Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.
📘 Fiche de cours
L'essentiel du cours
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ :
Représentation paramétrique d'une droite $(D)$ passant par $A(x_A, y_A, z_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(a, b, c)$ :
$$\begin{cases} x = x_A + at \ y = y_A + bt \ z = z_A + ct \end{cases} (t \in \mathbb{R})$$
Équation cartésienne d'un plan $(P)$ passant par $A(x_A, y_A, z_A)$ et de vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$ :
$$a(x-x_A) + b(y-y_A) + c(z-z_A) = 0 \iff ax + by + cz + d = 0$$
Sphère $(S)$ de centre $\Omega(a, b, c)$ et de rayon $R$ :
$$(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$$
L'ensemble des points $M(x,y,z)$ tels que $x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$ est une sphère si $a^2+b^2+c^2-4d > 0$.
Méthodes à maîtriser
Vérifier l'appartenance : Un point appartient à un plan ou une droite si ses coordonnées vérifient l'équation.
Vecteur normal : Pour trouver le plan passant par trois points non alignés $A, B, C$, on cherche un vecteur normal $\vec{n} = \vec{AB} \wedge \vec{AC}$.
Intersection : Pour l'intersection d'une droite et d'un plan, on remplace les coordonnées de la droite dans l'équation du plan.
Intersection droite-sphère : Si la distance $d(\Omega, (D)) < R$, la droite coupe la sphère en deux points. On résout le système formé par l'équation de la sphère et la représentation paramétrique de la droite.
Erreurs fréquentes
Oublier le paramètre $t \in \mathbb{R}$ dans la représentation paramétrique.
Confondre vecteur directeur d'une droite et vecteur normal d'un plan.
Oublier de mettre au carré le rayon dans l'équation de la sphère.
Erreur de signe lors du calcul du produit vectoriel.
🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR
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Le vecteur normal au plan $2x - y + 3z + 5 = 0$ est :
❓ Questions fréquentes
Comment savoir si deux plans sont parallèles ?
Deux plans $(P): ax+by+cz+d=0$ et $(P'): a'x+b'y+c'z+d'=0$ sont parallèles si leurs vecteurs normaux $\vec{n}(a,b,c)$ et $\vec{n'}(a',b',c')$ sont colinéaires. C'est-à-dire qu'il existe un réel $k$ tel que $\vec{n} = k\vec{n'}$.
💡 À retenir : Si $\vec{n} = k\vec{n'}$, les plans sont parallèles. S'ils ont un point commun, ils sont confondus.
Kifach n3ref wach lmostawa o lkora mta9tin?
Pour savoir si un plan $(P)$ et une sphère $(S)$ de centre $\Omega$ et rayon $R$ sont sécants, calcule la distance $d$ du centre $\Omega$ au plan $(P)$.
Si $d < R$, ils sont sécants (l'intersection est un cercle).
Si $d = R$, le plan est tangent à la sphère.
Si $d > R$, ils ne sont pas sécants.
💡 À retenir : Compare toujours la distance $d(\Omega, (P))$ au rayon $R$.
Est-ce qu'une droite peut être perpendiculaire à un plan ?
Oui. Une droite $(D)$ de vecteur directeur $\vec{u}$ est perpendiculaire à un plan $(P)$ de vecteur normal $\vec{n}$ si et seulement si $\vec{u}$ et $\vec{n}$ sont colinéaires.
💡 À retenir : $\vec{u} = k\vec{n}$ signifie que la droite est orthogonale au plan.
Kifach n7seb l'intersection dial mosta9im o mostawa?
Écris la représentation paramétrique de la droite : $x=x_0+at, y=y_0+bt, z=z_0+ct$.
Remplace $x, y, z$ dans l'équation du plan $ax+by+cz+d=0$.
Tu obtiens une équation du premier degré en $t$. Résous-la.
Remplace la valeur de $t$ trouvée dans la représentation paramétrique pour obtenir les coordonnées du point d'intersection.
💡 À retenir : L'intersection est un point unique si l'équation en $t$ a une solution unique.
C'est quoi la différence entre vecteur directeur et vecteur normal ?
Le vecteur directeur $\vec{u}$ est "porté" par la droite (il indique sa direction). Le vecteur normal $\vec{n}$ est perpendiculaire à tous les vecteurs du plan (il indique son orientation dans l'espace).
💡 À retenir : Droite $\to$ vecteur directeur ; Plan $\to$ vecteur normal.
Oui, pour calculer la distance d'un point $A$ à une droite $(D)$ passant par $B$ avec un vecteur directeur $\vec{u}$, on utilise : $d(A, (D)) = \frac{|\vec{AB} \wedge \vec{u}|}{|\vec{u}|}$.
💡 À retenir : Cette formule est très utile quand on n'a pas de plan sous la main.
Comment trouver l'équation d'un plan passant par deux points et parallèle à une droite ?
Soient $A, B$ les points et $(D)$ la droite de vecteur directeur $\vec{u}$.
Le plan est dirigé par $\vec{AB}$ et $\vec{u}$.
Le vecteur normal est $\vec{n} = \vec{AB} \wedge \vec{u}$.
💡 À retenir : Le produit vectoriel est ton meilleur allié pour trouver un vecteur normal.
Est-ce que le centre de la sphère est toujours l'origine ?
Non, pas du tout. L'équation $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$ montre que le centre est $\Omega(a, b, c)$. Si l'équation est $x^2+y^2+z^2=R^2$, alors le centre est l'origine $O(0,0,0)$.
💡 À retenir : Identifie toujours les coordonnées $(a,b,c)$ par lecture directe.
Kifach n3ref wach 3 points msta9imiya?
Trois points $A, B, C$ sont alignés si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires. C'est-à-dire $\vec{AB} = k\vec{AC}$ pour un réel $k$.
💡 À retenir : Si les vecteurs ne sont pas colinéaires, ils forment un plan.
Si le produit scalaire vec{u} cdot vec{n} = 0, que peut-on dire ?
Cela signifie que le vecteur directeur $\vec{u}$ de la droite est orthogonal au vecteur normal $\vec{n}$ du plan. Donc, la droite est parallèle au plan (ou incluse dedans).
💡 À retenir : $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0 \iff$ droite parallèle au plan.
Comment déterminer si une droite est incluse dans un plan ?
Vérifie que la droite est parallèle au plan ($\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$).
Vérifie qu'un point de la droite appartient au plan (en remplaçant ses coordonnées dans l'équation du plan).
💡 À retenir : Parallélisme + un point commun = inclusion.
Est-ce qu'on peut avoir une sphère avec un rayon négatif ?
Non. Le rayon $R$ est une distance, donc $R > 0$. Dans l'équation $x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$, il faut que $a^2+b^2+c^2-4d > 0$ pour que l'ensemble soit une sphère. Si c'est égal à 0, c'est un point. Si c'est négatif, c'est l'ensemble vide.
Soit $(D): \begin{cases} x = t \ y = 1+t \ z = -t \end{cases}$ et $(P): x - y + z + 2 = 0$.
Trouver les coordonnées du point d'intersection $I$ de $(D)$ et $(P)$.
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct (O;i,j,k) :
Représentation paramétrique d'une droite (D) passant par A(xA,yA,zA) et de vecteur directeur u(a,b,c) :
⎩⎨⎧x=xA+aty=yA+btz=zA+ct(t∈R)
Équation cartésienne d'un plan (P) passant par A(xA,yA,zA) et de vecteur normal n(a,b,c) :
a(x−xA)+b(y−yA)+c(z−zA)=0⟺ax+by+cz+d=0
Sphère (S) de centre Ω(a,b,c) et de rayon R :
(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2
L'ensemble des points M(x,y,z) tels que x2+y2+z2+ax+by+cz+d=0 est une sphère si a2+b2+c2−4d>0.
Méthodes à maîtriser
Vérifier l'appartenance : Un point appartient à un plan ou une droite si ses coordonnées vérifient l'équation.
Vecteur normal : Pour trouver le plan passant par trois points non alignés A,B,C, on cherche un vecteur normal n=AB∧AC.
Intersection : Pour l'intersection d'une droite et d'un plan, on remplace les coordonnées de la droite dans l'équation du plan.
Plan passant par 3 points : Soient A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1). AB(−1,1,0) et AC(−1,0,1). n=AB∧AC=(1,1,1). Équation : 1(x−1)+1(y−0)+1(z−0)=0⟹x+y+z−1=0.
Intersection droite-sphère : Si la distance d(Ω,(D))<R, la droite coupe la sphère en deux points. On résout le système formé par l'équation de la sphère et la représentation paramétrique de la droite.
Erreurs fréquentes
Oublier le paramètre t∈R dans la représentation paramétrique.
Confondre vecteur directeur d'une droite et vecteur normal d'un plan.
Oublier de mettre au carré le rayon dans l'équation de la sphère.
Erreur de signe lors du calcul du produit vectoriel.
Le vecteur normal au plan 2x−y+3z+5=0 est :
(2,−1,3)
(2,1,3)
(−2,1,−3)
(1,−1,1)
Deux plans (P):ax+by+cz+d=0 et (P′):a′x+b′y+c′z+d′=0 sont parallèles si leurs vecteurs normaux n(a,b,c) et n′(a′,b′,c′) sont colinéaires. C'est-à-dire qu'il existe un réel k tel que n=kn′.
💡 À retenir : Si n=kn′, les plans sont parallèles. S'ils ont un point commun, ils sont confondus.
Pour savoir si un plan (P) et une sphère (S) de centre Ω et rayon R sont sécants, calcule la distance d du centre Ω au plan (P).
Si d<R, ils sont sécants (l'intersection est un cercle).
Si d=R, le plan est tangent à la sphère.
Si d>R, ils ne sont pas sécants.
💡 À retenir : Compare toujours la distance d(Ω,(P)) au rayon R.
Oui. Une droite (D) de vecteur directeur u est perpendiculaire à un plan (P) de vecteur normal n si et seulement si u et n sont colinéaires.
💡 À retenir : u=kn signifie que la droite est orthogonale au plan.
Écris la représentation paramétrique de la droite : x=x0+at,y=y0+bt,z=z0+ct.
Remplace x,y,z dans l'équation du plan ax+by+cz+d=0.
Tu obtiens une équation du premier degré en t. Résous-la.
Remplace la valeur de t trouvée dans la représentation paramétrique pour obtenir les coordonnées du point d'intersection.
💡 À retenir : L'intersection est un point unique si l'équation en t a une solution unique.
Le vecteur directeur u est "porté" par la droite (il indique sa direction). Le vecteur normal n est perpendiculaire à tous les vecteurs du plan (il indique son orientation dans l'espace).
💡 À retenir : Droite → vecteur directeur ; Plan → vecteur normal.
Oui, pour calculer la distance d'un point A à une droite (D) passant par B avec un vecteur directeur u, on utilise : d(A,(D))=∥u∥∥AB∧u∥.
💡 À retenir : Cette formule est très utile quand on n'a pas de plan sous la main.
Soient A,B les points et (D) la droite de vecteur directeur u.
Le plan est dirigé par AB et u.
Le vecteur normal est n=AB∧u.
Utilise l'équation a(x−xA)+b(y−yA)+c(z−zA)=0.
💡 À retenir : Le produit vectoriel est ton meilleur allié pour trouver un vecteur normal.
Non, pas du tout. L'équation (x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2 montre que le centre est Ω(a,b,c). Si l'équation est x2+y2+z2=R2, alors le centre est l'origine O(0,0,0).
💡 À retenir : Identifie toujours les coordonnées (a,b,c) par lecture directe.
Trois points A,B,C sont alignés si les vecteurs AB et AC sont colinéaires. C'est-à-dire AB=kAC pour un réel k.
💡 À retenir : Si les vecteurs ne sont pas colinéaires, ils forment un plan.
Cela signifie que le vecteur directeur u de la droite est orthogonal au vecteur normal n du plan. Donc, la droite est parallèle au plan (ou incluse dedans).
💡 À retenir : u⋅n=0⟺ droite parallèle au plan.
Vérifie que la droite est parallèle au plan (u⋅n=0).
Vérifie qu'un point de la droite appartient au plan (en remplaçant ses coordonnées dans l'équation du plan).
💡 À retenir : Parallélisme + un point commun = inclusion.
Non. Le rayon R est une distance, donc R>0. Dans l'équation x2+y2+z2+ax+by+cz+d=0, il faut que a2+b2+c2−4d>0 pour que l'ensemble soit une sphère. Si c'est égal à 0, c'est un point. Si c'est négatif, c'est l'ensemble vide.
💡 À retenir : Le rayon est toujours positif.
Exercice 1
Soient A(1,1,2), B(0,1,0) et C(1,0,1).
Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).
Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).
Exercice 2
Soit (S):x2+y2+z2−2x+4y−6z−2=0.
Déterminer le centre Ω et le rayon R de (S).
Soit (P):x+y+z−1=0. Calculer d(Ω,(P)) et en déduire la nature de l'intersection.
Exercice 3
Soit (D):⎩⎨⎧x=ty=1+tz=−t et (P):x−y+z+2=0.
Trouver les coordonnées du point d'intersection I de (D) et (P).