Mathématiques · Prépa concours post-bac — IAV & ENA Meknès

Dérivabilité et étude de fonctions

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Dérivabilité en $a$ : $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a) \in \mathbb{R}$ .
Équation de la tangente : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .
Opérations : $(u+v)' = u'+v'$ , $(uv)' = u'v+uv'$ , $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$ , $(f \circ g)' = g' \cdot (f' \circ g)$ .
Théorème de Rolle : Si $f$ continue sur $[a,b]$ , dérivable sur $]a,b[$ et $f(a)=f(b)$ , alors $\exists c \in ]a,b[, f'(c)=0$ .
Théorème des Accroissements Finis (TAF) : Si $f$ continue sur $[a,b]$ , dérivable sur $]a,b[$ , alors $\exists c \in ]a,b[, f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ .

Méthodes à maîtriser

Étudier la dérivabilité à droite et à gauche pour les points de raccordement.
Utiliser le signe de $f'(x)$ pour déterminer les variations.
Calculer la dérivée seconde $f''(x)$ pour étudier la concavité et les points d'inflexion.
Appliquer le TAF pour encadrer des valeurs de fonctions.

Exemples corrigés

Dérivabilité : Soit $f(x) = |x-1|$ . En $x=1$ , $\lim_{x \to 1^+} \frac{x-1-0}{x-1} = 1$ et $\lim_{x \to 1^-} \frac{-(x-1)-0}{x-1} = -1$ . $f$ n'est pas dérivable en 1 (point anguleux).
Variations : $f(x) = x^3 - 3x$ . $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$ . $f$ croît sur $]-\infty, -1]$ et $[1, +\infty[$ , décroît sur $[-1, 1]$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la continuité avant d'affirmer la dérivabilité.
Confondre le signe de $f'(x)$ avec la valeur de $f(x)$ .
Mal dériver une fonction composée (oublier de multiplier par $u'$ ).

L'essentiel du cours

Dérivabilité en $a$ : $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a) \in \mathbb{R}$.
Équation de la tangente : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.
Opérations : $(u+v)' = u'+v'$, $(uv)' = u'v+uv'$, $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$, $(f \circ g)' = g' \cdot (f' \circ g)$.
Théorème de Rolle : Si $f$ continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$ et $f(a)=f(b)$, alors $\exists c \in ]a,b[, f'(c)=0$.
Théorème des Accroissements Finis (TAF) : Si $f$ continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$, alors $\exists c \in ]a,b[, f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

Méthodes à maîtriser

Étudier la dérivabilité à droite et à gauche pour les points de raccordement.
Utiliser le signe de $f'(x)$ pour déterminer les variations.
Calculer la dérivée seconde $f''(x)$ pour étudier la concavité et les points d'inflexion.
Appliquer le TAF pour encadrer des valeurs de fonctions.

Exemples corrigés

Dérivabilité : Soit $f(x) = |x-1|$. En $x=1$, $\lim_{x \to 1^+} \frac{x-1-0}{x-1} = 1$ et $\lim_{x \to 1^-} \frac{-(x-1)-0}{x-1} = -1$. $f$ n'est pas dérivable en 1 (point anguleux).
Variations : $f(x) = x^3 - 3x$. $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$. $f$ croît sur $]-\infty, -1]$ et $[1, +\infty[$, décroît sur $[-1, 1]$.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la continuité avant d'affirmer la dérivabilité.
Confondre le signe de $f'(x)$ avec la valeur de $f(x)$.
Mal dériver une fonction composée (oublier de multiplier par $u'$).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Dérivabilité et étude de fonctions

1/4

Si $f'(x) > 0$ sur $I$ , alors $f$ est :

Si $f'(x) > 0$ sur $I$, alors $f$ est :

❓ Questions fréquentes

Est-ce qu'une fonction dérivable est toujours continue ?

Oui, toute fonction dérivable en un point $a$ est nécessairement continue en ce point. La réciproque est fausse (exemple : $f(x) = |x|$ est continue en 0 mais non dérivable).

💡 À retenir : Dérivabilité $\implies$ Continuité.

Oui, toute fonction dérivable en un point $a$ est nécessairement continue en ce point. La réciproque est fausse (exemple : $f(x) = |x|$ est continue en 0 mais non dérivable).

💡 À retenir : Dérivabilité $\implies$ Continuité.

Kifach n3ref wach l-no9ta hiya no9ta in3itaf?

Pour trouver un point d'inflexion, il faut chercher les points où la dérivée seconde $f''(x)$ s'annule en changeant de signe. Si $f''(x)$ change de signe en $a$ , alors le point $(a, f(a))$ est un point d'inflexion.

💡 À retenir : Changement de signe de $f''$ = Point d'inflexion.

Pour trouver un point d'inflexion, il faut chercher les points où la dérivée seconde $f''(x)$ s'annule en changeant de signe. Si $f''(x)$ change de signe en $a$, alors le point $(a, f(a))$ est un point d'inflexion.

💡 À retenir : Changement de signe de $f''$ = Point d'inflexion.

Quelle est la différence entre un extremum local et global ?

Un extremum local est une valeur maximale ou minimale sur un voisinage ouvert de $a$ .
Un extremum global est la valeur maximale ou minimale sur tout l'ensemble de définition.

💡 À retenir : Global implique local, mais local n'implique pas global.

Un extremum local est une valeur maximale ou minimale sur un voisinage ouvert de $a$.
Un extremum global est la valeur maximale ou minimale sur tout l'ensemble de définition.

💡 À retenir : Global implique local, mais local n'implique pas global.

Chno hiya l-far9 bin l-mou3amil l-mouwajih dyal l-mamas w l-mou3amil dyal l-watar?

Le coefficient directeur de la tangente en $a$ est $f'(a)$ . Le coefficient directeur de la sécante (watar) passant par $a$ et $b$ est $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ . Le TAF dit qu'ils sont égaux pour au moins un point $c$ .

💡 À retenir : Tangente = dérivée, Watar = taux d'accroissement.

Le coefficient directeur de la tangente en $a$ est $f'(a)$. Le coefficient directeur de la sécante (watar) passant par $a$ et $b$ est $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. Le TAF dit qu'ils sont égaux pour au moins un point $c$.

💡 À retenir : Tangente = dérivée, Watar = taux d'accroissement.

Comment justifier la dérivabilité d'une fonction composée ?

Si $u$ est dérivable sur $I$ et $v$ est dérivable sur $u(I)$ , alors $v \circ u$ est dérivable sur $I$ et $(v \circ u)'(x) = u'(x) \cdot v'(u(x))$ .

💡 À retenir : Toujours vérifier que $u(x)$ appartient à l'ensemble de dérivabilité de $v$ .

Si $u$ est dérivable sur $I$ et $v$ est dérivable sur $u(I)$, alors $v \circ u$ est dérivable sur $I$ et $(v \circ u)'(x) = u'(x) \cdot v'(u(x))$.

💡 À retenir : Toujours vérifier que $u(x)$ appartient à l'ensemble de dérivabilité de $v$.

Kifach n7seb l-mou3adala dyal l-mamas?

Calcule $f(a)$ .
Calcule $f'(a)$ .
Applique la formule $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .

💡 À retenir : $y = f'(a)x - af'(a) + f(a)$ .

Calcule $f(a)$.
Calcule $f'(a)$.
Applique la formule $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.

💡 À retenir : $y = f'(a)x - af'(a) + f(a)$.

Le théorème de Rolle est-il applicable si f(a) neq f(b) ?

Non, la condition $f(a) = f(b)$ est indispensable pour appliquer le théorème de Rolle. Si $f(a) \neq f(b)$ , on utilise le théorème des accroissements finis.

💡 À retenir : Rolle est un cas particulier du TAF.

Non, la condition $f(a) = f(b)$ est indispensable pour appliquer le théorème de Rolle. Si $f(a) \neq f(b)$, on utilise le théorème des accroissements finis.

💡 À retenir : Rolle est un cas particulier du TAF.

Peut-on avoir f'(x) = 0 sans avoir un extremum ?

Oui, par exemple $f(x) = x^3$ . $f'(0) = 0$ , mais $f$ est strictement croissante, donc 0 n'est pas un extremum.

💡 À retenir : $f'(x)=0$ est une condition nécessaire mais pas suffisante pour un extremum.

Oui, par exemple $f(x) = x^3$. $f'(0) = 0$, mais $f$ est strictement croissante, donc 0 n'est pas un extremum.

💡 À retenir : $f'(x)=0$ est une condition nécessaire mais pas suffisante pour un extremum.

Qu'est-ce qu'une branche parabolique ?

C'est une direction asymptotique vers l'infini. Si $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \infty$ , la courbe admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.

💡 À retenir : Étudier le rapport $f(x)/x$ .

C'est une direction asymptotique vers l'infini. Si $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \infty$, la courbe admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.

💡 À retenir : Étudier le rapport $f(x)/x$.

Comment étudier la concavité ?

Calculer $f''(x)$ .
Étudier le signe de $f''(x)$ .
Si $f''(x) > 0$ , la courbe est convexe (tournée vers le haut). Si $f''(x) < 0$ , elle est concave.

💡 À retenir : $f'' > 0 \implies$ Convexe.

Calculer $f''(x)$.
Étudier le signe de $f''(x)$.
Si $f''(x) > 0$, la courbe est convexe (tournée vers le haut). Si $f''(x) < 0$, elle est concave.

💡 À retenir : $f'' > 0 \implies$ Convexe.

Est-ce que la dérivée d'une fonction paire est impaire ?

Oui. Si $f$ est paire, $f(-x) = f(x)$ . En dérivant, $-f'(-x) = f'(x)$ , donc $f'(-x) = -f'(x)$ .

💡 À retenir : La parité s'inverse par dérivation.

Oui. Si $f$ est paire, $f(-x) = f(x)$. En dérivant, $-f'(-x) = f'(x)$, donc $f'(-x) = -f'(x)$.

💡 À retenir : La parité s'inverse par dérivation.

Pourquoi on étudie les limites aux bornes ?

Pour connaître le comportement de la fonction à l'infini et aux points où elle n'est pas définie (asymptotes).

💡 À retenir : Les limites donnent la "forme" globale de la courbe.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f(x) = x^3 - 3x + 2$ .

Étudier les variations de $f$ .
Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse $x=0$ .
Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique sur $]1, 2[$ .

Exercice 1

Soit $f(x) = x^3 - 3x + 2$.

Étudier les variations de $f$.
Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse $x=0$.
Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique sur $]1, 2[$.

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Exercice 2

Soit $f(x) = \frac{x^2+1}{x}$ .

Étudier les branches infinies de $f$ .
Calculer $f''(x)$ et en déduire la concavité.

Exercice 2

Soit $f(x) = \frac{x^2+1}{x}$.

Étudier les branches infinies de $f$.
Calculer $f''(x)$ et en déduire la concavité.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $f$ une fonction dérivable sur $[0, 1]$ telle que $f(0)=0$ et $f(1)=1$ . Montrer qu'il existe $c \in ]0, 1[$ tel que $f'(c) = 1$ .

Exercice 3

Soit $f$ une fonction dérivable sur $[0, 1]$ telle que $f(0)=0$ et $f(1)=1$. Montrer qu'il existe $c \in ]0, 1[$ tel que $f'(c) = 1$.

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