Mathématiques · 1ère Année Bac — Arts appliqués

Suites numériques

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une fonction définie sur $\mathbb{N}$ .

Suite arithmétique : $u_{n+1} = u_n + r$ . Terme général : $u_n = u_0 + n \cdot r$ .
Suite géométrique : $u_{n+1} = u_n \cdot q$ . Terme général : $u_n = u_0 \cdot q^n$ .
Monotonie : On étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$ .
Récurrence : Pour démontrer $P(n)$ , on vérifie $P(0)$ (initialisation) puis on suppose $P(n)$ vraie et on montre $P(n+1)$ (hérédité).

Méthodes à maîtriser

Calculer les premiers termes : Remplacer $n$ par 0, 1, 2...
Démontrer une suite arithmétique/géométrique : Calculer $u_{n+1} - u_n$ (doit être constant) ou $u_{n+1}/u_n$ (doit être constant).
Utiliser la récurrence : Indispensable pour les suites définies par $u_{n+1} = f(u_n)$ .

Exemples corrigés

Soit $u_n = 3n + 2$ . $u_{n+1} - u_n = 3(n+1)+2 - (3n+2) = 3$ . C'est une suite arithmétique de raison 3.
Soit $u_n = 5 \cdot 2^n$ . $u_{n+1}/u_n = (5 \cdot 2^{n+1}) / (5 \cdot 2^n) = 2$ . C'est une suite géométrique de raison 2.

Erreurs fréquentes

Confondre $u_n$ et $n$ .
Oublier l'étape d'initialisation dans la récurrence.
Croire qu'une suite est géométrique juste en calculant deux termes (il faut le prouver pour tout $n$ ).

L'essentiel du cours

Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une fonction définie sur $\mathbb{N}$.

Suite arithmétique : $u_{n+1} = u_n + r$. Terme général : $u_n = u_0 + n \cdot r$.
Suite géométrique : $u_{n+1} = u_n \cdot q$. Terme général : $u_n = u_0 \cdot q^n$.
Monotonie : On étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$.
Récurrence : Pour démontrer $P(n)$, on vérifie $P(0)$ (initialisation) puis on suppose $P(n)$ vraie et on montre $P(n+1)$ (hérédité).

Méthodes à maîtriser

Calculer les premiers termes : Remplacer $n$ par 0, 1, 2...
Démontrer une suite arithmétique/géométrique : Calculer $u_{n+1} - u_n$ (doit être constant) ou $u_{n+1}/u_n$ (doit être constant).
Utiliser la récurrence : Indispensable pour les suites définies par $u_{n+1} = f(u_n)$.

Exemples corrigés

Soit $u_n = 3n + 2$. $u_{n+1} - u_n = 3(n+1)+2 - (3n+2) = 3$. C'est une suite arithmétique de raison 3.
Soit $u_n = 5 \cdot 2^n$. $u_{n+1}/u_n = (5 \cdot 2^{n+1}) / (5 \cdot 2^n) = 2$. C'est une suite géométrique de raison 2.

Erreurs fréquentes

Confondre $u_n$ et $n$.
Oublier l'étape d'initialisation dans la récurrence.
Croire qu'une suite est géométrique juste en calculant deux termes (il faut le prouver pour tout $n$).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Suites numériques

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Soit $u_n = 5n$ . Quelle est la nature de cette suite ?

Soit $u_n = 5n$. Quelle est la nature de cette suite ?

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre un et u{n+1} ?

$u_n$ est le terme de rang $n$ . $u_{n+1}$ est le terme qui vient juste après. Par exemple, si $n=3$ , $u_3$ est le 4ème terme et $u_4$ est le 5ème terme.

💡 À retenir : $u_{n+1}$ est l'image de $u_n$ par la relation de récurrence.

$u_n$ est le terme de rang $n$. $u_{n+1}$ est le terme qui vient juste après. Par exemple, si $n=3$, $u_3$ est le 4ème terme et $u_4$ est le 5ème terme.

💡 À retenir : $u_{n+1}$ est l'image de $u_n$ par la relation de récurrence.

Kifach n7seb un ila 3tani u0 o r ?

Tu utilises la formule du terme général : $u_n = u_0 + n \cdot r$ . Tu remplaces $u_0$ et $r$ par leurs valeurs.

💡 À retenir : $u_n = u_0 + n \cdot r$ pour une suite arithmétique.

Tu utilises la formule du terme général : $u_n = u_0 + n \cdot r$. Tu remplaces $u_0$ et $r$ par leurs valeurs.

💡 À retenir : $u_n = u_0 + n \cdot r$ pour une suite arithmétique.

Chno hiya "l'hérédité" f récurrence ?

C'est l'étape où tu supposes que la propriété est vraie pour $n$ (hypothèse de récurrence) et tu essaies de démontrer qu'elle est vraie pour $n+1$ .

💡 À retenir : L'hérédité est le cœur de la preuve par récurrence.

C'est l'étape où tu supposes que la propriété est vraie pour $n$ (hypothèse de récurrence) et tu essaies de démontrer qu'elle est vraie pour $n+1$.

💡 À retenir : L'hérédité est le cœur de la preuve par récurrence.

Est-ce qu'une suite peut être ni arithmétique ni géométrique ?

Oui, absolument. Par exemple, $u_n = n^2$ n'est ni arithmétique ni géométrique.

💡 À retenir : La majorité des suites ne sont pas arithmétiques ou géométriques.

Oui, absolument. Par exemple, $u_n = n^2$ n'est ni arithmétique ni géométrique.

💡 À retenir : La majorité des suites ne sont pas arithmétiques ou géométriques.

Kifach n3ref wach suite tzaidiya wla tnaqosiya ?

Tu calcules la différence $u_{n+1} - u_n$ . Si le résultat est positif, elle est croissante. S'il est négatif, elle est décroissante.

💡 À retenir : Signe de $u_{n+1} - u_n$ détermine la monotonie.

Tu calcules la différence $u_{n+1} - u_n$. Si le résultat est positif, elle est croissante. S'il est négatif, elle est décroissante.

💡 À retenir : Signe de $u_{n+1} - u_n$ détermine la monotonie.

C'est quoi une suite majorée ?

C'est une suite dont tous les termes sont inférieurs ou égaux à un nombre réel $M$ . On écrit $u_n \leq M$ pour tout $n$ .

💡 À retenir : $M$ est un plafond que la suite ne dépasse jamais.

C'est une suite dont tous les termes sont inférieurs ou égaux à un nombre réel $M$. On écrit $u_n \leq M$ pour tout $n$.

💡 À retenir : $M$ est un plafond que la suite ne dépasse jamais.

Est-ce que je dois toujours commencer par n=0 ?

Cela dépend de l'énoncé. Si la suite est définie pour $n \geq 1$ , tu commences par $n=1$ .

💡 À retenir : Regarde toujours l'ensemble de définition donné dans l'exercice.

Cela dépend de l'énoncé. Si la suite est définie pour $n \geq 1$, tu commences par $n=1$.

💡 À retenir : Regarde toujours l'ensemble de définition donné dans l'exercice.

Comment prouver qu'une suite est géométrique ?

Tu calcules le rapport $u_{n+1} / u_n$ . Si tu trouves un nombre constant (qui ne dépend pas de $n$ ), alors c'est une suite géométrique.

💡 À retenir : $u_{n+1} = q \cdot u_n$ avec $q$ constant.

Tu calcules le rapport $u_{n+1} / u_n$. Si tu trouves un nombre constant (qui ne dépend pas de $n$), alors c'est une suite géométrique.

💡 À retenir : $u_{n+1} = q \cdot u_n$ avec $q$ constant.

Pourquoi on utilise la récurrence ?

On l'utilise pour démontrer des propriétés qui dépendent d'un entier naturel $n$ , surtout quand on ne peut pas calculer directement le terme général.

💡 À retenir : La récurrence est un outil de démonstration puissant.

On l'utilise pour démontrer des propriétés qui dépendent d'un entier naturel $n$, surtout quand on ne peut pas calculer directement le terme général.

💡 À retenir : La récurrence est un outil de démonstration puissant.

C'est quoi une suite bornée ?

Une suite est bornée si elle est à la fois majorée (elle a un plafond) et minorée (elle a un plancher).

💡 À retenir : $m \leq u_n \leq M$ .

Une suite est bornée si elle est à la fois majorée (elle a un plafond) et minorée (elle a un plancher).

💡 À retenir : $m \leq u_n \leq M$.

Est-ce que la raison r peut être négative ?

Oui, bien sûr. Si $r < 0$ , la suite arithmétique est décroissante.

💡 À retenir : Le signe de $r$ donne le sens de variation.

Oui, bien sûr. Si $r < 0$, la suite arithmétique est décroissante.

💡 À retenir : Le signe de $r$ donne le sens de variation.

Comment calculer la somme des termes d'une suite arithmétique ?

La formule est : $S = \frac{\text{nombre de termes}}{2} \times (\text{premier terme} + \text{dernier terme})$ .

💡 À retenir : Nombre de termes = (dernier indice - premier indice) + 1.

La formule est : $S = \frac{\text{nombre de termes}}{2} \times (\text{premier terme} + \text{dernier terme})$.

💡 À retenir : Nombre de termes = (dernier indice - premier indice) + 1.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_0 = 2$ et $u_1 = 5$ .

Calculer la raison $r$ .
Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .
Calculer $u_{10}$ .

Exercice 1

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_0 = 2$ et $u_1 = 5$.

Calculer la raison $r$.
Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
Calculer $u_{10}$.

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Exercice 2

Soit $(v_n)$ une suite définie par $v_0 = 1$ et $v_{n+1} = 2v_n$ .

Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique.
Donner l'expression de $v_n$ en fonction de $n$ .
Calculer $v_5$ .

Exercice 2

Soit $(v_n)$ une suite définie par $v_0 = 1$ et $v_{n+1} = 2v_n$.

Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique.
Donner l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
Calculer $v_5$.

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Exercice 3

Soit $(w_n)$ définie par $w_0 = 0$ et $w_{n+1} = w_n + 2n + 1$ .

Calculer $w_1, w_2, w_3$ .
Montrer par récurrence que $w_n = n^2$ .

Exercice 3

Soit $(w_n)$ définie par $w_0 = 0$ et $w_{n+1} = w_n + 2n + 1$.

Calculer $w_1, w_2, w_3$.
Montrer par récurrence que $w_n = n^2$.

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