Mathématiques · 2 Bac Sciences Physiques

Probabilités

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Univers et événements : Soit $\Omega$ l'univers. Un événement $A$ est une partie de $\Omega$ . $P(A)$ est la probabilité de $A$ .
Probabilité conditionnelle : Si $P(A) > 0$ , la probabilité de $B$ sachant $A$ est : $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ .
Indépendance : Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ .
Système complet : Des événements $A_1, A_2, ..., A_n$ $A_{1}, A_{2}, ..., A_{n}$ forment un système complet si :
1. Ils sont deux à deux disjoints ( $A_i \cap A_j = \emptyset$ ).
2. Leur réunion est $\Omega$ ( $\cup A_i = \Omega$ ).
Formule des probabilités totales : $P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(B \cap A_i) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) \times P_{A_i}(B)$ .
Variable aléatoire : Une fonction $X$ $X$ de $\Omega$ $Ω$ vers $\mathbb{R}$ $R$ .
- Espérance : $E(X) = \sum x_i P(X=x_i)$ .
- Variance : $V(X) = \sum x_i^2 P(X=x_i) - (E(X))^2$ .
- Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ .
Loi Binomiale : Si $X$ suit une loi binomiale $B(n, p)$ , alors $P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$ .

Méthodes à maîtriser

Arbre pondéré : Indispensable pour visualiser les probabilités conditionnelles et appliquer la formule des probabilités totales.
Calcul de $P(X=k)$ : Identifier si le tirage est avec ou sans remise. Sans remise = Dénombrement ( $C_n^k$ ). Avec remise = Loi Binomiale.
Utilisation de l'événement contraire : Toujours penser à $P(A) = 1 - P(\overline{A})$ pour les questions du type "au moins un".

Exemples corrigés

Exemple 1 : Une urne contient 3 boules rouges et 2 vertes. On tire 2 boules simultanément. Probabilité d'avoir 2 rouges : $P = \frac{C_3^2}{C_5^2} = \frac{3}{10} = 0,3$ .
Exemple 2 : $X \sim B(5, 0,2)$ . Probabilité d'avoir exactement 2 succès : $P(X=2) = C_5^2 \times (0,2)^2 \times (0,8)^3 = 10 \times 0,04 \times 0,512 = 0,2048$ .

Erreurs fréquentes

Confondre tirage simultané ( $C_n^k$ ) et tirages successifs avec remise ( $n^k$ ).
Oublier que la somme des probabilités d'une loi est toujours égale à 1.
Appliquer la formule de la loi binomiale alors que les tirages sont sans remise (l'indépendance est rompue).

L'essentiel du cours

Univers et événements : Soit $\Omega$ l'univers. Un événement $A$ est une partie de $\Omega$. $P(A)$ est la probabilité de $A$.
Probabilité conditionnelle : Si $P(A) > 0$, la probabilité de $B$ sachant $A$ est : $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
Indépendance : Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
Système complet : Des événements $A_1, A_2, ..., A_n$ forment un système complet si :
1. Ils sont deux à deux disjoints ($A_i \cap A_j = \emptyset$).
2. Leur réunion est $\Omega$ ($\cup A_i = \Omega$).
Formule des probabilités totales : $P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(B \cap A_i) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) \times P_{A_i}(B)$.
Variable aléatoire : Une fonction $X$ de $\Omega$ vers $\mathbb{R}$.
- Espérance : $E(X) = \sum x_i P(X=x_i)$.
- Variance : $V(X) = \sum x_i^2 P(X=x_i) - (E(X))^2$.
- Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.
Loi Binomiale : Si $X$ suit une loi binomiale $B(n, p)$, alors $P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$.

Méthodes à maîtriser

Arbre pondéré : Indispensable pour visualiser les probabilités conditionnelles et appliquer la formule des probabilités totales.
Calcul de $P(X=k)$ : Identifier si le tirage est avec ou sans remise. Sans remise = Dénombrement ($C_n^k$). Avec remise = Loi Binomiale.
Utilisation de l'événement contraire : Toujours penser à $P(A) = 1 - P(\overline{A})$ pour les questions du type "au moins un".

Exemples corrigés

Exemple 1 : Une urne contient 3 boules rouges et 2 vertes. On tire 2 boules simultanément. Probabilité d'avoir 2 rouges : $P = \frac{C_3^2}{C_5^2} = \frac{3}{10} = 0,3$.
Exemple 2 : $X \sim B(5, 0,2)$. Probabilité d'avoir exactement 2 succès : $P(X=2) = C_5^2 \times (0,2)^2 \times (0,8)^3 = 10 \times 0,04 \times 0,512 = 0,2048$.

Erreurs fréquentes

Confondre tirage simultané ($C_n^k$) et tirages successifs avec remise ($n^k$).
Oublier que la somme des probabilités d'une loi est toujours égale à 1.
Appliquer la formule de la loi binomiale alors que les tirages sont sans remise (l'indépendance est rompue).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Probabilités

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Dans une urne de 10 boules, tirer 2 boules simultanément correspond à :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que l'ordre compte dans un tirage simultané ?

Non, dans un tirage simultané, l'ordre n'a aucune importance. On utilise les combinaisons $C_n^k$ car on considère des ensembles de boules. Si l'énoncé précise "successivement sans remise", l'ordre compte (on utilise les arrangements $A_n^k$ ), mais pour la probabilité, le résultat final est identique aux combinaisons.

💡 À retenir : Simultané = Combinaison ( $C_n^k$ ).

Non, dans un tirage simultané, l'ordre n'a aucune importance. On utilise les combinaisons $C_n^k$ car on considère des ensembles de boules. Si l'énoncé précise "successivement sans remise", l'ordre compte (on utilise les arrangements $A_n^k$), mais pour la probabilité, le résultat final est identique aux combinaisons.

💡 À retenir : Simultané = Combinaison ($C_n^k$).

Kifach n3ref wach nkhdem b loi binomiale wla ghir b l'arbre ?

Si tu as plusieurs répétitions d'une même expérience identique et indépendante (avec remise), utilise la loi binomiale.
Si tu as des tirages successifs sans remise ou des expériences qui dépendent les unes des autres, utilise l'arbre pondéré.

💡 À retenir : Avec remise = Binomiale ; Sans remise = Arbre/Dénombrement.

Comment calculer l'espérance mathématique ?

L'espérance est la moyenne pondérée des valeurs prises par la variable aléatoire.

Calcule la probabilité $P(X=x_i)$ pour chaque valeur $x_i$ .
Multiplie chaque valeur par sa probabilité : $x_i \times P(X=x_i)$ .
Fais la somme de tous ces produits.

💡 À retenir : $E(X) = \sum x_i P(X=x_i)$ .

L'espérance est la moyenne pondérée des valeurs prises par la variable aléatoire.

Calcule la probabilité $P(X=x_i)$ pour chaque valeur $x_i$.
Multiplie chaque valeur par sa probabilité : $x_i \times P(X=x_i)$.
Fais la somme de tous ces produits.

💡 À retenir : $E(X) = \sum x_i P(X=x_i)$.

Chno hiya l'utilité dyal la formule des probabilités totales ?

Elle sert à calculer la probabilité d'un événement $B$ qui peut se réaliser de plusieurs manières différentes (via $A_1, A_2, ...$ ). Au lieu de chercher $P(B)$ directement, tu calcules $P(B \cap A_1) + P(B \cap A_2) + ...$

💡 À retenir : Utile quand l'événement est "découpé" en plusieurs cas.

Elle sert à calculer la probabilité d'un événement $B$ qui peut se réaliser de plusieurs manières différentes (via $A_1, A_2, ...$). Au lieu de chercher $P(B)$ directement, tu calcules $P(B \cap A_1) + P(B \cap A_2) + ...$

💡 À retenir : Utile quand l'événement est "découpé" en plusieurs cas.

Si on me demande "au moins une boule rouge", comment je fais ?

Ne calcule jamais directement "au moins une". Utilise l'événement contraire :

L'événement contraire de "au moins une rouge" est "aucune boule rouge" (donc toutes les boules sont d'une autre couleur).
Calcule $P(\text{aucune rouge})$ .
Fais $1 - P(\text{aucune rouge})$ .

💡 À retenir : "Au moins un" = $1 - P(\text{aucun})$ .

Ne calcule jamais directement "au moins une". Utilise l'événement contraire :

L'événement contraire de "au moins une rouge" est "aucune boule rouge" (donc toutes les boules sont d'une autre couleur).
Calcule $P(\text{aucune rouge})$.
Fais $1 - P(\text{aucune rouge})$.

💡 À retenir : "Au moins un" = $1 - P(\text{aucun})$.

Est-ce que P(A cap B) est toujours égal à P(A) times P(B) ?

Non, seulement si les événements $A$ et $B$ sont indépendants. Si les événements ne sont pas indépendants, tu dois utiliser la formule : $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ .

💡 À retenir : Indépendance $\iff P(A \cap B) = P(A)P(B)$ .

Non, seulement si les événements $A$ et $B$ sont indépendants. Si les événements ne sont pas indépendants, tu dois utiliser la formule : $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$.

💡 À retenir : Indépendance $\iff P(A \cap B) = P(A)P(B)$.

Kifach n7seb l'écart-type sigma(X) ?

C'est une mesure de la dispersion.

Calcule l'espérance $E(X)$ .
Calcule $E(X^2) = \sum x_i^2 P(X=x_i)$ .
Calcule la variance $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ .
L'écart-type est la racine carrée de la variance : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ .

💡 À retenir : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ .

C'est une mesure de la dispersion.

Calcule l'espérance $E(X)$.
Calcule $E(X^2) = \sum x_i^2 P(X=x_i)$.
Calcule la variance $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$.
L'écart-type est la racine carrée de la variance : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.

💡 À retenir : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.

Est-ce que la somme des probabilités peut être supérieure à 1 ?

Absolument pas. Dans toute loi de probabilité, la somme des probabilités de tous les événements élémentaires doit être égale à 1. Si tu trouves un résultat supérieur à 1, c'est que tu as fait une erreur de calcul.

💡 À retenir : $\sum P(X=x_i) = 1$ .

💡 À retenir : $\sum P(X=x_i) = 1$.

Pourquoi on utilise Cn^k et pas An^k dans les probabilités ?

En probabilité, le résultat est le même car les deux termes s'annulent dans le quotient $\frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$ . Cependant, $C_n^k$ est plus simple à manipuler.

💡 À retenir : Utilise $C_n^k$ par convention pour les tirages simultanés.

C'est quoi la différence entre probabilité conditionnelle et intersection ?

L'intersection $P(A \cap B)$ est la probabilité que $A$ ET $B$ se réalisent. La probabilité conditionnelle $P_A(B)$ est la probabilité que $B$ se réalise, sachant que $A$ est déjà réalisé.

💡 À retenir : $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ .

L'intersection $P(A \cap B)$ est la probabilité que $A$ ET $B$ se réalisent. La probabilité conditionnelle $P_A(B)$ est la probabilité que $B$ se réalise, sachant que $A$ est déjà réalisé.

💡 À retenir : $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$.

Comment savoir si une variable aléatoire suit une loi binomiale ?

Il faut trois conditions :

L'expérience est répétée $n$ fois de manière identique.
Chaque expérience n'a que deux issues : succès ou échec.
Les expériences sont indépendantes (souvent grâce au tirage avec remise).

💡 À retenir : $n$ répétitions, 2 issues, indépendance.

Il faut trois conditions :

L'expérience est répétée $n$ fois de manière identique.
Chaque expérience n'a que deux issues : succès ou échec.
Les expériences sont indépendantes (souvent grâce au tirage avec remise).

💡 À retenir : $n$ répétitions, 2 issues, indépendance.

Est-ce que je peux utiliser la calculatrice pour Cn^k ?

Oui, sur les calculatrices scientifiques, il y a une touche nCr. Mais à l'examen, il est préférable d'écrire la formule $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ avant de donner le résultat pour montrer ta maîtrise.

💡 À retenir : Justifie toujours tes calculs.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une urne contient 5 boules blanches et 3 boules noires. On tire simultanément 2 boules.

Calculer la probabilité d'obtenir 2 boules blanches.
Calculer la probabilité d'obtenir une boule de chaque couleur.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Une urne contient 4 boules rouges et 2 boules vertes. On tire une boule, on note sa couleur, on la remet, puis on tire une deuxième boule.

Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules rouges ?
Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges obtenues. Donner la loi de probabilité de $X$ .

Exercice 2

Une urne contient 4 boules rouges et 2 boules vertes. On tire une boule, on note sa couleur, on la remet, puis on tire une deuxième boule.

Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules rouges ?
Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges obtenues. Donner la loi de probabilité de $X$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Un joueur lance 5 fois une pièce équilibrée. Soit $X$ le nombre de "Pile" obtenus.

Justifier que $X$ suit une loi binomiale et donner ses paramètres.
Calculer la probabilité d'obtenir exactement 3 fois "Pile".
Calculer l'espérance $E(X)$ .

Exercice 3

Un joueur lance 5 fois une pièce équilibrée. Soit $X$ le nombre de "Pile" obtenus.

Justifier que $X$ suit une loi binomiale et donner ses paramètres.
Calculer la probabilité d'obtenir exactement 3 fois "Pile".
Calculer l'espérance $E(X)$.

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