Mathématiques · 2 Bac Sciences Physiques

Suites numériques

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Suite définie par récurrence : Une suite $(u_n)$ est définie par son premier terme $u_{n_0}$ et une relation $u_{n+1} = f(u_n)$ .
Monotonie : Pour étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ . Si $u_{n+1} - u_n > 0$ , la suite est croissante.
Suites arithmétiques : $u_{n+1} = u_n + r$ . Terme général : $u_n = u_p + (n-p)r$ .
Suites géométriques : $u_{n+1} = q \cdot u_n$ . Terme général : $u_n = u_p \cdot q^{n-p}$ .
Convergence : Une suite est convergente si elle admet une limite finie $l$ .
Théorème de convergence monotone : Toute suite croissante et majorée est convergente. Toute suite décroissante et minorée est convergente.
Suites adjacentes : $(u_n)$ croissante, $(v_n)$ décroissante et $\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = 0$ . Elles convergent vers la même limite.

Méthodes à maîtriser

Raisonnement par récurrence : Initialisation, Hérédité, Conclusion. Indispensable pour montrer qu'une suite est majorée ou minorée.
Étude de $u_{n+1} = f(u_n)$ : Si $f$ est continue sur un intervalle $I$ , que $f(I) \subset I$ et que $(u_n)$ converge vers $l$ , alors $l$ est solution de l'équation $f(l) = l$ .
Utilisation des suites auxiliaires : Pour transformer une suite récurrente en suite géométrique ou arithmétique (ex: $v_n = u_n - \alpha$ ).

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 3$ . Si $u_n \to l$ , alors $l = \frac{1}{2}l + 3 \iff \frac{1}{2}l = 3 \iff l = 6$ .
Exemple 2 : Montrer par récurrence que $u_n \geq 2$ $u_{n} \geq 2$ pour $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ $u_{n + 1} = u_{n} + 2$ .
- Initialisation : $u_0 \geq 2$ (vrai).
- Hérédité : Supposons $u_n \geq 2$ , alors $u_n + 2 \geq 4$ , donc $\sqrt{u_n + 2} \geq 2$ , soit $u_{n+1} \geq 2$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $u_n$ et $u_{n+1}$ dans la rédaction de l'hérédité.
Oublier de préciser que la fonction $f$ est continue avant de résoudre $f(l) = l$ .
Affirmer qu'une suite est convergente simplement parce qu'elle est majorée (il faut aussi qu'elle soit croissante).

L'essentiel du cours

Suite définie par récurrence : Une suite $(u_n)$ est définie par son premier terme $u_{n_0}$ et une relation $u_{n+1} = f(u_n)$.
Monotonie : Pour étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$. Si $u_{n+1} - u_n > 0$, la suite est croissante.
Suites arithmétiques : $u_{n+1} = u_n + r$. Terme général : $u_n = u_p + (n-p)r$.
Suites géométriques : $u_{n+1} = q \cdot u_n$. Terme général : $u_n = u_p \cdot q^{n-p}$.
Convergence : Une suite est convergente si elle admet une limite finie $l$.
Théorème de convergence monotone : Toute suite croissante et majorée est convergente. Toute suite décroissante et minorée est convergente.
Suites adjacentes : $(u_n)$ croissante, $(v_n)$ décroissante et $\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = 0$. Elles convergent vers la même limite.

Méthodes à maîtriser

Raisonnement par récurrence : Initialisation, Hérédité, Conclusion. Indispensable pour montrer qu'une suite est majorée ou minorée.
Étude de $u_{n+1} = f(u_n)$ : Si $f$ est continue sur un intervalle $I$, que $f(I) \subset I$ et que $(u_n)$ converge vers $l$, alors $l$ est solution de l'équation $f(l) = l$.
Utilisation des suites auxiliaires : Pour transformer une suite récurrente en suite géométrique ou arithmétique (ex: $v_n = u_n - \alpha$).

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 3$. Si $u_n \to l$, alors $l = \frac{1}{2}l + 3 \iff \frac{1}{2}l = 3 \iff l = 6$.
Exemple 2 : Montrer par récurrence que $u_n \geq 2$ pour $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$.
- Initialisation : $u_0 \geq 2$ (vrai).
- Hérédité : Supposons $u_n \geq 2$, alors $u_n + 2 \geq 4$, donc $\sqrt{u_n + 2} \geq 2$, soit $u_{n+1} \geq 2$.

Erreurs fréquentes

Confondre $u_n$ et $u_{n+1}$ dans la rédaction de l'hérédité.
Oublier de préciser que la fonction $f$ est continue avant de résoudre $f(l) = l$.
Affirmer qu'une suite est convergente simplement parce qu'elle est majorée (il faut aussi qu'elle soit croissante).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Suites numériques

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La suite $u_n = 3^n$ est :

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si une suite est arithmétique ou géométrique ?

Pour une suite arithmétique, calcule la différence $u_{n+1} - u_n$ . Si le résultat est une constante $r$ indépendante de $n$ , elle est arithmétique.
Pour une suite géométrique, calcule le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ (si $u_n \neq 0$ ). Si le résultat est une constante $q$ , elle est géométrique.

💡 À retenir : Si le résultat dépend de $n$ , la suite n'est ni l'une ni l'autre.

Pour une suite arithmétique, calcule la différence $u_{n+1} - u_n$. Si le résultat est une constante $r$ indépendante de $n$, elle est arithmétique.
Pour une suite géométrique, calcule le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ (si $u_n \neq 0$). Si le résultat est une constante $q$, elle est géométrique.

💡 À retenir : Si le résultat dépend de $n$, la suite n'est ni l'une ni l'autre.

Kifach n7seb l'hadd l'3am (terme général) dial suite récurrente ?

Si la suite est de la forme $u_{n+1} = au_n + b$ , on cherche le point fixe $l = al + b$ .
On pose $v_n = u_n - l$ .
On montre que $(v_n)$ est géométrique : $v_{n+1} = u_{n+1} - l = au_n + b - (al + b) = a(u_n - l) = av_n$ .
On utilise la formule $v_n = v_0 \cdot a^n$ puis on revient à $u_n = v_n + l$ .

💡 À retenir : La suite auxiliaire est la clé pour transformer une récurrence en suite connue.

Si la suite est de la forme $u_{n+1} = au_n + b$, on cherche le point fixe $l = al + b$.
On pose $v_n = u_n - l$.
On montre que $(v_n)$ est géométrique : $v_{n+1} = u_{n+1} - l = au_n + b - (al + b) = a(u_n - l) = av_n$.
On utilise la formule $v_n = v_0 \cdot a^n$ puis on revient à $u_n = v_n + l$.

💡 À retenir : La suite auxiliaire est la clé pour transformer une récurrence en suite connue.

Est-ce qu'on peut utiliser la calculatrice pour trouver la limite ?

La calculatrice peut t'aider à vérifier ton résultat en calculant les premiers termes (ex: $u_{100}$ ), mais elle ne constitue jamais une preuve. À l'examen, tu dois utiliser les théorèmes du cours (convergence monotone, encadrement, etc.).

💡 À retenir : La calculatrice est un outil de vérification, pas de démonstration.

La calculatrice peut t'aider à vérifier ton résultat en calculant les premiers termes (ex: $u_{100}$), mais elle ne constitue jamais une preuve. À l'examen, tu dois utiliser les théorèmes du cours (convergence monotone, encadrement, etc.).

💡 À retenir : La calculatrice est un outil de vérification, pas de démonstration.

Chno hiya l'far9 bin suite majorée et suite convergente ?

Une suite majorée est une suite dont tous les termes sont inférieurs à un nombre $M$ .
Une suite convergente est une suite qui se rapproche d'une valeur finie $l$ quand $n$ tend vers l'infini.
Une suite peut être majorée sans être convergente (ex: $u_n = (-1)^n$ ).

💡 À retenir : Une suite croissante et majorée est forcément convergente.

Une suite majorée est une suite dont tous les termes sont inférieurs à un nombre $M$.
Une suite convergente est une suite qui se rapproche d'une valeur finie $l$ quand $n$ tend vers l'infini.
Une suite peut être majorée sans être convergente (ex: $u_n = (-1)^n$).

💡 À retenir : Une suite croissante et majorée est forcément convergente.

Comment montrer qu'une suite est bornée ?

Il faut montrer qu'elle est à la fois minorée ( $u_n \geq m$ ) et majorée ( $u_n \leq M$ ).
On utilise généralement le raisonnement par récurrence pour prouver ces deux inégalités.

💡 À retenir : "Bornée" signifie qu'il existe un intervalle $[m, M]$ qui contient tous les termes de la suite.

Il faut montrer qu'elle est à la fois minorée ($u_n \geq m$) et majorée ($u_n \leq M$).
On utilise généralement le raisonnement par récurrence pour prouver ces deux inégalités.

💡 À retenir : "Bornée" signifie qu'il existe un intervalle $[m, M]$ qui contient tous les termes de la suite.

Kifach n'biyen belli suite monotoone ?

Tu dois étudier le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$ .
Si $u_{n+1} - u_n \geq 0$ , la suite est croissante.
Si $u_{n+1} - u_n \leq 0$ , la suite est décroissante.
Parfois, on utilise la récurrence pour comparer $u_{n+1}$ et $u_n$ .

💡 À retenir : Le signe de la différence est la méthode standard.

Tu dois étudier le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$.
Si $u_{n+1} - u_n \geq 0$, la suite est croissante.
Si $u_{n+1} - u_n \leq 0$, la suite est décroissante.
Parfois, on utilise la récurrence pour comparer $u_{n+1}$ et $u_n$.

💡 À retenir : Le signe de la différence est la méthode standard.

Si lim un = l, est-ce que lim u{n+1} = l aussi ?

Oui, tout à fait. Si une suite $(u_n)$ converge vers $l$ , alors toute suite extraite, y compris la suite décalée $(u_{n+1})$ , converge vers la même limite $l$ .

💡 À retenir : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} u_{n+1} = l$ .

Oui, tout à fait. Si une suite $(u_n)$ converge vers $l$, alors toute suite extraite, y compris la suite décalée $(u_{n+1})$, converge vers la même limite $l$.

💡 À retenir : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} u_{n+1} = l$.

C'est quoi le théorème des gendarmes pour les suites ?

Si tu as trois suites $(u_n), (v_n), (w_n)$ telles que :

$u_n \leq v_n \leq w_n$ pour tout $n$ assez grand.
$\lim u_n = L$ et $\lim w_n = L$ . Alors, nécessairement, $\lim v_n = L$ .

💡 À retenir : On l'utilise pour encadrer des suites avec des sinus ou cosinus.

Si tu as trois suites $(u_n), (v_n), (w_n)$ telles que :

$u_n \leq v_n \leq w_n$ pour tout $n$ assez grand.
$\lim u_n = L$ et $\lim w_n = L$. Alors, nécessairement, $\lim v_n = L$.

💡 À retenir : On l'utilise pour encadrer des suites avec des sinus ou cosinus.

Pourquoi on étudie le signe de f(x) - x ?

Pour étudier la monotonie d'une suite $u_{n+1} = f(u_n)$ . En effet, $u_{n+1} - u_n = f(u_n) - u_n$ . Si on connaît le signe de $f(x) - x$ sur l'intervalle où se trouvent les termes de la suite, on connaît le sens de variation de la suite.

💡 À retenir : $f(x) - x$ donne le sens de variation de la suite.

Pour étudier la monotonie d'une suite $u_{n+1} = f(u_n)$. En effet, $u_{n+1} - u_n = f(u_n) - u_n$. Si on connaît le signe de $f(x) - x$ sur l'intervalle où se trouvent les termes de la suite, on connaît le sens de variation de la suite.

💡 À retenir : $f(x) - x$ donne le sens de variation de la suite.

Est-ce qu'une suite décroissante et minorée est toujours convergente ?

Oui, c'est le théorème de convergence monotone. Si une suite est décroissante et minorée par un réel $m$ , alors elle admet une limite finie $l$ telle que $l \geq m$ .

💡 À retenir : C'est un outil puissant pour prouver la convergence sans connaître la limite.

Oui, c'est le théorème de convergence monotone. Si une suite est décroissante et minorée par un réel $m$, alors elle admet une limite finie $l$ telle que $l \geq m$.

💡 À retenir : C'est un outil puissant pour prouver la convergence sans connaître la limite.

Comment montrer qu'une suite est divergente ?

Montrer que la limite est $+\infty$ ou $-\infty$ .
Montrer que la suite n'a pas de limite (comme $u_n = (-1)^n$ ).
Montrer qu'elle n'est pas convergente (ex: elle est croissante et non majorée).

💡 À retenir : Une suite qui n'est pas convergente est dite divergente.

Montrer que la limite est $+\infty$ ou $-\infty$.
Montrer que la suite n'a pas de limite (comme $u_n = (-1)^n$).
Montrer qu'elle n'est pas convergente (ex: elle est croissante et non majorée).

💡 À retenir : Une suite qui n'est pas convergente est dite divergente.

C'est quoi la différence entre un et u{n+1} ?

$u_n$ est le terme de rang $n$ (le terme actuel), et $u_{n+1}$ est le terme suivant (le terme de rang $n+1$ ). La relation qui lie les deux définit la suite.

💡 À retenir : $n$ est l'indice, $u_n$ est la valeur.

$u_n$ est le terme de rang $n$ (le terme actuel), et $u_{n+1}$ est le terme suivant (le terme de rang $n+1$). La relation qui lie les deux définit la suite.