Mathématiques · 2 Bac Sciences Physiques

Nombres complexes

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Forme algébrique : Tout nombre complexe $z$ s'écrit $z = a + ib$ avec $(a, b) \in \mathbb{R}^2$ et $i^2 = -1$ .
Module et Argument : $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Un argument $\theta = \arg(z)$ vérifie $\cos \theta = \frac{a}{|z|}$ et $\sin \theta = \frac{b}{|z|}$ .
Forme trigonométrique : $z = |z|(\cos \theta + i\sin \theta) = [|z|, \theta]$ .
Forme exponentielle : $z = r e^{i\theta}$ .
Conjugaison : $\bar{z} = a - ib$ . Propriétés : $\overline{z+z'} = \bar{z} + \bar{z'}$ , $\overline{z \cdot z'} = \bar{z} \cdot \bar{z'}$ , $\overline{z^n} = (\bar{z})^n$ .
Équations du second degré : $az^2 + bz + c = 0$ . On calcule $\Delta = b^2 - 4ac$ . Si $\Delta < 0$ , les solutions sont $z = \frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$ .
Interprétation géométrique : L'affixe du vecteur $\vec{AB}$ est $z_B - z_A$ . L'angle $(\vec{u}, \vec{AB}) \equiv \arg(z_B - z_A) [2\pi]$ .

Méthodes à maîtriser

Passage d'une forme à l'autre : Savoir convertir $a+ib$ en $re^{i\theta}$ et inversement.
Linéarisation : Utiliser les formules d'Euler : $\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$ .
Résolution d'équations : Savoir identifier les racines carrées d'un nombre complexe (parfois par identification).
Géométrie : Utiliser les complexes pour démontrer qu'un triangle est isocèle, équilatéral ou que des points sont alignés.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Écrire sous forme exponentielle $z = 1 + i\sqrt{3}$ . $|z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2$ . $z = 2(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3}) = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$ .
Exemple 2 : Résoudre $z^2 - 2z + 2 = 0$ . $\Delta = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 = (2i)^2$ . $z_1 = \frac{2 - 2i}{2} = 1 - i$ et $z_2 = 1 + i$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le modulo $2\pi$ lors du calcul d'un argument.
Confondre $|z_1 + z_2|$ avec $|z_1| + |z_2|$ (inégalité triangulaire).
Ne pas vérifier le signe de $\Delta$ avant d'appliquer la formule des racines carrées.
Erreur de signe lors du passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique.

L'essentiel du cours

Forme algébrique : Tout nombre complexe $z$ s'écrit $z = a + ib$ avec $(a, b) \in \mathbb{R}^2$ et $i^2 = -1$.
Module et Argument : $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. Un argument $\theta = \arg(z)$ vérifie $\cos \theta = \frac{a}{|z|}$ et $\sin \theta = \frac{b}{|z|}$.
Forme trigonométrique : $z = |z|(\cos \theta + i\sin \theta) = [|z|, \theta]$.
Forme exponentielle : $z = r e^{i\theta}$.
Conjugaison : $\bar{z} = a - ib$. Propriétés : $\overline{z+z'} = \bar{z} + \bar{z'}$, $\overline{z \cdot z'} = \bar{z} \cdot \bar{z'}$, $\overline{z^n} = (\bar{z})^n$.
Équations du second degré : $az^2 + bz + c = 0$. On calcule $\Delta = b^2 - 4ac$. Si $\Delta < 0$, les solutions sont $z = \frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$.
Interprétation géométrique : L'affixe du vecteur $\vec{AB}$ est $z_B - z_A$. L'angle $(\vec{u}, \vec{AB}) \equiv \arg(z_B - z_A) [2\pi]$.

Méthodes à maîtriser

Passage d'une forme à l'autre : Savoir convertir $a+ib$ en $re^{i\theta}$ et inversement.
Linéarisation : Utiliser les formules d'Euler : $\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$.
Résolution d'équations : Savoir identifier les racines carrées d'un nombre complexe (parfois par identification).
Géométrie : Utiliser les complexes pour démontrer qu'un triangle est isocèle, équilatéral ou que des points sont alignés.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Écrire sous forme exponentielle $z = 1 + i\sqrt{3}$. $|z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2$. $z = 2(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3}) = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$.
Exemple 2 : Résoudre $z^2 - 2z + 2 = 0$. $\Delta = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 = (2i)^2$. $z_1 = \frac{2 - 2i}{2} = 1 - i$ et $z_2 = 1 + i$.

Erreurs fréquentes

Oublier le modulo $2\pi$ lors du calcul d'un argument.
Confondre $|z_1 + z_2|$ avec $|z_1| + |z_2|$ (inégalité triangulaire).
Ne pas vérifier le signe de $\Delta$ avant d'appliquer la formule des racines carrées.
Erreur de signe lors du passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 Nombres complexes

1/4

Quel est le module de $z = 3 - 4i$ ?

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre le module et l'argument ?

Le module $|z|$ représente la "distance" ou la longueur entre l'origine $O$ et le point $M$ d'affixe $z$ . C'est un nombre réel positif.
L'argument $\arg(z)$ représente l'angle orienté formé par l'axe réel et le vecteur $\vec{OM}$ . C'est une mesure d'angle en radians.

💡 À retenir : Le module donne la taille, l'argument donne la direction.

Le module $|z|$ représente la "distance" ou la longueur entre l'origine $O$ et le point $M$ d'affixe $z$. C'est un nombre réel positif.
L'argument $\arg(z)$ représente l'angle orienté formé par l'axe réel et le vecteur $\vec{OM}$. C'est une mesure d'angle en radians.

💡 À retenir : Le module donne la taille, l'argument donne la direction.

Kifach n7seb l'argument dial chi nombre complexe bhal z = -1 - i ?

Calculer le module : $|z| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ .
Factoriser par le module : $z = \sqrt{2} \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} - i\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \sqrt{2} \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$ .
Identifier l'angle : On cherche $\theta$ tel que $\cos \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
Conclusion : L'angle est $-\frac{3\pi}{4}$ .

💡 À retenir : Utilise le cercle trigonométrique pour placer le point et trouver l'angle facilement.

Calculer le module : $|z| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.
Factoriser par le module : $z = \sqrt{2} \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} - i\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \sqrt{2} \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$.
Identifier l'angle : On cherche $\theta$ tel que $\cos \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Conclusion : L'angle est $-\frac{3\pi}{4}$.

💡 À retenir : Utilise le cercle trigonométrique pour placer le point et trouver l'angle facilement.

Est-ce que arg(z1 + z2) = arg(z1) + arg(z2) ?

Non, cette égalité est fausse. La propriété $\arg(z_1 \cdot z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)$ est vraie pour le produit, mais pas pour la somme.

💡 À retenir : Ne jamais distribuer l'argument sur une addition.

Non, cette égalité est fausse. La propriété $\arg(z_1 \cdot z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)$ est vraie pour le produit, mais pas pour la somme.

💡 À retenir : Ne jamais distribuer l'argument sur une addition.

Chno hiya l'utilité dial les nombres complexes f l'examen ?

Résoudre des équations qui n'ont pas de solutions dans $\mathbb{R}$ (comme $z^2 + 1 = 0$ ).
Simplifier les calculs géométriques (rotations, translations, homothéties).
Linéariser des expressions trigonométriques complexes.

💡 À retenir : Ils transforment des problèmes géométriques en calculs algébriques simples.

Résoudre des équations qui n'ont pas de solutions dans $\mathbb{R}$ (comme $z^2 + 1 = 0$).
Simplifier les calculs géométriques (rotations, translations, homothéties).
Linéariser des expressions trigonométriques complexes.

💡 À retenir : Ils transforment des problèmes géométriques en calculs algébriques simples.

Comment savoir si trois points A, B et C sont alignés avec les complexes ?

Calcule le rapport $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ .
Si le résultat est un nombre réel, alors les points sont alignés.

💡 À retenir : Un rapport réel signifie que les vecteurs $\vec{AC}$ et $\vec{AB}$ sont colinéaires.

Calcule le rapport $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$.
Si le résultat est un nombre réel, alors les points sont alignés.

💡 À retenir : Un rapport réel signifie que les vecteurs $\vec{AC}$ et $\vec{AB}$ sont colinéaires.

Chno hiya l'écriture exponentielle dial z = i ?

Le module $|i| = 1$ .
Le point $i$ est sur l'axe imaginaire positif, donc son argument est $\frac{\pi}{2}$ .
L'écriture est $1 \cdot e^{i\frac{\pi}{2}}$ , soit simplement $e^{i\frac{\pi}{2}}$ .

💡 À retenir : Les nombres imaginaires purs ont un argument de $\frac{\pi}{2}$ ou $-\frac{\pi}{2}$ .

Le module $|i| = 1$.
Le point $i$ est sur l'axe imaginaire positif, donc son argument est $\frac{\pi}{2}$.
L'écriture est $1 \cdot e^{i\frac{\pi}{2}}$, soit simplement $e^{i\frac{\pi}{2}}$.

💡 À retenir : Les nombres imaginaires purs ont un argument de $\frac{\pi}{2}$ ou $-\frac{\pi}{2}$.

Est-ce que |-z| = |z| ?

Oui, car $|-z| = |-1 \cdot z| = |-1| \cdot |z| = 1 \cdot |z| = |z|$ . Le module est toujours positif.

💡 À retenir : Le module d'un nombre et de son opposé sont identiques.

Oui, car $|-z| = |-1 \cdot z| = |-1| \cdot |z| = 1 \cdot |z| = |z|$. Le module est toujours positif.

💡 À retenir : Le module d'un nombre et de son opposé sont identiques.

Comment trouver la racine carrée d'un nombre complexe ?

Soit $w = x+iy$ la racine carrée de $z = a+ib$ . On pose $(x+iy)^2 = a+ib$ .
On obtient un système : $x^2 - y^2 = a$ et $x^2 + y^2 = \sqrt{a^2+b^2}$ (module) et $2xy = b$ .
Résoudre le système pour trouver $x$ et $y$ .

💡 À retenir : Utilise toujours le module pour faciliter la résolution du système.

Soit $w = x+iy$ la racine carrée de $z = a+ib$. On pose $(x+iy)^2 = a+ib$.
On obtient un système : $x^2 - y^2 = a$ et $x^2 + y^2 = \sqrt{a^2+b^2}$ (module) et $2xy = b$.
Résoudre le système pour trouver $x$ et $y$.

💡 À retenir : Utilise toujours le module pour faciliter la résolution du système.

Si Delta = 0, quelle est la solution ?

Il y a une seule solution (dite racine double) : $z = -\frac{b}{2a}$ .

💡 À retenir : Dans $\mathbb{C}$ comme dans $\mathbb{R}$ , si le discriminant est nul, la solution est unique.

Il y a une seule solution (dite racine double) : $z = -\frac{b}{2a}$.

💡 À retenir : Dans $\mathbb{C}$ comme dans $\mathbb{R}$, si le discriminant est nul, la solution est unique.

Est-ce que i^n a une périodicité ?

Oui, les puissances de $i$ se répètent tous les 4 : $i^1=i$ , $i^2=-1$ , $i^3=-i$ , $i^4=1$ .

💡 À retenir : Pour calculer $i^n$ , divise $n$ par 4 et regarde le reste.

Oui, les puissances de $i$ se répètent tous les 4 : $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$.

💡 À retenir : Pour calculer $i^n$, divise $n$ par 4 et regarde le reste.

Comment démontrer qu'un triangle est rectangle ?

Calcule le rapport $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ .
Si la partie réelle est nulle (imaginaire pur), alors l'angle en $A$ est de $\frac{\pi}{2}$ ou $-\frac{\pi}{2}$ .

💡 À retenir : Un rapport imaginaire pur signifie que les droites sont perpendiculaires.

Calcule le rapport $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$.
Si la partie réelle est nulle (imaginaire pur), alors l'angle en $A$ est de $\frac{\pi}{2}$ ou $-\frac{\pi}{2}$.

💡 À retenir : Un rapport imaginaire pur signifie que les droites sont perpendiculaires.

Est-ce que je peux utiliser la forme exponentielle pour les additions ?

Non, la forme exponentielle est très pratique pour les multiplications, divisions et puissances, mais elle est inutile pour les additions.

💡 À retenir : Pour additionner, repasse toujours à la forme algébrique $a+ib$ .

Non, la forme exponentielle est très pratique pour les multiplications, divisions et puissances, mais elle est inutile pour les additions.

💡 À retenir : Pour additionner, repasse toujours à la forme algébrique $a+ib$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 - 4z + 8 = 0$ .
Écrire les solutions sous forme exponentielle.

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 - 4z + 8 = 0$.
Écrire les solutions sous forme exponentielle.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soient $A(i)$ et $B(1)$ . Déterminer l'affixe du point $C$ tel que le triangle $ABC$ soit équilatéral direct.

Exercice 2

Soient $A(i)$ et $B(1)$. Déterminer l'affixe du point $C$ tel que le triangle $ABC$ soit équilatéral direct.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Linéariser $\cos^2(x)$ .

Exercice 3

Linéariser $\cos^2(x)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Un prof de Mathématiques pour aller plus loin

Les cours du soir avec des profs vérifiés arrivent : inscris-toi pour être prévenu(e) en premier.

Être prévenu(e) gratuitement

Autres chapitres de Mathématiques

Continuité et limites Dérivation Suites numériques Fonction logarithme népérien Fonction exponentielle Calcul intégral Équations différentielles Produit scalaire dans l'espace Géométrie dans l'espace Dénombrement Probabilités