Quel est le domaine de définition de $f(x) = \ln(x^2-4)$ ?
❓ Questions fréquentes
Est-ce que la courbe de ln(x) coupe l'axe des abscisses ?
Oui, elle coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse $x=1$ car $\ln(1) = 0$. Le point d'intersection est $(1, 0)$.
💡 À retenir : L'intersection avec l'axe des abscisses est donnée par la solution de $\ln(x) = 0$.
Wach ln(x) kat-tkhrej lina des valeurs négatives ?
Oui, pour tout $x \in ]0, 1[$, $\ln(x)$ est strictement négatif. Par exemple, $\ln(0,5) \approx -0,69$.
💡 À retenir : Le signe du $\ln$ dépend de si $x$ est plus grand ou plus petit que 1.
Est-ce que ln(x^2) est toujours égal à 2ln(x) ?
Non, ce n'est vrai que si $x > 0$. Si $x < 0$, alors $x^2 > 0$ donc $\ln(x^2)$ existe, mais $2\ln(x)$ n'existe pas. La formule exacte est $\ln(x^2) = 2\ln|x|$.
💡 À retenir : Toujours vérifier le signe de l'argument avant de sortir une puissance.
Kifach n7seb domaine de définition dyal ln(f(x)) ?
Pour trouver le domaine de définition de $\ln(f(x))$, tu dois résoudre l'inéquation $f(x) > 0$.
Identifie l'expression à l'intérieur du $\ln$.
Pose $f(x) > 0$.
Résous cette inéquation. L'ensemble des solutions est ton domaine de définition $D_f$.
💡 À retenir : Le logarithme ne tolère que des valeurs strictement positives.
Est-ce que ln(1) = 0 et ln(e) = 1 sont toujours vrais ?
Oui, ce sont les deux valeurs fondamentales de la fonction logarithme.
$\ln(1) = 0$ car $e^0 = 1$.
$\ln(e) = 1$ car $e^1 = e$.
💡 À retenir : Ces valeurs servent de points de passage pour tracer la courbe.
Chno hiya l'asymptote dyal ln(x) f' 0 ?
Puisque $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$, la droite d'équation $x = 0$ (l'axe des ordonnées) est une asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction $\ln$.
💡 À retenir : Une limite infinie en un point fini indique une asymptote verticale.
Comment lever une indétermination du type infty - infty avec des ln ?
Il faut souvent factoriser par le terme dominant.
Exemple : $\ln(x) - x$.
Factorise par $x$ : $x(\frac{\ln(x)}{x} - 1)$.
Comme $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$, la limite devient $+\infty \times (0 - 1) = -\infty$.
💡 À retenir : La croissance comparée est ton outil principal.
Kifach n7seb dérivée dyal ln(x^2+x+1) ?
Tu utilises la formule $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$.
Pose $u(x) = x^2+x+1$.
Calcule $u'(x) = 2x+1$.
Applique la formule : $f'(x) = \frac{2x+1}{x^2+x+1}$.
💡 À retenir : La dérivée du $\ln$ est toujours une fraction.
Est-ce que la fonction ln est toujours croissante ?
Oui, sur son domaine de définition $]0, +\infty[$, la fonction $\ln$ est strictement croissante car sa dérivée $f'(x) = \frac{1}{x}$ est strictement positive pour tout $x > 0$.
💡 À retenir : $\ln(a) < \ln(b) \iff a < b$ (pour $a, b > 0$).
Comment montrer que ln(x) < x pour tout x 0 ?
Utilise l'étude de fonction :
Soit $g(x) = x - \ln(x)$.
$g'(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}$.
Le minimum est atteint en $x=1$, $g(1) = 1 - 0 = 1$.
Comme le minimum est 1 (>0), alors $x - \ln(x) > 0$, donc $x > \ln(x)$.
💡 À retenir : L'étude d'une fonction auxiliaire est la méthode classique pour les inégalités.
Est-ce que ln(x^n) = nln(x) est vrai pour tout n ?
C'est vrai pour tout $n \in \mathbb{Q}$ (rationnel) et $x > 0$. Si $n$ est un entier pair et $x < 0$, il faut utiliser $\ln(x^n) = n\ln|x|$.
💡 À retenir : La valeur absolue est la sécurité pour les puissances paires.
Comment calculer lim{x to 0^+} x ln(x) ?
C'est une limite usuelle du cours (croissances comparées).
On sait que $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0$ pour tout $n > 0$.
Ici $n=1$, donc la limite est directement 0.
💡 À retenir : Le $\ln$ est "plus faible" que n'importe quelle puissance de $x$ au voisinage de 0.
✍️ Exercices type examen national
Exercice 1
Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = \ln(x) - x + 1$.
Calculer $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.