Dénombrement

Non, l'ordre ne compte pas toujours.

1. Si tu tires des objets simultanément ou si tu formes un groupe (ex: un comité), l'ordre n'a pas d'importance : on utilise les combinaisons $C_n^p$.
2. Si tu tires des objets successivement ou si tu formes un nombre (ex: code secret), l'ordre est crucial : on utilise les arrangements $A_n^p$ ou le principe multiplicatif.

💡 À retenir : Pose-toi toujours la question : "Si j'inverse deux éléments, est-ce que le résultat change ?" Si oui, l'ordre compte.

C'est la question la plus importante :

1. $C_n^p$ (Combinaison) : Quand tu tires sans remise et que l'ordre ne compte pas (ex: tirage simultané).
2. $A_n^p$ (Arrangement) : Quand tu tires sans remise et que l'ordre compte (ex: tirage successif sans remise).

💡 À retenir : $C_n^p$ est pour les "groupes", $A_n^p$ est pour les "listes ordonnées".

1. Avec remise : Après avoir tiré une boule, tu la remets dans l'urne. Le nombre de boules reste constant à chaque tirage. On utilise $n^p$.
2. Sans remise : Après avoir tiré une boule, tu ne la remets pas. Le nombre de boules diminue de 1 à chaque tirage. On utilise $A_n^p$ ou $C_n^p$.

💡 À retenir : "Avec remise" = puissance, "Sans remise" = factorielle/combinaison.

Oui, exactement. C'est la factorielle d'un entier naturel $n$.

1. $n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 1$.
2. Par convention, $0! = 1$.
3. C'est très utile pour calculer les permutations de $n$ objets.

💡 À retenir : La factorielle sert à compter toutes les façons de ranger $n$ objets dans un ordre précis.

Utilise la formule simplifiée : $C_n^p = \frac{n \times (n-1) \times \dots \times (n-p+1)}{p!}$.

1. Exemple : $C_7^3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$.
2. Simplifie toujours les fractions avant de multiplier.

💡 À retenir : Ne développe pas tout le factoriel, simplifie les termes au maximum.

L'univers (noté $\Omega$) est l'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire.

1. Pour calculer le nombre de cas possibles, tu dois bien identifier le type de tirage.
2. C'est la base pour calculer les probabilités plus tard.

💡 À retenir : Le cardinal de l'univers, noté $Card(\Omega)$, est le dénominateur de tes probabilités.

Tu utilises le principe multiplicatif pour chaque couleur.

1. Si tu veux 2 boules rouges parmi 5 et 1 boule noire parmi 3 :
2. Tu calcules $C_5^2 \times C_3^1$.
3. Tu multiplies les résultats entre eux.

💡 À retenir : "Et" signifie multiplication, "Ou" signifie addition.

Oui, c'est une propriété fondamentale appelée la symétrie des combinaisons.

1. Choisir $p$ objets à garder revient au même que choisir $(n-p)$ objets à laisser de côté.
2. Exemple : $C_{10}^8 = C_{10}^2$. C'est beaucoup plus facile à calculer !

💡 À retenir : Utilise cette propriété pour simplifier tes calculs quand $p > n/2$.

Non, c'est une erreur grave.

1. Le tirage simultané signifie que l'ordre n'a pas d'importance.
2. $A_n^p$ compte l'ordre. Si tu l'utilises, tu vas obtenir un résultat trop grand.

💡 À retenir : Simultané = Combinaison ($C_n^p$).

Oui, dans les formules $C_n^p$ et $A_n^p$, on doit avoir $n \geq p$.

1. Tu ne peux pas choisir 5 boules dans une urne qui n'en contient que 3.
2. Si $p > n$, alors $C_n^p = 0$.

💡 À retenir : Le nombre d'objets choisis ne peut jamais dépasser le nombre total d'objets disponibles.

Parce qu'à chaque tirage, tu as $n$ choix possibles.

1. Pour le 1er tirage : $n$ choix.
2. Pour le 2ème tirage : $n$ choix (car la boule est remise).
3. Pour le $p$-ième tirage : $n$ choix.
4. Donc $n \times n \times \dots \times n$ ($p$ fois) = $n^p$.

💡 À retenir : Avec remise, le nombre de choix reste identique à chaque étape.

1. Multiplie quand les étapes sont successives (choisir A ET choisir B).
2. Additionne quand les cas sont disjoints (choisir le cas A OU choisir le cas B).

💡 À retenir : "Et" = $\times$, "Ou" = $+$.