Mathématiques · 1ère Année Bac — Arts appliqués

Rotation

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

La rotation $R$ de centre $\Omega$ et d'angle $\alpha$ est une transformation du plan qui à tout point $M$ associe un point $M'$ tel que :

$\Omega M = \Omega M'$
$(\vec{\Omega M}, \vec{\Omega M'}) \equiv \alpha \pmod{2\pi}$

Méthodes à maîtriser

Construire l'image d'un point au compas et au rapporteur.
Démontrer qu'un triangle est isocèle en utilisant les propriétés de la rotation.
Utiliser la rotation pour prouver l'égalité de deux segments.

Exemples corrigés

Exemple : Soit $R$ une rotation de centre $O$ et d'angle $90^\circ$ . Si $A$ est un point, construire $A'$ . Solution : On trace le cercle de centre $O$ passant par $A$ . On utilise le rapporteur en $O$ pour mesurer $90^\circ$ à partir de $[OA)$ dans le sens direct, et on marque $A'$ sur le cercle.

Erreurs fréquentes

Confondre le sens direct (trigonométrique) et le sens indirect.
Oublier que la rotation conserve les distances (si $AB=5$ , alors $A'B'=5$ ).
Ne pas préciser le centre de la rotation dans la rédaction.

L'essentiel du cours

La rotation $R$ de centre $\Omega$ et d'angle $\alpha$ est une transformation du plan qui à tout point $M$ associe un point $M'$ tel que :

$\Omega M = \Omega M'$
$(\vec{\Omega M}, \vec{\Omega M'}) \equiv \alpha \pmod{2\pi}$

Méthodes à maîtriser

Construire l'image d'un point au compas et au rapporteur.
Démontrer qu'un triangle est isocèle en utilisant les propriétés de la rotation.
Utiliser la rotation pour prouver l'égalité de deux segments.

Exemples corrigés

Exemple : Soit $R$ une rotation de centre $O$ et d'angle $90^\circ$. Si $A$ est un point, construire $A'$. Solution : On trace le cercle de centre $O$ passant par $A$. On utilise le rapporteur en $O$ pour mesurer $90^\circ$ à partir de $[OA)$ dans le sens direct, et on marque $A'$ sur le cercle.

Erreurs fréquentes

Confondre le sens direct (trigonométrique) et le sens indirect.
Oublier que la rotation conserve les distances (si $AB=5$, alors $A'B'=5$).
Ne pas préciser le centre de la rotation dans la rédaction.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Rotation

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L'image d'un cercle de rayon $r$ par une rotation est :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que la rotation conserve le milieu d'un segment ?

Oui, car la rotation est une transformation affine qui conserve les barycentres et donc les milieux.

Comment justifier qu'un triangle est isocèle avec une rotation ?

Si $R(A) = B$ avec un centre $\Omega$ , alors $\Omega A = \Omega B$ . Le triangle $\Omega AB$ est donc isocèle en $\Omega$ .

Si $R(A) = B$ avec un centre $\Omega$, alors $\Omega A = \Omega B$. Le triangle $\Omega AB$ est donc isocèle en $\Omega$.

Est-ce que l'ordre des points change avec la rotation ?

Non, la rotation conserve l'alignement et l'ordre des points sur une droite.

Si j'ai deux rotations, est-ce que je peux les combiner ?

Oui, la composée de deux rotations est soit une autre rotation, soit une translation.

Comment mesurer l'angle si le rapporteur ne suffit pas ?

On utilise les propriétés des angles inscrits ou les relations de Chasles sur les angles orientés.

Est-ce que la rotation conserve le parallélisme ?

Oui, l'image de deux droites parallèles par une rotation sont deux droites parallèles.

Est-ce que la rotation est une transformation involutive ?

Non, sauf si l'angle est de $180^\circ$ (symétrie centrale).

Si l'angle est de 360^circ, chno kaywqe3 ?

Si l'angle est $360^\circ$ (ou $2\pi$ ), la rotation est l'identité. Chaque point revient à sa position initiale.

Si l'angle est $360^\circ$ (ou $2\pi$), la rotation est l'identité. Chaque point revient à sa position initiale.

Kifach n3ref wach l'angle positif wla négatif ?

L'angle positif (+) kay3ni l'mna7a l'moubachir (sens direct), ya3ni l3aks dyal 3qareb ssa3a.
L'angle négatif (-) kay3ni l'mna7a l'ghayr moubachir (sens indirect), ya3ni m3a 3qareb ssa3a.

💡 À retenir : Sens direct = inverse des aiguilles d'une montre.

Chno hiya l'image dyal lmarkaz dyal ddawran ?

L'image dyal markaz ddawran (le centre $\Omega$ ) hiya nafsso.

La distance $\Omega \Omega = 0$ .
Donc $\Omega' = \Omega$ .

💡 À retenir : Le centre est le seul point invariant par la rotation.

L'image dyal markaz ddawran (le centre $\Omega$) hiya nafsso.

La distance $\Omega \Omega = 0$.
Donc $\Omega' = \Omega$.

💡 À retenir : Le centre est le seul point invariant par la rotation.

Kifach nrssem ssoora dyal wahed lqit3a [AB] ?

Rsem ssoora dyal nuqta $A$ (li hiya $A'$ ) b'nfs l'markaz o l'angle.
Rsem ssoora dyal nuqta $B$ (li hiya $B'$ ) b'nfs l'markaz o l'angle.
Ssel bin $A'$ o $B'$ .

💡 À retenir : L'image d'un segment est un segment de même longueur.

Rsem ssoora dyal nuqta $A$ (li hiya $A'$) b'nfs l'markaz o l'angle.
Rsem ssoora dyal nuqta $B$ (li hiya $B'$) b'nfs l'markaz o l'angle.
Ssel bin $A'$ o $B'$.

💡 À retenir : L'image d'un segment est un segment de même longueur.

Est-ce que la rotation change la forme des figures ?

Non, la rotation est une isométrie. Elle conserve les distances, les angles et les aires. La figure reste identique, juste sa position change.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $ABC$ un triangle équilatéral direct. Soit $R$ la rotation de centre $A$ et d'angle $60^\circ$ . Déterminer l'image du point $B$ par $R$ .

Exercice 1

Soit $ABC$ un triangle équilatéral direct. Soit $R$ la rotation de centre $A$ et d'angle $60^\circ$. Déterminer l'image du point $B$ par $R$.

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Exercice 2

Soit $ABCD$ un carré. Construire l'image du segment $[AB]$ par la rotation de centre $A$ et d'angle $90^\circ$ .

Exercice 2

Soit $ABCD$ un carré. Construire l'image du segment $[AB]$ par la rotation de centre $A$ et d'angle $90^\circ$.

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Exercice 3

Soit $R$ une rotation de centre $O$ et d'angle $\alpha$ . Soit $M$ un point et $M'$ son image. Montrer que le triangle $OMM'$ est isocèle.

Exercice 3

Soit $R$ une rotation de centre $O$ et d'angle $\alpha$. Soit $M$ un point et $M'$ son image. Montrer que le triangle $OMM'$ est isocèle.

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