Ensembles et applications

C'est l'application qui "annule" l'action de $f$. Si $f: E \to F$ est bijective, alors $f^{-1}: F \to E$ est définie par $f^{-1}(y) = x \iff f(x) = y$.

💡 À retenir : $f^{-1} \circ f = Id_E$ et $f \circ f^{-1} = Id_F$.

Oui, dans le programme marocain, une application est une fonction dont l'ensemble de définition est égal à l'ensemble de départ. On utilise le terme "application" pour souligner que chaque élément de l'ensemble de départ possède une image.

💡 À retenir : Toute application est une fonction, mais la réciproque n'est pas toujours vraie si le domaine de définition est restreint.

Pour calculer $f^{-1}(I)$, tu dois résoudre l'inéquation $f(x) \in I$.

1. Pose $x \in f^{-1}(I) \iff f(x) \in I$.
2. Remplace $f(x)$ par son expression.
3. Résous l'inéquation obtenue pour trouver l'ensemble des valeurs de $x$.

💡 À retenir : L'image réciproque est l'ensemble des antécédents de tous les éléments de l'intervalle.

Oui, graphiquement, une fonction est injective si toute droite horizontale coupe la courbe en au plus un point. Elle est surjective si toute droite horizontale coupe la courbe en au moins un point.

💡 À retenir : La méthode algébrique reste la seule exigée pour la rédaction de l'examen national.

1. Prends un élément $y \in f(A \cap B)$.
2. Par définition, il existe $x \in A \cap B$ tel que $f(x) = y$.
3. Comme $x \in A$ et $x \in B$, alors $f(x) \in f(A)$ et $f(x) \in f(B)$.
4. Donc $y \in f(A) \cap f(B)$.

💡 À retenir : L'inclusion inverse n'est pas toujours vraie sans l'injectivité.

Oui. Si $f$ et $g$ sont injectives, alors $g \circ f$ est injective. Preuve : $(g \circ f)(x_1) = (g \circ f)(x_2) \implies g(f(x_1)) = g(f(x_2))$. Comme $g$ est injective, $f(x_1) = f(x_2)$. Comme $f$ est injective, $x_1 = x_2$.

💡 À retenir : La composée conserve les propriétés d'injectivité, surjectivité et bijectivité.

Il faut vérifier si l'ensemble d'arrivée est égal à l'ensemble image $f(E)$.

1. Fixe $y$ dans l'ensemble d'arrivée.
2. Cherche s'il existe au moins un $x$ dans l'ensemble de départ tel que $f(x) = y$.
3. Si tu trouves une expression de $x$ en fonction de $y$ qui marche toujours, c'est surjectif.

💡 À retenir : Si tu trouves une valeur de $y$ qui n'a pas d'antécédent, alors elle n'est pas surjective.

Oui, cette égalité est toujours vraie pour n'importe quelle application $f$ et n'importe quels sous-ensembles $A$ et $B$.

💡 À retenir : L'image directe respecte toujours la réunion, contrairement à l'intersection.

Oui, si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$, si $f$ est strictement monotone (strictement croissante ou décroissante), alors $f$ est injective sur $I$.

💡 À retenir : La stricte monotonie est une condition suffisante pour l'injectivité.

C'est l'application $Id_E : E \to E$ définie par $Id_E(x) = x$. Elle ne change rien aux éléments.

💡 À retenir : Elle joue le rôle d'élément neutre pour la composition des applications.

Il suffit de montrer que pour tout $y \in F$, l'équation $f(x) = y$ possède une unique solution $x \in E$.

💡 À retenir : L'existence donne la surjectivité, l'unicité donne l'injectivité.

Oui, si $E$ a $n$ éléments, alors $\mathcal{P}(E)$ possède $2^n$ éléments.

💡 À retenir : C'est une propriété fondamentale en dénombrement.