qui "disparaissent" après l'application.

Pour trouver le noyau $\ker(f)$, tu dois résoudre l'équation $f(x, y, z) = (0, 0, 0)$.

Écris les coordonnées du vecteur image en fonction de $(x, y, z)$.
Pose un système d'équations égal à zéro.
Résous le système pour exprimer les variables les unes en fonction des autres.
Écris l'ensemble des solutions sous forme de combinaison linéaire de vecteurs.

💡 À retenir : Le noyau est l'ensemble des vecteurs qui "disparaissent" après l'application.

Est-ce que le produit de deux matrices est toujours possible ?

Non. Pour multiplier une matrice $A$ par une matrice $B$ , il faut que le nombre de colonnes de $A$ soit égal au nombre de lignes de $B$ . Si $A \in \mathcal{M}_{n,p}$ et $B \in \mathcal{M}_{p,m}$ , alors $AB \in \mathcal{M}_{n,m}$ .

💡 À retenir : Le "nombre intérieur" doit correspondre ( $p=p$ ).

Non. Pour multiplier une matrice $A$ par une matrice $B$, il faut que le nombre de colonnes de $A$ soit égal au nombre de lignes de $B$. Si $A \in \mathcal{M}{n,p}$ et $B \in \mathcal{M}{p,m}$, alors $AB \in \mathcal{M}_{n,m}$.

💡 À retenir : Le "nombre intérieur" doit correspondre ($p=p$).

Chno hiya l-matrice li kat-samma matrice identité ?

C'est la matrice carrée notée $I_n$ qui a des $1$ sur la diagonale principale et des $0$ partout ailleurs. Elle joue le rôle du nombre $1$ dans la multiplication des matrices : $A \times I = I \times A = A$ .

💡 À retenir : $I_n$ ne change rien à la matrice multipliée.

Comment savoir si une application est un isomorphisme ?

Une application linéaire est un isomorphisme si elle est bijective.

Elle doit être injective : $\ker(f) = \{0_E\}$ .
Elle doit être surjective : $\text{Im}(f) = F$ .
En dimension finie, il suffit que $\dim(E) = \dim(F)$ et que $\ker(f) = \{0_E\}$ .

💡 À retenir : Un isomorphisme est une "copie conforme" entre deux espaces.

Une application linéaire est un isomorphisme si elle est bijective.

Elle doit être injective : $\ker(f) = {0_E}$.
Elle doit être surjective : $\text{Im}(f) = F$.
En dimension finie, il suffit que $\dim(E) = \dim(F)$ et que $\ker(f) = {0_E}$.

💡 À retenir : Un isomorphisme est une "copie conforme" entre deux espaces.

Kifach n3ref wach wahed l-matrice 3ndha l-maqloub (inversible) ?

Une matrice carrée $A$ est inversible si et seulement si son déterminant est non nul ( $\det(A) \neq 0$ ).

Calcule le déterminant.
S'il est différent de zéro, alors $A^{-1}$ existe.
Sinon, la matrice n'est pas inversible.

💡 À retenir : $\det(A) \neq 0 \iff A$ est inversible.

Une matrice carrée $A$ est inversible si et seulement si son déterminant est non nul ($\det(A) \neq 0$).

Calcule le déterminant.
S'il est différent de zéro, alors $A^{-1}$ existe.
Sinon, la matrice n'est pas inversible.

💡 À retenir : $\det(A) \neq 0 \iff A$ est inversible.

Qu'est-ce que le rang d'une matrice ?

C'est la dimension de l'espace engendré par ses colonnes (ou ses lignes).

C'est le nombre maximal de colonnes linéairement indépendantes.
Pour une matrice $n \times n$ , si le rang est égal à $n$ , la matrice est inversible.

💡 À retenir : Le rang mesure l'information "utile" dans la matrice.

C'est la dimension de l'espace engendré par ses colonnes (ou ses lignes).

C'est le nombre maximal de colonnes linéairement indépendantes.
Pour une matrice $n \times n$, si le rang est égal à $n$, la matrice est inversible.

💡 À retenir : Le rang mesure l'information "utile" dans la matrice.

Est-ce que f(u+v) = f(u)+f(v) suffit pour dire que f est linéaire ?

Non, il faut aussi vérifier la condition de multiplication par un scalaire : $f(\lambda u) = \lambda f(u)$ . Certaines fonctions (comme $f(x) = x^2$ dans $\mathbb{R}$ ) vérifient $f(x+y) \neq f(x)+f(y)$ mais ne sont pas linéaires.

💡 À retenir : Il faut toujours vérifier les deux conditions (ou la combinaison linéaire).

Non, il faut aussi vérifier la condition de multiplication par un scalaire : $f(\lambda u) = \lambda f(u)$. Certaines fonctions (comme $f(x) = x^2$ dans $\mathbb{R}$) vérifient $f(x+y) \neq f(x)+f(y)$ mais ne sont pas linéaires.

💡 À retenir : Il faut toujours vérifier les deux conditions (ou la combinaison linéaire).

Comment calculer la transposée d'une matrice ?

La transposée d'une matrice $A$ , notée $^tA$ , s'obtient en échangeant les lignes et les colonnes.

La 1ère ligne devient la 1ère colonne.
La 2ème ligne devient la 2ème colonne, et ainsi de suite.

💡 À retenir : Si $A_{i,j}$ est l'élément à la ligne $i$ et colonne $j$ , alors $(^tA)_{j,i} = A_{i,j}$ .

La transposée d'une matrice $A$, notée $^tA$, s'obtient en échangeant les lignes et les colonnes.

La 1ère ligne devient la 1ère colonne.
La 2ème ligne devient la 2ème colonne, et ainsi de suite.

💡 À retenir : Si $A_{i,j}$ est l'élément à la ligne $i$ et colonne $j$, alors $(^tA){j,i} = A{i,j}$.

Pourquoi on utilise les matrices ?

Les matrices permettent de représenter des applications linéaires de manière compacte et de résoudre des systèmes d'équations linéaires complexes par le calcul matriciel.

💡 À retenir : Elles sont l'outil fondamental pour l'informatique et la physique.

Est-ce que le rang d'une matrice change si on multiplie par un scalaire ?

Si le scalaire est non nul, le rang ne change pas. Si tu multiplies toute la matrice par $0$ , le rang devient $0$ .

💡 À retenir : Le rang est invariant par multiplication par un scalaire non nul.

Si le scalaire est non nul, le rang ne change pas. Si tu multiplies toute la matrice par $0$, le rang devient $0$.

💡 À retenir : Le rang est invariant par multiplication par un scalaire non nul.

Chno hiya l-matrice nulle ?

C'est la matrice dont tous les coefficients sont nuls. On la note $0_{n,p}$ .

💡 À retenir : Elle joue le rôle du zéro dans l'addition des matrices.

C'est la matrice dont tous les coefficients sont nuls. On la note $0_{n,p}$.

💡 À retenir : Elle joue le rôle du zéro dans l'addition des matrices.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(x,y,z) = (x+y, y+z)$ .

Montrer que $f$ est une application linéaire.
Déterminer la matrice de $f$ dans les bases canoniques de $\mathbb{R}^3$ et $\mathbb{R}^2$ .
Déterminer $\ker(f)$ .

Exercice 1

Soit $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(x,y,z) = (x+y, y+z)$.

Montrer que $f$ est une application linéaire.
Déterminer la matrice de $f$ dans les bases canoniques de $\mathbb{R}^3$ et $\mathbb{R}^2$.
Déterminer $\ker(f)$.

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Exercice 2

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

Calculer $A^2$ et $A^3$ .
Montrer par récurrence que $A^n = \begin{pmatrix} 1 & 2n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

Exercice 2

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Calculer $A^2$ et $A^3$.
Montrer par récurrence que $A^n = \begin{pmatrix} 1 & 2n \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

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Exercice 3

Soit $f$ un endomorphisme de $\mathbb{R}^2$ dont la matrice dans la base canonique est $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ .

Déterminer le rang de $A$ .
Déterminer $\ker(f)$ .
$f$ est-il un isomorphisme ? Justifier.

Exercice 3

Soit $f$ un endomorphisme de $\mathbb{R}^2$ dont la matrice dans la base canonique est $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 2 & 4 \end{pmatrix}$.

Déterminer le rang de $A$.
Déterminer $\ker(f)$.
$f$ est-il un isomorphisme ? Justifier.

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