Mathématiques · Prépa concours post-bac — IAV & ENA Meknès
Espaces vectoriels
Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.
📘 Fiche de cours
L'essentiel du cours
Un espace vectoriel $(E, +, \cdot)$ est un ensemble muni d'une addition et d'une multiplication par un scalaire vérifiant 8 axiomes (associativité, commutativité, élément neutre, opposé, distributivité).
Pour montrer qu'une partie $F \subset E$ est un sous-espace vectoriel (SEV), il suffit de vérifier :
$F \neq \emptyset$ (souvent $0_E \in F$).
$\forall u, v \in F, \forall \alpha, \beta \in \mathbb{R} : \alpha u + \beta v \in F$.
Une famille $(e_1, ..., e_n)$ est libre si $\sum \alpha_i e_i = 0 \implies \alpha_i = 0$.
Une base est une famille à la fois libre et génératrice. Si $E$ est de dimension finie $n$, toute base a $n$ éléments.
Méthodes à maîtriser
Démontrer un SEV : Vérifier toujours que le vecteur nul appartient à l'ensemble.
Montrer qu'une famille est libre : Résoudre le système linéaire associé.
Déterminer une base : Extraire une famille libre et génératrice.
Dimension : Utiliser le théorème de la base incomplète ou le rang des vecteurs.
Exemples corrigés
$F = { (x, y) \in \mathbb{R}^2 / x + y = 0 }$ est un SEV de $\mathbb{R}^2$.
La famille $((1, 0), (0, 1))$ est la base canonique de $\mathbb{R}^2$.
Dans $\mathbb{R}^3$, la famille $((1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1))$ est libre.
Erreurs fréquentes
Oublier de vérifier $0_E \in F$.
Confondre "famille génératrice" et "base" (une base doit être libre).
Penser qu'une famille de 3 vecteurs dans $\mathbb{R}^2$ est toujours une base (impossible, elle est forcément liée).
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Est-ce que l'ensemble des vecteurs (x, y) tels que x+y=1 est un sous-espace vectoriel ?
Non. Pour qu'un ensemble soit un sous-espace vectoriel, il doit contenir le vecteur nul $(0, 0)$. Ici, si on remplace $x=0$ et $y=0$, on obtient $0+0=0 \neq 1$. Donc $(0, 0) \notin F$.
💡 À retenir : Si $0_E$ n'est pas dans l'ensemble, ce n'est pas un SEV.
Kifach n7seb la dimension d'un espace vectoriel ?
Cherche une base de cet espace.
Compte le nombre de vecteurs dans cette base.
Ce nombre est la dimension. Par exemple, si ta base a 3 vecteurs, la dimension est 3.
💡 À retenir : La dimension est le nombre minimal de vecteurs pour engendrer l'espace.
Est-ce que toute famille libre est une base ?
Non, une famille libre est une base seulement si elle est aussi génératrice de l'espace. Si elle ne génère pas tout l'espace, ce n'est qu'une famille libre.
💡 À retenir : Base = Libre + Génératrice.
Kifach n3ref wach wahed l'ensemble est un sous-espace vectoriel ?
Vérifie si le vecteur nul est dedans.
Prends deux vecteurs $u, v$ de l'ensemble et deux scalaires $\alpha, \beta$.
Vérifie si $\alpha u + \beta v$ est encore dans l'ensemble.
💡 À retenir : La stabilité par combinaison linéaire est la clé.
Est-ce que le vecteur nul peut faire partie d'une famille libre ?
Non. Si une famille contient le vecteur nul, elle est automatiquement liée. En effet, $1 \cdot 0_E + 0 \cdot e_2 + ... = 0_E$, et comme le coefficient devant $0_E$ est non nul (c'est 1), la définition de la liberté n'est pas respectée.
💡 À retenir : Une famille libre ne contient jamais le vecteur nul.
Chno hiya la différence entre famille génératrice et base ?
Une famille génératrice permet d'écrire n'importe quel vecteur de l'espace, mais elle peut contenir des vecteurs "inutiles" (liés). Une base est une famille génératrice "optimisée" : elle est libre, donc chaque vecteur est nécessaire.
💡 À retenir : Une base est une famille génératrice minimale.
Si j'ai 4 vecteurs dans mathbb{R}^3, est-ce qu'ils peuvent former une base ?
Non. Dans $\mathbb{R}^3$, la dimension est 3. Toute base doit avoir exactement 3 vecteurs. Une famille de 4 vecteurs est forcément liée.
💡 À retenir : Dans un espace de dimension $n$, une base a toujours $n$ vecteurs.
Comment montrer qu'une famille est liée ?
Il suffit de montrer qu'il existe une combinaison linéaire non nulle des vecteurs qui donne le vecteur nul, ou bien montrer qu'un vecteur est combinaison linéaire des autres.
💡 À retenir : Si un vecteur est "de trop", la famille est liée.
Est-ce que l'ensemble des polynômes de degré exactement 2 est un SEV ?
Non. Le polynôme nul n'est pas de degré 2. De plus, la somme de deux polynômes de degré 2 peut donner un polynôme de degré 1 (ex: $(x^2+x) + (-x^2+1) = x+1$).
💡 À retenir : L'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$ est un SEV, mais pas celui des polynômes de degré exactement $n$.
Si F et G sont deux SEV, est-ce que F cup G est un SEV ?
En général non. Par exemple, dans $\mathbb{R}^2$, les axes des abscisses et des ordonnées sont des SEV, mais leur réunion n'est pas un SEV car la somme d'un vecteur sur l'axe $x$ et d'un vecteur sur l'axe $y$ n'est pas sur ces axes.
💡 À retenir : La réunion de deux SEV est un SEV si et seulement si l'un est inclus dans l'autre.
Kifach n'extraire une base d'une famille génératrice ?
Écris tes vecteurs en colonnes dans une matrice.
Fais des opérations élémentaires sur les lignes (pivot de Gauss).
Les colonnes qui contiennent les pivots correspondent aux vecteurs qui forment la base.
💡 À retenir : On garde les vecteurs linéairement indépendants.
Est-ce que la dimension peut être infinie ?
Oui, par exemple l'espace des fonctions continues sur $[a, b]$ ou l'espace des polynômes $\mathbb{R}[X]$ sont de dimension infinie. Cependant, au programme de prépa, on travaille surtout en dimension finie.
💡 À retenir : La dimension finie est le cas standard en examen.
✍️ Exercices type examen national
Exercice 1
Soit $F = { (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 / x - y + 2z = 0 }$.
Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$.
Un espace vectoriel (E,+,⋅) est un ensemble muni d'une addition et d'une multiplication par un scalaire vérifiant 8 axiomes (associativité, commutativité, élément neutre, opposé, distributivité).
Pour montrer qu'une partie F⊂E est un sous-espace vectoriel (SEV), il suffit de vérifier :
F=∅ (souvent 0E∈F).
∀u,v∈F,∀α,β∈R:αu+βv∈F.
Une famille (e1,...,en) est libre si ∑αiei=0⟹αi=0.
Une base est une famille à la fois libre et génératrice. Si E est de dimension finie n, toute base a n éléments.
Méthodes à maîtriser
Démontrer un SEV : Vérifier toujours que le vecteur nul appartient à l'ensemble.
Montrer qu'une famille est libre : Résoudre le système linéaire associé.
Déterminer une base : Extraire une famille libre et génératrice.
Dimension : Utiliser le théorème de la base incomplète ou le rang des vecteurs.
Exemples corrigés
F={(x,y)∈R2/x+y=0} est un SEV de R2.
La famille ((1,0),(0,1)) est la base canonique de R2.
Dans R3, la famille ((1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)) est libre.
Erreurs fréquentes
Oublier de vérifier 0E∈F.
Confondre "famille génératrice" et "base" (une base doit être libre).
Penser qu'une famille de 3 vecteurs dans R2 est toujours une base (impossible, elle est forcément liée).
Quelle est la dimension de R3 ?
Non. Pour qu'un ensemble soit un sous-espace vectoriel, il doit contenir le vecteur nul (0,0). Ici, si on remplace x=0 et y=0, on obtient 0+0=0=1. Donc (0,0)∈/F.
💡 À retenir : Si 0E n'est pas dans l'ensemble, ce n'est pas un SEV.
Vérifie si le vecteur nul est dedans.
Prends deux vecteurs u,v de l'ensemble et deux scalaires α,β.
Vérifie si αu+βv est encore dans l'ensemble.
💡 À retenir : La stabilité par combinaison linéaire est la clé.
Non. Si une famille contient le vecteur nul, elle est automatiquement liée. En effet, 1⋅0E+0⋅e2+...=0E, et comme le coefficient devant 0E est non nul (c'est 1), la définition de la liberté n'est pas respectée.
💡 À retenir : Une famille libre ne contient jamais le vecteur nul.
Non. Dans R3, la dimension est 3. Toute base doit avoir exactement 3 vecteurs. Une famille de 4 vecteurs est forcément liée.
💡 À retenir : Dans un espace de dimension n, une base a toujours n vecteurs.
Non. Le polynôme nul n'est pas de degré 2. De plus, la somme de deux polynômes de degré 2 peut donner un polynôme de degré 1 (ex: (x2+x)+(−x2+1)=x+1).
💡 À retenir : L'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n est un SEV, mais pas celui des polynômes de degré exactementn.
En général non. Par exemple, dans R2, les axes des abscisses et des ordonnées sont des SEV, mais leur réunion n'est pas un SEV car la somme d'un vecteur sur l'axe x et d'un vecteur sur l'axe y n'est pas sur ces axes.
💡 À retenir : La réunion de deux SEV est un SEV si et seulement si l'un est inclus dans l'autre.
Oui, par exemple l'espace des fonctions continues sur [a,b] ou l'espace des polynômes R[X] sont de dimension infinie. Cependant, au programme de prépa, on travaille surtout en dimension finie.
💡 À retenir : La dimension finie est le cas standard en examen.
Exercice 1
Soit F={(x,y,z)∈R3/x−y+2z=0}.
Montrer que F est un sous-espace vectoriel de R3.
Déterminer une base de F et sa dimension.
Exercice 2
Soit E=R3. On considère les vecteurs u1=(1,1,0), u2=(0,1,1) et u3=(1,0,1).
Montrer que (u1,u2,u3) est une base de R3.
Déterminer les coordonnées du vecteur v=(1,2,3) dans cette base.
Exercice 3
Soit P1=1+X, P2=X+X2, P3=1+X2.
Montrer que (P1,P2,P3) est une base de R2[X].