Mathématiques · 2 Bac Sciences Physiques

Calcul intégral

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Primitive : Soit $f$ une fonction continue sur $I$ . Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et $F'(x) = f(x)$ .
Intégrale : Si $F$ est une primitive de $f$ , alors $\int_{a}^{b} f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$ .
Linéarité : $\int_{a}^{b} (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x) dx + \beta \int_{a}^{b} g(x) dx$ .
Relation de Chasles : $\int_{a}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx$ .
Positivité : Si $f \geq 0$ sur $[a, b]$ , alors $\int_{a}^{b} f(x) dx \geq 0$ .
Intégration par parties (IPP) : $\int_{a}^{b} u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_{a}^{b} u'(x)v(x) dx$ .

Méthodes à maîtriser

Recherche de primitives : Utiliser le tableau des primitives usuelles (puissances, $\ln$ , $\exp$ , fonctions trigonométriques).
Calcul d'aire : L'aire du domaine délimité par $\mathcal{C}_f$ , l'axe des abscisses et les droites $x=a$ et $x=b$ est $\mathcal{A} = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$ (en unité d'aire).
Choix pour IPP : Utiliser l'ordre des fonctions (Logarithme, Polynôme, Exponentielle) pour choisir $u(x)$ .
Linéarisation : Pour $\cos^2(x)$ ou $\sin^2(x)$ , utiliser les formules de duplication.

Exemples corrigés

Calcul direct : $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx = [\ln|x|]_1^e = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1$ .
IPP : Calculer $I = \int_{0}^{1} x e^x dx$ . Posons $u(x) = x \Rightarrow u'(x) = 1$ et $v'(x) = e^x \Rightarrow v(x) = e^x$ . $I = [x e^x]_0^1 - \int_{0}^{1} e^x dx = (1 \cdot e^1 - 0) - [e^x]_0^1 = e - (e - 1) = 1$ .

Erreurs fréquentes

Oublier l'unité d'aire (u.a.) dans le calcul d'aire.
Confondre $\int f(x)g(x) dx$ avec $\int f(x) dx \cdot \int g(x) dx$ (ce qui est faux).
Erreur de signe lors de l'application de la formule $[F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$ .
Ne pas vérifier si la fonction est positive avant de calculer l'aire sans valeur absolue.

L'essentiel du cours

Primitive : Soit $f$ une fonction continue sur $I$. Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et $F'(x) = f(x)$.
Intégrale : Si $F$ est une primitive de $f$, alors $\int_{a}^{b} f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$.
Linéarité : $\int_{a}^{b} (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x) dx + \beta \int_{a}^{b} g(x) dx$.
Relation de Chasles : $\int_{a}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx$.
Positivité : Si $f \geq 0$ sur $[a, b]$, alors $\int_{a}^{b} f(x) dx \geq 0$.
Intégration par parties (IPP) : $\int_{a}^{b} u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]a^b - \int{a}^{b} u'(x)v(x) dx$.

Méthodes à maîtriser

Recherche de primitives : Utiliser le tableau des primitives usuelles (puissances, $\ln$, $\exp$, fonctions trigonométriques).
Calcul d'aire : L'aire du domaine délimité par $\mathcal{C}f$, l'axe des abscisses et les droites $x=a$ et $x=b$ est $\mathcal{A} = \int{a}^{b} |f(x)| dx$ (en unité d'aire).
Choix pour IPP : Utiliser l'ordre des fonctions (Logarithme, Polynôme, Exponentielle) pour choisir $u(x)$.
Linéarisation : Pour $\cos^2(x)$ ou $\sin^2(x)$, utiliser les formules de duplication.

Exemples corrigés

Calcul direct : $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx = [\ln|x|]_1^e = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1$.
IPP : Calculer $I = \int_{0}^{1} x e^x dx$. Posons $u(x) = x \Rightarrow u'(x) = 1$ et $v'(x) = e^x \Rightarrow v(x) = e^x$. $I = [x e^x]0^1 - \int{0}^{1} e^x dx = (1 \cdot e^1 - 0) - [e^x]_0^1 = e - (e - 1) = 1$.

Erreurs fréquentes

Oublier l'unité d'aire (u.a.) dans le calcul d'aire.
Confondre $\int f(x)g(x) dx$ avec $\int f(x) dx \cdot \int g(x) dx$ (ce qui est faux).
Erreur de signe lors de l'application de la formule $[F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$.
Ne pas vérifier si la fonction est positive avant de calculer l'aire sans valeur absolue.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Calcul intégral

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Quelle est la primitive de $f(x) = \cos(x)$ ?

❓ Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une primitive ?

Une primitive d'une fonction $f$ est une fonction $F$ dont la dérivée est égale à $f$ .

On cherche une fonction $F$ telle que $F'(x) = f(x)$ .
Si $F$ est une primitive, alors toutes les fonctions de la forme $F(x) + c$ (où $c \in \mathbb{R}$ ) sont aussi des primitives.

💡 À retenir : La primitive est l'opération inverse de la dérivation.

Une primitive d'une fonction $f$ est une fonction $F$ dont la dérivée est égale à $f$.

On cherche une fonction $F$ telle que $F'(x) = f(x)$.
Si $F$ est une primitive, alors toutes les fonctions de la forme $F(x) + c$ (où $c \in \mathbb{R}$) sont aussi des primitives.

💡 À retenir : La primitive est l'opération inverse de la dérivation.

kifach n7seb l'intégrale ila kanet l'fonction negative?

Si tu veux calculer l'intégrale $\int_a^b f(x)dx$ et que $f(x) \leq 0$ , le résultat sera négatif.

Calcule l'intégrale normalement avec la primitive.
Si on te demande l'aire, il faut calculer $\int_a^b |f(x)|dx$ . Comme $f(x) \leq 0$ , $|f(x)| = -f(x)$ .
Donc l'aire est $-\int_a^b f(x)dx$ .

💡 À retenir : L'intégrale est un nombre (peut être négatif), l'aire est toujours positive.

Si tu veux calculer l'intégrale $\int_a^b f(x)dx$ et que $f(x) \leq 0$, le résultat sera négatif.

Calcule l'intégrale normalement avec la primitive.
Si on te demande l'aire, il faut calculer $\int_a^b |f(x)|dx$. Comme $f(x) \leq 0$, $|f(x)| = -f(x)$.
Donc l'aire est $-\int_a^b f(x)dx$.

💡 À retenir : L'intégrale est un nombre (peut être négatif), l'aire est toujours positive.

Comment choisir u(x) et v'(x) pour une intégration par parties ?

On utilise souvent la règle mnémotechnique "LPES" (Logarithme, Polynôme, Exponentielle, Sinus/Cosinus).

On choisit $u(x)$ en suivant cet ordre.
Le reste de l'expression est $v'(x)$ .
Exemple pour $\int x \ln(x) dx$ : $u(x) = \ln(x)$ (car L est avant P) et $v'(x) = x$ .

💡 À retenir : $u(x)$ doit être une fonction dont la dérivée est plus simple.

On utilise souvent la règle mnémotechnique "LPES" (Logarithme, Polynôme, Exponentielle, Sinus/Cosinus).

On choisit $u(x)$ en suivant cet ordre.
Le reste de l'expression est $v'(x)$.
Exemple pour $\int x \ln(x) dx$ : $u(x) = \ln(x)$ (car L est avant P) et $v'(x) = x$.

💡 À retenir : $u(x)$ doit être une fonction dont la dérivée est plus simple.

wach l'intégrale dima khassha tkoun positive?

Non, l'intégrale n'est pas forcément positive.

Elle dépend du signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $[a, b]$ .
Si $f(x) \geq 0$ , l'intégrale est positive.
Si $f(x) \leq 0$ , l'intégrale est négative.

💡 À retenir : L'intégrale est un outil de calcul, pas une mesure de surface directe sans valeur absolue.

Non, l'intégrale n'est pas forcément positive.

Elle dépend du signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $[a, b]$.
Si $f(x) \geq 0$, l'intégrale est positive.
Si $f(x) \leq 0$, l'intégrale est négative.

💡 À retenir : L'intégrale est un outil de calcul, pas une mesure de surface directe sans valeur absolue.

Est-ce que inta^b f(x)g(x) dx = inta^b f(x) dx times inta^b g(x) dx ?

Non, c'est une erreur classique.

La multiplication ne respecte pas la linéarité de l'intégrale.
Il n'existe pas de formule simple pour l'intégrale d'un produit.
Il faut soit développer, soit utiliser l'intégration par parties.

💡 À retenir : L'intégrale est linéaire pour la somme, pas pour le produit.

kifach n3ref wach khassni nsta3mel l'intégration par parties?

Tu dois penser à l'IPP quand :

Tu as un produit de deux fonctions de natures différentes (ex: $x \cdot e^x$ , $x \cdot \ln(x)$ ).
Tu ne trouves pas de primitive directe.
La dérivée de $u(x)$ simplifie l'expression dans l'intégrale restante.

💡 À retenir : L'IPP transforme une intégrale difficile en une intégrale plus simple.

Tu dois penser à l'IPP quand :

Tu as un produit de deux fonctions de natures différentes (ex: $x \cdot e^x$, $x \cdot \ln(x)$).
Tu ne trouves pas de primitive directe.
La dérivée de $u(x)$ simplifie l'expression dans l'intégrale restante.

💡 À retenir : L'IPP transforme une intégrale difficile en une intégrale plus simple.

Comment calculer l'aire entre deux courbes ?

Pour calculer l'aire entre $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sur $[a, b]$ :

Détermine la position relative de $f$ et $g$ sur l'intervalle.
L'aire est $\int_a^b |f(x) - g(x)| dx$ .
Si $f(x) \geq g(x)$ , l'aire est $\int_a^b (f(x) - g(x)) dx$ .

💡 À retenir : Toujours soustraire la fonction "du bas" à la fonction "du haut".

Pour calculer l'aire entre $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sur $[a, b]$ :

Détermine la position relative de $f$ et $g$ sur l'intervalle.
L'aire est $\int_a^b |f(x) - g(x)| dx$.
Si $f(x) \geq g(x)$, l'aire est $\int_a^b (f(x) - g(x)) dx$.

💡 À retenir : Toujours soustraire la fonction "du bas" à la fonction "du haut".

Est-ce que je peux changer les bornes de l'intégrale ?

Oui, mais cela change le signe.

$\int_a^b f(x) dx = - \int_b^a f(x) dx$ .
C'est utile pour appliquer la relation de Chasles ou simplifier des calculs.

💡 À retenir : Inverser les bornes multiplie le résultat par $-1$ .

Oui, mais cela change le signe.

$\int_a^b f(x) dx = - \int_b^a f(x) dx$.
C'est utile pour appliquer la relation de Chasles ou simplifier des calculs.

💡 À retenir : Inverser les bornes multiplie le résultat par $-1$.

wach l'unité d'aire (u.a.) dima 1cm²?

Non, cela dépend du repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$ .

L'unité d'aire est égale à $\|\vec{i}\| \times \|\vec{j}\|$ .
Si $\|\vec{i}\| = 1$ cm et $\|\vec{j}\| = 1$ cm, alors 1 u.a. = 1 cm².
Si les unités ne sont pas précisées, on garde "u.a.".

💡 À retenir : Vérifie toujours les unités du repère dans l'énoncé.

Non, cela dépend du repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$.

L'unité d'aire est égale à $|\vec{i}| \times |\vec{j}|$.
Si $|\vec{i}| = 1$ cm et $|\vec{j}| = 1$ cm, alors 1 u.a. = 1 cm².
Si les unités ne sont pas précisées, on garde "u.a.".

💡 À retenir : Vérifie toujours les unités du repère dans l'énoncé.

Comment calculer inta^b f(x) dx si f est définie par morceaux ?

Utilise la relation de Chasles.

Si $f(x) = f_1(x)$ sur $[a, c]$ et $f(x) = f_2(x)$ sur $[c, b]$ .
Alors $\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f_1(x) dx + \int_c^b f_2(x) dx$ .

💡 À retenir : Découpe l'intégrale au point de changement de définition.

Utilise la relation de Chasles.

Si $f(x) = f_1(x)$ sur $[a, c]$ et $f(x) = f_2(x)$ sur $[c, b]$.
Alors $\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f_1(x) dx + \int_c^b f_2(x) dx$.

💡 À retenir : Découpe l'intégrale au point de changement de définition.

Est-ce que la primitive d'une fonction est unique ?

Non, elle est définie à une constante près.

Si $F$ est une primitive, $F+c$ est aussi une primitive.
On parle de "la" primitive seulement si on impose une condition initiale (ex: $F(0) = 5$ ).

💡 À retenir : N'oublie jamais la constante $+c$ si on te demande "les" primitives.

Non, elle est définie à une constante près.

Si $F$ est une primitive, $F+c$ est aussi une primitive.
On parle de "la" primitive seulement si on impose une condition initiale (ex: $F(0) = 5$).

💡 À retenir : N'oublie jamais la constante $+c$ si on te demande "les" primitives.

Comment calculer inta^b frac{u'(x)}{u(x)} dx ?

C'est une forme classique.

La primitive de $\frac{u'(x)}{u(x)}$ est $\ln|u(x)|$ .
Donc $\int_a^b \frac{u'(x)}{u(x)} dx = [\ln|u(x)|]_a^b = \ln|u(b)| - \ln|u(a)|$ .

💡 À retenir : Vérifie toujours que $u(x)$ ne s'annule pas sur l'intervalle.

C'est une forme classique.

La primitive de $\frac{u'(x)}{u(x)}$ est $\ln|u(x)|$.
Donc $\int_a^b \frac{u'(x)}{u(x)} dx = [\ln|u(x)|]_a^b = \ln|u(b)| - \ln|u(a)|$.

💡 À retenir : Vérifie toujours que $u(x)$ ne s'annule pas sur l'intervalle.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Calculer l'intégrale suivante : $I = \int_{0}^{1} (3x^2 - 2x + 1) dx$ .

Exercice 1

Calculer l'intégrale suivante : $I = \int_{0}^{1} (3x^2 - 2x + 1) dx$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Calculer $J = \int_{1}^{e} x \ln(x) dx$ en utilisant une intégration par parties.

Exercice 2

Calculer $J = \int_{1}^{e} x \ln(x) dx$ en utilisant une intégration par parties.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $f(x) = \frac{e^x}{e^x + 1}$ . Calculer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine délimité par $\mathcal{C}_f$ , l'axe des abscisses et les droites $x=0$ et $x=1$ .

Exercice 3

Soit $f(x) = \frac{e^x}{e^x + 1}$. Calculer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine délimité par $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites $x=0$ et $x=1$.

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